1、1泉港一中 20152016 学年度新高三数学试卷 (选修 2-1，2-2，2-3，4-1，4-4，4-5)(考试时间为 120 分钟，满分为 150 分)第卷 (选择题 共 60 分)一、选择题：（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.） 1.设命题 .则 为( ):0,lnpxxpA. B. C. D. 0,lnx00,lnx00,lnxx2.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为 0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为 0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇
2、到红灯的概率是( )A B C D 0.60.7.8.93 “ ”是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的( )14k22140xykxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 （ ）A. 5B. 35C. 25D. 155在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参考公式： （ 为样本容量）)()(22 dbcadb
3、anK dcban参照附表，下列结论正确的是( )A. 在犯错误的概率不超 5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ；B在犯错误的概率不超 过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” ；C有 97.5的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ；D有 的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 6. 已知 211)( nnf ，则( )A 中共有 项，当 时， 3f B )(f中共有 项，当 时， 412)( C n中共有 n2项，当 时， f 感染 未感染 总计服用 10 40 50未服用 20 30 50总计 30 70 1002PKk0
4、10 005 00252706 3841 50242D )(nf中共有 项，当 2n时， 124132)(f7.设 ，且 ，若 能被 13 整除，则 ( )Za30a0165aaA.0 B.1 C.11 D. 12 8设 ，其正态分布密度曲线如图所示，且 ，那么向正方形),1(2NX (X)0.28POABC 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：（随机变量 服从正态分布 ，则2N，68.%,P95.4%)PA. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539 9曲线 和 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) yx2yA B C D 16813
5、416413810用 1、2、3、4、5、6 组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数 1、3、5 有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ）A18 B108 C216 D432 11已知点 是双曲线 的左、右焦点, 为坐标原点，点 在12F、 210,xyab： OP双曲线 的右支上，且满足 ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ C1223FOPFC）A B C D 1,0,1,51,212定义在 R 上的函数 满足 ，则不等式 （其fx04ffxf3xxef中 为自然对数的底数）的解集为（ ）eA. B. C. D. 0, ,03,第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题
6、，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置13. 已知 是纯虚数， 是实数（ 是虚数单位） ，那么 . ziz12i z14、甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为 ，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 3,4515. 数式 中省略号“”代表无限重复，因原式是一个固1定值，可以用如下方法求得：令原式 ,则 ，则 ，t1t210t（第 16 题）1 1 2Oxy3取正值得 ，用类似方法可得 _. 512t 216 如图，三次函数 32yaxbcd的零点为 1, ，则该函数的单调减区间为 三、解答题:本大题共 6 小题
7、，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17 （本题满分 12 分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数与销售价格 （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：(01)xy使用年数 2 4 6 8 10售价 16 13 9.5 7 4.5（1）试求 关于 的回归直线方程；（参考公式： ）yx 12,niixybaybx（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为 万元，根据（1）中.745.09.23xw所求的回归方程，预测 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 最大？（利x )(xL润售价收购价）18 （本题满分 12 分）如图， 四棱锥 的底面是直角梯
8、ABCDP形, , , 和 是两个边长为 的CDAB/A2正三角形, .4（I）求证: 平面 平面 ；P（II）求直线 与平面 所成角的正弦值. 19 （本题满分 12 分）现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场 120 份样本数据统计，年利润分布如下表：年利润 1.2 万元 1.0 万元 0.9 万元频数 20 60 40对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为 ，在一年之内要进行 2 次独立的抽查，在这 2 次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下31表：合格次数 2 次 1 次 0 次年利润 1.3 万元 1.1 万元 0.6
