1、 泰兴市第一高级中学 2014 年秋学期阶段练习四高 三 数 学 (文)一、填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 1设集合 ，则 = 13,xxABAB2函数 22sincos4y的最小正周期为 3函数 的定义域为 ()lg3)xf4过点（1，0）且与直线 平行的直线方程是 0y5已知实数 x， y满足约束条件 3x ， 则 25zxy的最大值为 6数列 是等差数列，若 构成公比为 的等比数列，则 _.na135,aqq7若曲线 1C： 4326yx与曲线 2C： exy在 1处的
2、切线互相垂直，则实数 a 的值为 8已知| |1，| |2， AOB ， ，则 与 的夹角大小为 OA OB 23 OC 12OA 14OB OA OC 9已知函数 的最大值与最小正周期相同，则函数 在 上的单()sin()(04fxx ()fx1，调增区间为 10已知函数 f(x) 201,)x ，若 (2)(ffk，则实数 k 的取值范围为 11设等比数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，且 ，其中nanS435a， ， 3kS， 163k，则 的值为 kN2kS12在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 tan7tAB，2abc，则 c 13数列 na中，
3、16，且 1nna（ *N， 2n ） ，则这个数列的通项公式 na 14已知两条直线 和 ， 与函数 的图象从左至右相交1:lym28:(0)1lym1l2|log|yx于点 ， 与函数 的图象从左至右相交于点 ，记线段 和 的长度分,AB2|og|x,CDABD别为 .当 变化时， 的最小值为 abba二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c设向量 (,)mac， (os,c)nCA（1）若 mn ， 3ca，求角 A；（2）若 si
4、b， 4os5，求 cosC的值16. (本小题满分 14 分)等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ， 为整数，且 .anS10a24nS求 的通项公式；n设 ，求数列 的前 n 项和 的最小值.1nbabT17 （本小题满分 14 分）已知函数 f(x)=ex-kx，xR. ()若 k=e，试确定函数 f(x)的单调区间；()若 k0，且 对 于 任 意 x R， f(|x|)0 恒 成 立 ， 试 确 定 实 数 k 的 取 值 范 围 . 18 （本小题满分 16 分）已知等差数列a n的首项 a1 为 a (,0)R.设数列的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有241n.
5、(1) 求数列a n的通项公式及 Sn ;(2) 是否存在正整数 n 和 k,使得 Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出 n 和 k 的值;若不存在,请说明理由.19 （本小题满分 16 分）如图（示意） ，公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 的角形耕地，其中 tan2在该块土地中 P 处有一小型建筑，经测量，它到公路 AM，AN 的距离分别为 3km， km现要过点 P 修建5一条直线公路 BC，将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积20 （本小题满分 16 分）已知函数 ()l
6、nafxx， R（1）当 0a时，求函数 ()f的极大值；（2）求函数 ()fx的单调区间；（3）当 1a时，设函数 ()1)1agfxx，若实数 b满足： a且()bg， 2b，求证： 45A MNP（第 19 题图）CB高三数学（文）阶段练习四参考答案1. 2. p 3. 4. 5.121x(,0)210xy6. 1 7.3e 8. 60 9. 10.12(log9,4)11. 12913,412. 4 13. (1)2n 14. 815. 解：（1） m ， cosaAC由正弦定理，得 sincosicAC化简，得 sii 2 分 ,(0,)ACp， 2或 2p，从而 （舍）或 A B
7、4 分在 Rt ABC 中， 3tanc， 6 6 分（2） 3osmbB， sco3sinCAb由正弦定理，得 2iiAB，从而 2i()3sinACB ACp， sn()s 从而 1si3 8 分 4cos05， ,， (0,)2p， in5 10 分 iniAB， ab，从而 AB，B 为锐角， 2cos3B 12 分 cos()cossinC= 42318255 14 分16. 解：由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数又 ，故 ，10a2nad4nS450a于是 ，解得 ，因此 ，34d53d3故数列 的通项公式为 na1na ，1(3)0303nb n于是 11747nT 13
