1、 2014-2015 学年高三学情 监测数 学 试 卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上 ）1 已知集合 ， ，则 MN lgMxy21Nxy2 已知复数 为虚数单位） ，则 = 2i+1(i)zz3 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 4 阅读下面的流程图，若输入 a10，b6，则输出的结果是 5 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球
2、2 个若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 6 函数 （ ，则“ ”是“函数 为奇函数”的 条xf13)()0x1)(f)(xf件（用“充分不必要” ， “必要不充分 ”“充要”“既非充分又非必要”）7 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的两条渐近线与抛物线2(0,)yaby24x 的准线相交于 A，B 两点若 AOB 的面积为 2，则双曲线的离心率为 8 过点( ，0)引直线 l与曲线 21xy相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB2的面积取最大值时，直线 的斜率等于 9 已知 中， ,且 ,则 = C0cos,tanC10在 中， ,点 P 在边 上
3、，则 的最大值为 AB9,1AB 2PC11 若关于 的方程 在区间 上有解，则实数 的取值范x322ln1xm)2,1(m围是 12在正三棱锥 SABC中， 1,30SAB，过 A 作三棱锥的截面 AMN,则截面三角形 MN的周长的最小值为 13已知实数 ，有且仅有两个不等axfxaxfa 232 167)(,log;)(,0 ， 若 方 程实根，且较大的实根大于 3，则实数 的取值范围 14若等差数列 满足 ，则 的最大n21052015620174029SaL值为 二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分）已知向
4、量 ，向量 ，函数 si2,1mx3cos,.nx mnxf)()求 的最小正周期 ；)(fT已知 分别为 内角 的对边， 为锐角， ，且cba,ABC,A13,2ac恰是 在 上的最大值，求 和 ()fA()fx0,4b16 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA 丄底面 ABCD 底面 ABCD 为矩形，E 为 PD 上一点，AD=2 AB=2AP=2，PE=2DE若 F 为 PE 的中点，求证 BF平面 ACE；求三棱锥 PACE 的体积17 （本题满分 14 分）北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代
5、言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为 25元，年销售 8 万件据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元公司拟投入 万x21(60)x作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用试5问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入a不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价18 （本题满分 16 分）如图，圆 O 与
6、离心率为 的椭圆 T： （ ）相切于点2312byax0aM )1,0(求椭圆 T 与圆 O 的方程；过点 M 引两条互相垂直的两直线 、 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D（均1l2不重合） 若 P 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为 、 ，求 的最大1d221d值；若 ，求 与 的方程DBCA431l219 （本题满分 16 分）已知数列a n的首项 a12，且对任意 nN *，都有 an1 ba nc，其中 b，c 是常数若数列a n是等差数列，且 c2，求数列a n的通项公式；若数列a n是等比数列，且|b| 1，当从数列 an中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等
7、差数列，求使数列a n的前 n 项和 Sn 成立的 n 的取值集合34125620 （本题满分 16 分）已知函数 ，其中 为实常数.2()6fxaa若 在 上恒成立，求 的取值范围；31,)已知 ， 是函数 图象上两点，若在点 处的两条切线相互平行，42P(fx12,P求这两条切线间距离的最大值；设定义在区间 上的函数 在点 处的切线方程为 ，当D)ys0(,)xy:()lytx时，若 在 上恒成立，则称点 为函数 的“好点”试0x0()sxts问函数 是否存在“好点”若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，2gf请说明理由 AMBCODE2014-2015 学年高三学情 监测数 学（附加
8、） 试 卷1 （本题满分 10 分）已知曲线 ，在矩阵 M 对应的变换作用下得到曲线 ， 在矩阵 N2:Cyx 102 1C对应的变换作用下得到曲线 ，求曲线 的方程01 C22 （本题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，圆 C 的参数方程为 ( 为参数)若点 P 是圆 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值3 （本题满分 10 分）如图，平面 平面 ， 是等腰直角三角形， ，四边形ABDEAB4AB是直角梯形， ， ， , 分别为D12DM、的中点C、() 求异面直线 与 所成角的大小；C() 求直线 和平面 所成角的正弦值
