1、 岳阳市 2015 届高考信息卷（理数）时量：120 分钟 满分：150 分一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 10 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 符 合题 目 要 求 的 ） 1. 已知全集 ，集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的UR|2,RxAy|2Bx集合为（ C ）A B. ,C. D. (0,2)()2. 若复数 z满足 12izi，则 zi( B )A. B. C. D. 3. 用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数，则所求 最大公约数为 ( B )A. 21 B. 42 C
2、.84 D.1684. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ A ）（第 4 题图）A B C D5. 已知等比数列 的各项均为正数，对 ， ， ，则nakN5ka105kab1520ka（ B ）A B C D2bbb26. 在 中，若 ，则有（ D ） C2|AA B C D|ur |AB|ABC7. 设命题 ，则命题 p 为假命题的一个充分不必要条件是（ B ）2:R,10pxaxA. a1 B. a1 C. a1 D. aA函数 的图像关于直线 对称 B函数 的图像关关于点 对称()f ()fx1(,0)2C函数 在区间 内单调递增 D函数 的最小正周期为 1x+03,4
3、1+9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线分别交双曲21yab1F2122ya线的左，右两支于点 ， ，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ C ）BC2|A B C D3yx2x(3)yx(31)xBAU10. 设函数 ，若对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足2,0()logxf(2,)yxR，则正实数 的最小值是（ A ）fxayaA. B. C.2 D.4141二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 考 生 作 答 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 25 分 ， 把 答 案 填 在 答 题 卡 中 对 应 题 号后 的 横 线 上 ）（ 一
4、） 选 做 题 （ 11 13 题 ， 考 生 只 能 从 中 选 做 二 题 ， 三 题 都 做 记 前 两 题 的 得 分 ）11. 如图，已知 是 的一条弦， 是 的直径，点 为 延长线上一点，且 为ABOACOPABPC的一条切线，若 ， ，则 的长是 .O2PBPCBOA12. 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 ，点 在曲线 上，Ccos(2inxy为 参 数 ） PC以 Ox 为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，则 ， 两点距离的最大值为 Q3（Q.2313. 不等式 的解集是 .33|1log()|21|log(1)|x xx(2,)+（ 二 ） 必 做 题 （
5、 14 16 题 ）14. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的 个专业中，选择7个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 180 3种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答） 15. 已知下面的数列通项和递推关系：数列 有递推关系 ；)(nannnaa12数列 有递推关系 ；2b bb23数列 有递推关系 ；3cn432164nnnccc+=-数列 有递推关系 ；4()d= nddd 12345 50试猜测：数列 的类似的递推关系 .5ne6543216nnnneeee16. 设实数 中的最大数为 ，最小数为 .已知12,nx 1
6、2max, 1mi,x且三数 能构成三角形的三边长，记 ，求：y,ya,tyy（1）若 ，则 的最小值为 1 ；2xt（2） 的取值范围是t15,)三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）17 （本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ， 向量 满足 .ABC, ,abc(4,7)(,sin)mbaA=/mn（）求 的值；sin（）若 成等差数列，且公差大于 0，求 的值.,abcosAC【解析】 （） ， ， ，(4,7)(,in)m=/si根据正弦定理得 ，sis
7、A 5 分7sinB（ ） 成等差数列， ，,abc2acb+=由正弦定理以及（）得 7sinC设 ， osACx 2 2，得 2co()4x又 ， ， ， ，abB009cosAC故 代入式得 ，3cos()s274因此 12 分72AC18 （本小题满分 12 分）有 A，B，C 三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别（）从每个盒子中任意取出一个球，记事件 S 为“取得红色的三个球”，事件 T为“取得颜色互不相同的三个球”， 求 P（S）和 P（T） ；（）先从 A 盒中任取一球放入 B 盒，再从 B 盒中任取一球放入 C 盒，最后从 C 盒中任取一球放
8、入 A 盒，设此时 A 盒中红球的个数为 ，求 的分布列与数学期望 E 【解析】 （） ， 4 分2713)(92)(13C（） 的可能值为 ,10考虑 的情形，首先 盒中必须取一个红球放入 盒，相应概率为 ，此时 盒中有 2 B31B红 2 非红；若从 盒中取一红球放入 盒，相应概率为 ，则 盒中有 2 红 2 非红，从 盒B21C中只能取一个非红球放入 盒，相应概率为 ；若从 盒中取一非红球放入 盒，相应概率A为 ，则 盒中有 1 红 3 非红，从 盒中只能取一个非红球放入 盒，相应概率为 21CCA43故 2452)0( P考虑 的情形，首先 盒中必须取一个非红球放入 盒，相应概率为 ，
9、此时 盒中有AB32B1 红 3 非红；若从 盒中取一红球放入 盒，相应概率 为 ，则 盒中有 2 红 2 非红，从BC41C盒中只能取一个红球放入 盒，相应概率为 ；若从 盒中取一非红球放入 盒，相应概CA21BC率为 ，则 盒中有 1 红 3 非红，从 盒中只能取一个红球放入 盒，相应概率为 43CA41故 24524)2( P 1751 的分布列为 0 1 2P 457的数学期望 12 分 1245120E19 （本题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形， ，PABCDPABCDAB1AB， ，点 在 上， 2BC45 EP（）证明：平面 平面 ；E（）若二
