1、 福建省晨曦中学 2016 届开学第一考数学试题（理科）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。一、选择题（共 12 小题，满分 60 分）1（5 分）全集 U=0，1，3，5，6，8，集合 A=1，5，8 ，B=2，则集合（ UA）B=（）A0，2，3，6 B0，3，6 C 2，1，5，8 D 2（5 分）方程 x2+2x+5=0 的一个根是（）A 1+2i B 1+2i C 2+i D 2+i3（5 分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A B C D4（5 分）函数 y=2cos2（ + ）
2、1（x R）的图象的一条对称轴是（）A x= B x= C x= D x=5（5 分）已知命题 ：将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位后，对应函数的解析式为 y=sin（2x ）；命题 q：正切函数 y=tanx 在定义域内为增函数，则下列命题中为真命题的是（）A （）（q） B （ ）q C （q） D q6（5 分）如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， =x +y ，且 =3 ，则（）A x= ，y= B x= ，y= C x= ，y= D x= ，y=7（5 分）由曲线 y= ，x 轴及直线 y=x2 所围成的图形的面积为（）A B 4 C D 68（5 分）如图，
3、已知 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，PA平面 ABCD，E、F 分别是AB，PC 的中点若 PDA=45，则 EF 与平面 ABCD 所成角的大小是（）A 90 B 60 C 45 D 309（5 分）若 x，y 满足约束条件 则目标函数 z=x2+y2 的最小值为（）A B 2 C 3 D 410（5 分）已知函数 f（x） =x3+bx2+cx 的图象如图所示，则 x12+x22 等于（）A B C D11（5 分）如图是用模拟方法估计圆周率 值的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A PP= B P= C P= D P=12（5 分）已知中心在坐标原点的椭圆与双
4、曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P， PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则 e1e2 的取值范围是（）A （ ，+ ） B （ ，+ ） C （ ，+） D （0，+）二、填空题（共 4 小题，满分 20 分）13（5 分）若（1+ax） 7（a 0）的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 a=14（5 分）设函数 f（x）=x（e x+aex）（xR ）是偶函数，则实数 a=15（5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若 a=2 sinA，b
5、=，a=3c，则 c=16（5 分）已知点 A（1，0），B（1，0），直线 l：x=1，P 为平面上一动点，设直线PA 的斜率为 k1，直线 PB 的斜率 k2，且 k1k2=1，过 P 作 l 的垂线，垂足为 Q，则APQ面积的最大值为三、解答题（共 8 小题，满分 70 分）17（12 分）已知等差数列a n的首项为 1，前 n 项和为 Sn，且 S1，S 2，S 4 成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）记 Tn 为数列 的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Tn ？若存在，求 n 的最大值；若不存在，说明理由18（12 分）某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气
6、质量指数 API 的监测数据，结果统计如下：API （50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 300空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S（单位：元）与空气质量指数 API（记为）的关系式为：S= ，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于200 元且不超过 600 元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 22列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染
7、与供暖有关？附：P（K 2k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001k0 1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 10019（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB AC，AB=AC=1，AA 1= ，P 是A1C1 上一点（1）若 P 是棱 A1C1 的中点，求证：A 1B平面 B1PC；（2）若二面角 B1CPA 的大小为 60，求三棱锥 B1PCC1 的体积20（12 分）已知过点 A（ 4，0）的动直线 l 与抛物线 C：x 2=
8、2py（p0）相交于 B、C两点当 l 的斜率是 时， （1）求抛物线 C 的方程；（2）设 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围21（12 分）已知函数 f（x ）=ax 2+xxlnx（a 0）（1）若函数满足 f（1）=2，且在定义域内 f（x）bx 2+2x 恒成立，求实数 b 的取值范围；（2）若函数 f（x）在定义域上是单调函数，求实数 a 的取值范围；（3）当 xy1 时，试比较 与 的大小22（10 分）如图，在ABC 中，CD 是ACB 的平分线，ACD 的外接圆交 BC 于点E，AB=2AC （）求证：BE=2AD；（）当 AC=1，EC=2 时，求