9、DOM4 （本题满分 10 分）设 i为虚数单位， n为正整数证明： (cosi)cosinxx；结合等式“ 1(i)(1cos)inx”证明：12CCnnn22n2014-2015 学年高三数学学情监测参考答案1. 2. 3. 480 4. 2 5. 6. 充要 7. 8. 0,135 5339. 10. 11. 12. 2 13. 14.4210,ln634,7(201515.解：（1） 2 分 2()si13sincofxmxx， 4 分cos1sin4i26 6 分.4T（2） 由（1）知： ，当 时, ()sin4)2fx04x566x当 时 取得最大值 ，此时 10 分462xf3
10、6由 得 由余弦定理，得3)(Af. 22cosabA ， 14 分221cos6bb16. 解：（1 ）若 F 为 PE 的中点，由于底面 ABCD 为矩形，E 为 PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ，故 E、F 都是线段 PD 的三等分点设 AC 与 BD 的交点为 O，则 OE 是 BDF 的中位线，故有 BFOE，而 OE 在平面 ACE 内，BF 不在平面 ACE 内，故 BF平面 ACE6 分（2 ）由于侧棱 PA 丄底面 ABCD，且 ABCD 为矩形，故有 CDPA， CDAD，故 CD平面 PAE， 8 分三棱锥 PACE 的体积 VPACE=VCPAE1
11、0 分= SPAECD= （ SPAD）AB= （ PAPD）AB= PAPDAB= 121= 14 分17. 解：(1)设每件定价为 t 元，依题意得 t258，整理得 t265t1 0000，(8 t 251 0.2)解得 25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多 为 40 元(2)依题意知当 x25 时，不等式 ax25850 (x2600) x 有解，16 15等价于 x25 时，a x 有解由于 x2 10，当且仅当 ，即150x 16 15 150x 16 150x 16x 150x x6x30 时等号成立，所以 a10.2.当该商品改革后的销售量 a 至少达到
12、10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价 为 30 元. 18. 解: (1)由题意知: 解得 可知:22,13abcac 3,1cb椭圆 的方程为 与圆 的方程 4 分C42yxO2yx(2)设 因为 ,则 因为),(0P1l2 20221 )1(PMd 1420yx所以 ,7 分36)1(3)(420021 yyd因为 所以当 时 取得最大值为 ，此时0y 21d36点 9 分)3,24(P(3)设 的方程为 ,由 解得 ；1l1kxy12ykx)1,2(2kA由 解得 11 分42yxk)4,8(22kC把 中的 置换成 可得 ， 12 分
13、A,k1)1,(2B)4,8(22kD所以 ，)2,(kM )4,8(22kMC，)12,(2kMB)48,(22kMD由 得 解得 15 分34AC4322所以 的方程为 ， 的方程为1l12xy2l 1xy或 的方程为 ， 的方程为 16 分1l2l219.解： (1) 当 c2 时，由已知得 a12，a 2ba 122b 2，a 3ba 222b 22b2，因为a n是等差数列，所以 a1，a2， a3 成等差数列，所以 a1a 32a 2，当 b1 时，a n 1a n2，对 nN *，an1 a n2 成立，所以数列a n是等差数列；所以数列a n的通 项公式分别为 an2 或 an
14、2n.(4 分)(2)因为a n是等比数列，所以 a1，a2，a3 成等比数列，所以 a1a3a ，2即 2(2bc) 2，化简得 2bcc 22c ，所以 c0 或 2bc 2.当 2bc2 时，a 2ba 1c 2bc 2，所以 an2，不满足 Sn .341256当 c0 时，若 b0，则与 a1 2 矛盾，所以 b0，因此 an2b n1 .(8 分)则 an1 2b n，an2 2b n1 ，因 为 an，an1 ，an2 按某种顺序排列成等差数列，所以有 1b2b 2，或 1b 2 2b，或 bb 22，解之得 b1 或 b 或 b2.(12 分)12又因为|b| 1，所以 b ，
15、所以 Sn ，1221 ( 12)n1 ( 12) 431 ( 12)n由 Sn ，得 ，即 n ，341256 431 ( 12)n 341256 ( 12) 11 024因为 n 是正整数，所以 n 的取 值集合为2,4,6,8 (16 分)20. 解：（ 1）方法一： 在 上恒成立，即为 在()fx(,2(3)60ax上恒成立， 时，结论成立； 时，函数 图(1,)3a3ah象的对称轴为 ，所以函数 在 单调递增，602(3)xa2()36hxax(1,)依题意 ，即 ，所以 ；(1)0h5 不合要求，综上可得，实数 的取值范围是 4 分3aa3a方法二： 在 上恒成立等价于 ，()fx
16、(1,)26x令 因为 ，所以 ，故226315hx10所以 .53xa（2） 设 ， ，过点 的两切线互相平行，2()4f1(,)Pxy2(,)y12,P则 ，所以 （舍去） ，或 ，221x1212x过点 的切线 ： ，即 ，6 分Pl11()yfx111()()0fyfxf过点 的切线 ：22222 0f x两平行线间的距离是 1122|()()()|xfffd，1121332|()()|44xx121248| 8535366xx因为 ，所以221156xxd即两平行切线间的最大距离是 10 分4（3） ，设 存在“好点” ， 232()()6gxfax()gx0(,)Pxy由 ，得 ，10)hg