9、万元4记随机变量 分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润，YX,（1 ）求 的概率；（2 ）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值，并说明理由20、 （本题满分 12 分）已知椭圆 的焦点和一个顶点在圆 上，2:1(0)xyGab24xy（1）求椭圆的方程；（2）已知点 ，若斜率为 1 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，试探讨以 为底边(3,2)PlABAB的等腰三角形 是否存在？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由。AB21、 （本小题满分 12 分）已知函数 1(0)axfxe（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；2ay2（2）讨论方程 根的个数。10
10、fx请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示， 为 的直径， 为弧 的中点， 为 的中点ACODBCEB（1）求证： ；EB/（2）求证： 223 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （ 为参数）经过椭圆 （ 为参数）的左焦cos,:inxmtlyt 2cos,:3inxCy点 F（1）求 的值；（2）设直线 与椭圆 交于 两点，求 的最大值和最小值lC,ABFB524 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 48,fxaxaR（1）当 时，解不等式
11、；22f（2）若 恒成立，求 的取值范围fxkk新高三理科数学期末考参考答案一、选择题：（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D C B C A D D B C D C A二、填空题:（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.）13 i2 14 15. 2 16. 32 372三、解答题:（本大题共 6 小题，共 70 分.）17解：（ 1）由已知： ， ，2 分x10y， ，4 分2451iiyx251i 45.1251xybiii7.8ba所求线性回归直线方程为 6 分7.845.xy（2） )2.1745
12、.09.1(.1)( 23xwxL8 分09.23x)9 分)6(8.03.)(2 xx时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减11 分6,0)(L)10,(x0)(xL)(所以预测 时，销售一辆该型号汽车所获得的利润 最大。12 分x18.（I）证明：设 O 为 BD 的中点，PB=PD， PO BD6连接 OA, AB AD， 12OABD2POD, ,又 ，2APOPO 平面 ABCD, 平面 平面 平面 5 分 BDABC(II)解：过点 O 分别作 AD、 AB 的平行线（如图） ，并以它们分别为 、 轴，以 OP 为 轴建立xyz如图所示的空间直角坐标系，由已知得： ， ， ， ，
13、0,1),()0,31(C,1D， 设平面 PDC 的法向量为 ，直线 CB 与平面 PDC 所0,1A2,P ,zn成角 ，则 即 解得,0DnC02311zyx12zxy令 ，则平面 PDC 的一个法向量为 9 分1z ),(n又 ， 10 分),2(BCB 与平面 PDC 成角的正弦值为 12 分32cosinC， 319解（1） 的所有情况有：YX， ，275416)1.,2.(2yxP 94)2()6.0(CyP所以 ， 6 分794（2 ）随机变量 的分布列为：X 1.2 1.0 0.9P 61231所以 万元， 8 分E随机变量 的分布列为：YY 1.3 1.1 0.6P 914
14、9所以 万元 10 分.0E，且 的概率与 的概率相当XYX所以从长期投资来看，项目甲更具有投资价值 12 分720.（）设椭圆 G 的右焦点为 (,0)Fc，由题意可得： bc，且 28，所以 24bc，故 228abc，所以，椭圆 的方程为2184xy4 分（）以 AB 为底的等腰三角形 ABP存在。理由如下设斜率为 1 的直线 l的方程为 yxm，代入2184xy中，化简得： 223480xm， 6 分因为直线 l与椭圆 G相交于 A，B 两点，所以 2216(8)0mV，解得 2 8 分设 12(,)(,)Axy，则 1243mx，213x；于是 B的中点 0(,)My满足 120，
15、03myx；已知点 P(3,2)，若以 AB 为底的等腰三角形 ABP存在，则 1Mk，即 01yx，将 2(,)3m代入式，得 3m(2,3)满足 10 分此时直线 l的方程为 yx. 12 分21.解：（）当 2a时， 21(),xfe1()3fe，又 2()1xfxe，所以 1().f故所求切线方程为 13()2y， 即 2yxe4 分8（）方程 ()10fx即 ()1fx.y的定义域为 ,，当 x或 时，易知 ()fx，故方程 ()1fx无解；6 分故只需考虑 1x的情况，2()afxe，当 0a时， (0fx，所以 ()fx区间 1,)上是增函数，又易知 (0)1f，所以方程 )1只
16、有一个根 ； 8 分当 2a时，由 (0fx可得 2a，且 201a，由 ()f可得 1或 x，由 ()0fx可得 2axa，所以 ()f单调增区间为 1,)和 2(,1)上是增函数，()fx单调减区间为 2(,)a由上可知 2()(0)aff即 22()1()aaff在区间 2(,)a上 (fx单调递减，且 (0)f，所以方程 (1fx有唯一的根 ；在 区间 2,)a上 f单调递增， 且 (1)0f， 2()1af，所以方程 (1fx存在唯 一的根 9在区间 2(,1)a上，由 2()1af， x时， ()fx，所以方程 fx有唯一的根；综上所述：当 02a时，方程 ()1fx有 1 个根；
17、当 时，方程 有 3 个根. 12 分22证明：（1）连接 ，因为 为 的中点，所以BDACBDC因为 为 的中点，所以 EE因为 为圆的直径，所以 ，A90所以 5 分/（2）因为 为 的中点，所以 ，DBCBADC又 ，则 又因为 ，所以 ,AEE所以 ，,22AACD因此 10 分2BC23解：（1）将椭圆 的参数方程化为普通方程，得 2143xy，则点 坐标为 2,3,1abcF1,0是经过点 的直线，故 4 分l0m（2）将 的参数方程代入椭圆 的普通方程，并整理，得lC23cos4in6cos90t设点 在直线参数方程中对应的参数分别为 ，则,AB12,t12223cos4in3siFt10当 时， 取最大值 3；sin0FAB当 时， 取最小值 10194分24解：（ 1） 当 时 ，2a12,4242,.xfxx当 时 ， 不 等 式 不 成 立 ；4x当 时 ， 由 ， 得 ；242x32x当 时 ， 不 等 式 必 成 立 综 上 ， 不 等 式 的 解 集 为 6 分fx2x（ 2） 因 为 ，484812faax当 且 仅 当 时 取 等 号 8x所 以 的 最 大 值 为 12f故 的 取 值 范 围 是 10 分k,
