1、 2侧视图俯视图 第 6 题图正视图1 1淮南二中 2015 届高三第三次模拟考试数学试题（理科）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1. 若复数 满足 为虚数单位） ，则 （ ）z(1)42(ii|zA. B. C. D. 05322已知全集为 ，集合 ，则 （ ）R21, 0xABxRACBA. B. xC. D. 012或 12x或3. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）SA. B. C. D. 332034. 下列说法正确的是（ ）A. 采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动，学号
2、为5,16,27,38,49 的同学均被选出，则该班学生人数可能为 60B. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若X2(1,)0N在 内取值的概率为 0.4，则 在 内取值的概率为 0.8 X(0,1) 0C. “ ”是“ ”的充要条件xln()0xD. “ ， ”的否定是“ ”2323-,020xx5. 若当 时，函数 取得最小值，则函数 是（ ）4()si()fA()4yfxA奇函数且图像关于点 对称 B偶函数且图像关于直线 对称,02 2C偶函数且图像关于点 对称 D奇函数且图像关于直线 对称() x6. 某几何体的三视图（单位： ）如右图所示，其中侧视图是一个cm边长为 2 的正
3、三角形，则这个几何体的体积是（ ）A. B. 3cm 3C. D. 7. 设不等式组 所表示的区域为 ，函数 的20xyM21yx图象与 轴所围成的区域为 ,xN向 内随机投一个点,则该点落在 内的概率为（ ）MA. B. C. D. 48162否输出 S是1i8?i1,0iSasn3i结束开始第 3 题图8. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交C28yxFlPlQPFC点，若 ，则 =（ ）3FPQ|A. B. C. 3 D. 25239如图，半圆的直径 AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则
4、的最小值为（ ）（第 9 题图）AB C9 D9 10. 已知函数 为 上的奇函数，当 时，xfR0x )cos32cos(21) xxf( ),若对任意实数 ,则实数 的取值范围是（ 恒 成 立都 有 3(,f）A. B. C. D. 32, 65,6532,二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上）11. 已知二项式 的展开式的二项式系数之和为 ，则展开式中含 项的系数是_ _.21()nx32x12. 等差数列a n的前 n 项和为 ， ，则当 取最小值时， = 。nS1071,aanSn13.已知直线 的参数方程为 32xty（
5、 为参数），以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建l立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 与曲线 相交的弦长为Csin()4lC_ 14.将甲、乙等 6 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的不同的分配方案共有 种(请用数字作答)15.函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定yfx12(,)(,)AxyB,ABk叫做曲线 y=f（x）在点 A 与点 B 之间的“弯曲度” ，给出以下命题：|(,)ABk函数 图像上两点 与 的横坐标分别为 ，则321yx1,22),(BA存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点 、 是抛物线
6、 上不同的两点，则 ；2yx(,)设曲线 上不同两点 ，且 ，若 恒成立，则实xye12(,)(,)ABy12x(,)1t数 的取值范围是 .以上正确命题的序号为 。 t(,)三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分 12 分）已知函数 .()cos()3fxx()求 的最小正周期；()在 中，角 所对的边分别为 ，若 且 的面积ABC, ,abc1(),4fC2aABC为 ，求边长 的值.23c17.（本小题满分 12 分）根据最新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在 050，各类人群可正常活动某市环保局在 2014 年对该
7、市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 ,1， ,2， 0,3，30,4， ,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图（）求 a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（）用这 50 个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率如果空气质量指数不超过 20，就认定空气质量为 “最优等级” 从这一年的监测数据中随机抽取 2 天的数值，其中达到“最优等级”的天数为 ，求 的分布列，并估计一个月（30 天）中空气质量能达到“最优等级”的天数18.（本小题满分 12 分）如图，在矩形 中，
8、 ， , 分别为 ,ABCD2EFAB的中点，且沿 , 分别将 与 折起FDC来，使其顶点 与 重合于点 ，若所得三棱锥P的顶点 在底面 内的射影 恰为 的中PO点。 A BCD FEPO第 17 题图（）求三棱锥 的体积； PABF（）求折起前的 与侧面 所成二面角的大小.CP19. （本小题满分 13 分）等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ，nanSnb13,ab252310,.bSb()求数列 和 的通项公式；n()令 设数列 的前 项和 ，求n 为奇数，n 为偶数，,c ncnT2.n20 （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为