10、面角 的大小为 ，求异面直线 与 所成角的大小150（第 19 题图）【解析】 （） ， ， ， 1AB2C45AB ， ， ，22cos1C=+-=CABC ， ，/D 平面 ， ，又 ，PPPI 平面 ， 平面 ， ，EDE ，又 ，EI 平面 ，A又 平面B平面 平面 . 6 分C（）如图，以 为原点， ， ， 所在射线分别为 x，y，z 轴的正半轴，AP建立空间直角坐标系 Axyz，设 ， ， ， ， ，t(0,)(1,0)B(,10)C(1,0)D（ ）.(0,)Pt ， ， ， 平面 ，ABEPBEAE平面 的一个法向量为 . (,1)ntru ， .设 ，C21tACP ， 2s
11、in1t21cost . (0,)tE设平面 的一个法向量为 ， ， ，AD(,)mxyzur 2(0,)1tAEur (1,0)ADur ，令 ，得 . 2201ttyzx1,)t二面角 的大小为 ，BE5 ，解得 .2| 3|cos, |cos50|21nmtrur 2t在 中， ， ， . RtPCD3CD6P ，异面直线 与 所成角为 ，/APABC异面直线 与 所成角的大小为 12 分620. (本小题满分 13 分)某企业投入 81 万元经销某产品，经销时间共 60 个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 个月的利润函数 （单位：万元） 为了获得更多的利x1, 20N*,6
12、0xfx润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中记第 个月的利润率为x，例如 gx第 个 月 的 利 润第 个 月 的 资 金 总 和 33812fg（）求 ；及第 个月的当月利润率；10x（）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率【解析】 （）依题意得 ，12391fff 3 分 110890gff当 时， x1当 时， ，则221ffxf，880xgff而 也符合上式，故当 时， 1x1gx当 时，260820211fgxf ffx ，211816002xffxx ，第 个月的当月利润率为 8 分x2,108,66xgx（）当 时， 是减函数，此时 的
13、最大值为 120x180gxgx18g当 时， ，262260791x当且仅当 ，即 时， 有最大值为 10x40*xNg2， 当 时， 有最大值为 ， 279879即该企业经销此产品期间，第 40 个月的当月利润率最大，其当月利润率为 13279分21. (本小题满分 13 分)设抛物线 的焦点为 ，点 ，线段 的中点在抛物线上. 设动直线2(0)ypxF(0,2)AFA与抛物线相切于点 ，且与抛物线的准线相交于点 ，以 为直径的圆记为:lkmPQP圆 C（）求 的值；（）证明：圆 与 轴必有公共点；x（）在坐标平面上是否存在定点 ，使得圆 恒过 点 ？若存在，求出 的坐标；若不MCM存在，
14、说明理由【解析】 （）利用抛物线的定义得 ，故线段 的中点的坐标为 ，代入方(,0)2pFFA2(,)4p程得 ，解得 . 2 分124pp（）由（）得抛物线的方程为 ，从而抛物线的准线方程为 ，2yx12x由 得方程 ，2yxkm20km由直线与抛物线相切，得 ，12k且 ，从而 ，即 ， 1yk21xk(,)Pk由 ，解得 ， 12x2(,)Q 的中点 的坐标为 ，圆心 到 轴距离 ，PC213(,)4kCx223()4kd，2221()kQ 222213()()44kkd 21()0圆 与 轴总有公共点. Cx(或 法二：由 ， ，以线段 为直径的方程为:21(,)Pk2(,)QkPQ2
15、211()()0kxyk令 得 0y224xk，所圆与 轴总有公共点）. 8 分221(31)() 0k x（）假设平面内存在定点 满足条件，由抛物线对称性知点 在 轴上，MMx设点 坐标为 ， 1(,0)x由（）知 ，2Pk2(,)Qk .11(,),Mxx由 得，0212()0kk ，即 或 22114kxx12平面上存在定点 ，使得圆 恒过点 . 13 分(,)CM证法二：由（）知 ， ， 的中点 的坐标为21,Pk2(,)kQPC213(,)4k，221()()kPQ圆 的方程为 ， C2222311()()()44kkxy整理得 ，222110yxy上式对任意 均成立，0k当且仅当
16、，解得 ， 22010xy120xy平面上存在定点 ，使得圆 恒过点 . 13 分1(,)2MCM22. (本小题满分 13 分)已知函数 (sinxfe.（）求函数 的单调区间；（）如果对于任意的 0,2， ()kxf 总成立，求实数 k的取值范围；（）设函数 ()cosxFxfe， . 过点 1(,0)2M作函数20135,()x图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列 nx，求数列 nx的所有项之和 S的值.【解析】 （）由于 ()sinxfe，()sinco(cos)2sin()4xx xfe e.当 2,)4k，即 3,4k时， 0fx；当 (2x，即 7()xk时， (). )f的
17、单调递增区间为 (,)k，单调递减区间为 372,)4k(kZ. 4 分（）令 ()sinxgxfe，要使 ()fxk总成立，只需 0,x时min0.对 求导得 ()cosg，令 ()scoxhe，则 20xh，( ,)2) 在 ,2上 为增函数， ()1,e.对 k分类讨论：当 1时， ()0gx恒成立， ()gx在 0,2上为增函数， min()(0)gx，即()0gx恒成立；当 2ke时， ()在上有实根 0， ()h在 ,上为增函数，当 0(,)时， 0gx， ()gx，不符合题意；当 2时， (恒成立， 在 (,)2上为减函数，则 ()0gx，不符合题意. 综合可得，所求的实数 k的取值范围是 ,1. 8 分（） ()cos(incos)xxFxfex， ()2cosxFe，设切点坐标为 00,(in)，则斜率为 0f，切线方程为 02(xye，将 1(,)2M的坐标代入切线方程，得 0 01sic)cs()2xex001tan()2x，即 0tan(2x，令 1y， yx，则这两个函数的图像均关于点 (,0)对称，它们交点的横坐标也关于 对称成对出现，方程 tanx， 2103,x的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列 的项也关于 对称成对出现，在 内共构成 1007 对，每对的和为 ，20135,x因此数列 n的所有项的和 . 13 分107S