9、AD 的长23已知曲线 C 的极坐标方程是 =2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 L 的参数方程是 （t 为参数）（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程；（2）设点 P（m ，0），若直线 L 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA| |PB|=1，求实数 m 的值24已知函数 f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式 f（x）6 的解集；（）若关于 x 的不等式 f（ x）|a 1|的解集非空，求实数 a 的取值范围福建省晨曦中学 2016 届开学第一考数学试题（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，
10、满分 60 分）1（5 分）集 U=0，1，3，5，6，8，集合 A=1，5，8 ，B=2，则集合（ UA）B=（）A0，2，3，6 B0，3，6 C 2，1，5，8 D A考点： 交、并、补集的混合运算专题： 计算题分析： 利用补集的定义求出（C UA），再利用并集的定义求出（C UA）B解答： U=0，1，3，5，6，8，A= 1，5，8 ，（C UA）=0，3，6B=2，（C UA）B=0，2，3，6故选：A点评： 本题考查利用交集、并集、补集的定义求集合的并集、交集、补集2（5 分）方程 x2+2x+5=0 的一个根是（）A 1+2i B 1+2i C 2+i D 2+i考点： 函数的
11、零点与方程根的关系 专题： 函数的性质及应用分析： 直接利用求根公式求解即可解答： 解：方程 x2+2x+5=0，可得 x= = =12i方程 x2+2x+5=0 的一个根是1+2i 故选：A点评： 本题考查实系数方程的根的求法，基本知识的考查3（5 分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A B C D考点： 由三视图还原实物图 专题： 立体几何分析： 根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案解答： 解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形故该几何体上部分是一个三
12、棱柱下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱故选 D点评： 本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为 N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台4（5 分）函数 y=2c
13、os2（ + ）1（x R）的图象的一条对称轴是（）A x= B x= C x= D x=考点： 二倍角的余弦；余弦函数的对称性 专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用倍角公式可得函数 y= ，由 =k，kZ，对 k 取值即可得出解答： 解：函数 y=2cos2（ + ）1= ，由 =k，kZ，取 k=1，则 x= 函数的图象的一条对称轴是 x= 故选：D点评： 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式，考查了计算能力，属于基础题5（5 分）已知命题 ：将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位后，对应函数的解析式为 y=sin（2x ）；命题 q：正切函数 y=tanx 在定义域内为增
14、函数，则下列命题中为真命题的是（）A （）（q） B （ ）q C （q） D q考点： 复合命题的真假 专题： 简易逻辑分析： 分别判断命题 p，q 的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断解答： 解：命题 ：将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位后，对应函数的解析式为y=sin（2x ），为真命题，故 为假命题；命题 q：正切函数 y=tanx 为周期函数，在每个周期内为增函数，所以命题 q 为假命题，q 为真命题， q p 为假命题， qp 为假命题，q p 为真命题， qp 为假命题，故选：C点评： 本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题
15、真假之间的关系6（5 分）如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， =x +y ，且 =3 ，则（）A x= ，y= B x= ，y= C x= ，y= D x= ，y=考点： 平面向量的基本定理及其意义 专题： 平面向量及应用分析： 根据向量的基本运算以及平面向量的基本定理进行表示即可得到结论解答： 解： =3 ， =3 3 ，即 4 =3 + ，即 = += ， =x +y ，x= ，y= ，故选：C点评： 本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键7（5 分）由曲线 y= ，x 轴及直线 y=x2 所围成的图形的面积为（）A B 4 C
16、D 6考点： 定积分 专题： 导数的综合应用分析： 联立方程可解得交点，易得面积 S= dx，计算可得解答： 解：联立 可解得 ，所围成的图形的面积 S= dx=（ x2+2x） =点评： 本题考查定积分求面积，属基础题8（5 分）如图，已知 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，PA平面 ABCD，E、F 分别是AB，PC 的中点若 PDA=45，则 EF 与平面 ABCD 所成角的大小是（）A 90 B 60 C 45 D 30考点： 直线与平面所成的角 专题： 空间角分析： 取 PD 的中点为 G，过 G 作 GHAD，垂足为 H，则可得 GAH 为 AG 与平面ABCD 所成的角，即为所求角，求解即可解答： 解：取 PD 中点 G，连接 AG、FG，EF 分别为 AB、PC 的中点，AE= AB，GFDC 且 GF= DC，又在矩形 ABCD 中 ABCD 且 AB=CD，AEGF 且 AE=GF，四边形 AEFG 是平行四边形，AGEF，AG 与平面 ABCD 所成的角等于 EF 与平面 ABCD 所成的角，过 G 作 GHAD，垂足为 H，则 GHPA