9、 ，且过点21(0)xyab63（3，-1） （）求椭圆 C 的方程；（）若动点 P 在直线 ： 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，使得 PM=PN，再过l2xP 作直线 恒过定点，并求出该定点的坐标,:MNl 证 明 直 线21 （本小题满分 13 分）已 知 函 数 ， ， 其 中 .()ln2fxax2()()(2)lngaxxRa（ ） 判断 f(x)的单调性；（）若 g(x)在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围；（3 若函数 F(x)=f(x)-g(x)存在两个零点 m，n(0mn)，且 2x0=m+n问：函数 F(x)在（4 点(x 0，F(x 0)处的切线能否
10、平行于 x 轴？淮南二中 2015 届高三第三次模拟考试数学试题（理科）参考答案1-5 ADDBC 6-10 CABBD 11. 10 12. 11 13. 14. 150 15. 230516.解析： 21()cos(sin)cosin34fxxx11cos(2)34x4 分（1） ； 6 分T（2） 8 分11()cos(2),cos(2)1,.3433fCC10 分in,8,4,ABSababab:由余弦定理得 12 分22cos12,3.cc17.解：()由题意，得 解得 3 分(0.30.8)01,a0.2a50 个样本中空气质量指数的平均值为 15.2.353.8452.6X由样本
11、估计总体，可估计 2014 年这一年度空气质量指数的平均值约为 25.6 6 分（）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 内为“最优等级” ，且指数达到“最优等0,级”的概率为 0.3，则 . 的可能取值为 0，1，2，7(2,03)B:分100212 2494()(.3).7,()(.3).7,1010PCPC29()(0.3)1PC分的分布列为：0 1 2P49142091011 分.(或者 )， 12 分4929010.60E2.36E设一个月（30 天）中空气质量能达到“最优等级”的天数为 ，则 B（30，03）故一个月（30 天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为 E=300
12、.3=9 天. 13 分18. 【解】( I )依题设： 面,PFABP又依题设： O 为 EF 的中点，且 ,POEFP故 是斜边为 的等腰 ，PEF2Rt故 ，且 ，1, 2ABDC又 为矩形，且 , 为边的中点 ，ABCDAB故 。1333PFABFVS( II ) 因所求二面角与二面角 互补，故先求二面角 。PFOPBFO作 于 H，连 ，O则由 知： OH 为 的射影 为二面角 的平面C面 H角，在 中，由 易求得： ，又 ，RtPBEFPB23P1故在 中，由 = ，sinO由此即知二面角 的大小为 。C23（II）设平面 与平面 的夹角为 ，PBF并设其法向量为 ，(,)nxyz
13、则由 ， ，(2,0(1,0)以及 20nBFxyPz2,xz取 ，得平面 的一个法向量为： ；1(1,)n而平面 的一个法向量为： ，C(0,)m故由 = 。cos,n123而所求二面角为钝二面角，故其大小为 。219.解析：()设数列 的公差为 d，数列 的公比为 q，则nanb由 得 解得25310,bSa610,423q,2d所以 ， 4 分()n n()由 ， 得 ， 1na()S则 即n 为奇数，n 为偶数，12,()nc 1,2ncn 为奇数，n 为偶数，A BCD FEPOxyz (0,1)(,2)(,)(1,20)6 分21321242()()nnnTccc 9 分3211)
14、 ()5 n 12 分(4)21nn()23n20解：（1）由题意知点（3，1） 在椭圆 C 上，即 1, 1 分9a2 1b2又椭圆的离心率为 ，所以 （ ） 2 ， 3 分63 c2a2 a2 b2a2 63 23联立可解得 a212， b24，所以椭圆 C 的方程为 15 分x212 y24（2）因为直线 l 的方程为 x2 ，设 P（2 ， y0） ， y0（ ， ） ，6 分2 2233 233当 y00 时，设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，显然 x1 x2，联立 则 0，即 ， 8 分y1 y2x1 x2 13 x1 x2y1 y2又 PM PN，即 P 为线
15、段 MN 的中点，故直线 MN 的斜率为 ， 9 分13 22y0 223y0又 l MN，所以直线 l的方程为 y y0 （ x2 ） ，3y022 2即 y （ x ） ，显然 l恒过定点（ ，0） ； 10 分3y022 423 423当 y00 时，直线 MN 即 x2 ，此时 l为 x 轴亦过点（ ，0） 12 分2423综上所述， l恒过定点（ ，0） 13 分42321、解：（1） 2()ln2()axfxaxf x0， f （x）在（0，+ ）上单调递减0 时 ， -+即 当 时，f（x）在（0， ）上单调递增,在（ ，+ ）上单调递减 a4 分（2） ，x02()()(2)l
16、ngax ,若 0，在 x0 上恒成立，(2) axg()则 0 恒成立，2()()a6-2 恒成立。 6 分1x而当 x0 时, ,2a 8 分，2（3）设 F（x）在（x 0，F（x 0） ）的切线平行于 x 轴，其中 F（x）=2lnxx 2ax结合题意，有20ln1234max （ ） （ ） （ ） （ ）（1）（2）得 2ln()()nam所以 ， 9 分0max由（4）得02所以 （5） 10 分 lnm1n设 ， （5）式变为(0,1)t2()l0(,1)tt设 ，2ln(0,1)tht22241( 0tttht 所以函数 在（0，1）上单调递增，因此， ，()ltt ()ht也就是 此式与（5）矛盾。12 分lnm2) 所以 F（x）在（x 0，F（x 0） ）的切线不能平行于 x 轴 13 分