8、0n因为 单调递增，所以当 时， 取得最小值 nT1nnT17017. 解：(1)由 k=e 得 f(x)=ex-ex，所以 f (x) =ex-e. 由 f (x)0 得 x1，故 f(x)的单调递增区间是(1,+)；4 分由 f (x)0 对任意 xR 成立等价于 f(x)0对任意 x0 成立. 由 f (x)=ex-k=0 得 x=lnk. 当 k(0,1 时，f (x)=ex-k1-k0(x0). 此时 f(x)在0,+ 上单调递增. 故 f(x) )f(0)=10，符合题意.所以 00. 当 x变化时 f (x)，f(x)的变化情况如下：x (0,lnk) lnk (lnk,+)f
9、(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增由此可得，在显然直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为 y3k(x1)，k (2，0)令 y0 得 xB1 6 分3k由 解得 yC 8 分y 3 k(x 1)，y 2x ) 6 2kk 2设ABC 的面积为 S，则 S xByC 1 10 分 12 k2 6k 9k2 2k 8k 9k2 2k令 8k9t，则 t( 25，9) ，从而 k t 98因此 S1 1 1 13 分64tt2 34t 225因为当 t(25，9)时，t (34，30 ，225t当且仅当 t15 时，此时 AB5，34t 的最大值为 4从而 S 有最小值为 152
10、25t答：当 AB5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为 15km216 分（方法三）如图 2，过点 P 作 PEAM ， PFAN，垂足为 E、F，连接 PA设 ABx ，AC y因为 P 到 AM， AN 的距离分别为 3， ，5即 PE3，PF 5由 SABC S ABP S APC x3 y (3x y) 4 分12 12 5 12 5因为 tan 2，所以 sin 所以 SABC xy 8 分12由可得 xy (3x y)12 12 5即 3 x5y2xy 10 分5因为 3 x5y2 ，所以 2xy2 5解得 xy15 13 分5当且仅当 3 x5y 取“” ，结合解得 x5
11、，y3 5 5所以 SABC xy 有最小值 1512答：当 AB5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为 15km2 16 分20. 解：函数 ()f的定义域为 (0,)（1）当 0a时， lnx， 1(fx，令 ()0fx得 1 1 分列表：x (0,1)1(1,)()f+ 0 极大值 所以 ()fx的极大值为 (1)f 3 分(2) 21axaf 令 ()0fx，得 20，记 14a （）当 14a 时， ()fx ，所以 ()fx单调减区间为 (0,)； 5 分（）当 时，由 0f得 12414,aa，A MNPBC（第 19 题图2）EF若 104a，则 120x，由 ()fx，
12、得 ， 1；由 ()0fx，得 21x所以， f的单调减区间为 4(0,2a， 14,)a，单调增区间为141(,)2a； 7 分若 0，由（1）知 ()fx单调增区间为 (0,1)，单调减区间为 (1,)； 若 a，则 12，由 ()0fx，得 x；由 ()0f，得 1xf的单调减区间为 4,2a，单调增区间为 14(0,)2a 9 分综上所述：当 1a 时， ()fx的单调减区间为 ,)；当 04时， f的单调减区间为 14(0,2a， 14(,)2a，单调增区间为 11(,)2a；当 0 时， (fx单调减区间为 14(,)2a，单调增区间为 14(0,)2a 10 分（3） ()ln1)gx（ x） 由 (ba得 lln(1)ab 1， 1(舍) ，或 (1)b 2()(a， 12 分由 2bg得， 1ln(1)l()2ln()1(*)bab，因为 =2aab ，所以（*）式可化为 1ln()2l()1ab，即 12bb（ ） 14 分令 1()bt，则 21()tt，整理，得 43210tt，从而 320tt，即 310t记 ()1,httt 2()6htt，令 ()ht得 231t（舍） ， 231t，列表： t 3(1,)(,)3()h+t 所以， ()ht在 231,)单调减，在 23(1,)单调增，又因为 (3)0,4h，所以34，从而 5b 16 分
