1、长春市十一高中 2014-2015 学年度高一下学期期末考试数 学 试 题（理 科）一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1若 nm,是互不相同的直线， 是平面，则下列命题中正确的是（ ）A.若 ,/则 ./ B.若 ,/nm则 ./C.若 ,则 D.若 则2.空间直角坐标系中,点 (2,58)M关于 xoy平面对称的点 N的坐标为（ ）A (25,8) B C (,) D (2,58)3.若平面 与 的法向量分别是 ，则平面 与 的位置关系是（ ）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定4已知等差数列 na的前 项和为 nS， ,15,5a则数列 1na的前 100 项和为（
2、）A.10 B. 109 C. 09 D. 05点 yxP,是直线 23y上的动点，则代数式 yx273有（ ）A.最小值 6 B.最小值 8 C.最大值 6 D.最大值 86 球面上有 A、B、C、D 四个点，若 AB、AC、AD 两两垂直，且 AB=AC=AD=4，则该球的表面积为（ ）A. 38 B. C. 42 D. 47.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C 1的两个截面截去两个角后所得的 几何体，则该几何体的正视图为( )8.数列 na满足 12,a且 11(2)nna,则数列 na的第 100 项为（ ）A 102 B 50 C 0 D 509.若等比数列的各项
3、均为正数，前 项的和为 S，前 项的积为 P，前 项倒数的和为 M，则有（ ）A SPM B SP C 2()nPM D 2()nS10三棱锥 C三条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，三角形 ABC 的面积为 S，则顶点 P 到底面的距离是（ ）A. sabc6 B. sabc3 C. sabc2 D. sabc11正三棱锥 V-ABC 的底面边长为 ，E,F,G,H 分别是 VA,VB,BC,AC 的中点，则四边形 EFGH 的面积的取值范围是（ ）体验 探究 合作 展示A.,0 B. ,32a C. ,632a D. ,21a 12.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，过 D
4、D1的中点作直线 l，使得 l与 BD1所成角为 40，且与平面 A1ACC1所成角为 50，则 l的条数为（ ）A1 B2 C3 D无数二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）13在直角三角形 A中， 09， 2,1AB，若 AB2，则 CD14若 x0,y0,且 y= 28x,则 x+y 的最小值为 15如图，在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCD 是边长为 6 的等边三角形若 AB=4，则四面体 ABCD外接球的表面积为 ABCD16在一个数列中，如果对任意 nN,都有 12(nak为常数 )，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列 是等积数列，且 2,a，公
5、积为 8，记 na的前 项和为nS，则：（1） 5a （2） 015S 三解答题：（本大题共 6 小题，共 66 分）17( 本小题满分 10 分)设 0,b且（1 ）求 的最大值；（2 ）求 8a最小值.18( 本小题满分 10 分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高 为 4 的等腰三角形（1）求该几何体的体积 V；（2）求该几何体的侧面积 S.19( 本小题满分 12 分)设数列 na 是公比小于 1 的正项等比数列， nS为数 列 na的前 项和，已知 34S ，且 23,49a 成等差数 列。（1）求数
6、列a n的通项公式；（2）若 ()b ，且数列 nb是单调递减数列，求实数 的取值范围。20 （本小题满分 12 分）如图，在四棱柱 1ABCD中，底 面 ABCD是矩形，且 2， 2， 13若 O为 AD的中点，且 1CAO（1）求证： 1平面 BD；（2）线段 B上是否存在一点 P，使得二面角 1P为 6？若存在，求出 的长；不存在，说明理由21 （本小题满分 12 分）如图，已知斜三棱柱 1CA的侧面 1A与底 面 ABC 垂直，CAC,32,90(1)求侧棱 1与底面 ABC 所成的角；(2)求侧面 B与底面 ABC 所成的角；(3)求顶点 C 到平面 1的距离.22.（附加题，本小题
7、满分 10 分，该题计入总分）已知数列 na中， 1， *1()2nnaN，记 2nT为 a的前 2项的和设 2b，（1）证明：数列 是等比数列；（2）不等式： 2643()nnTk对于一切 *恒成立，求实数 k的最大值.20142015 学年高一下学期末考试理科数学参考答案一、CCBAA DBDCC BB二、13. 23 14.18 15. 64 16.2，4700三、17、 （1） 21abab 5 分maxmin1()8()()5)9424,328()9babcab当 且 仅 当 时 取当 且 仅 当 即 时 时 取10 分18、解：由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长
8、、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8、高为 h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2的等腰三角形，如图(1)几何体的体积为 ShV31 5 分(2)正侧面及相对侧面的底边上的高为 左、右侧面的底边上的高为 故几何体的侧面积为 10 分19、解：（1）由题可设： 1naq，且 0,1aq 2 分23,49a成等差数列，所以 218393S，所以 1234，所以 , 4 分所以数列 n的通项公式为：24nnna； 6 分（2） 4ba，由 1n，得 432nn，8 分即 ，所以 mi12 10 分故 . 12 分20、 （1）证明： 13AD，且 1A
9、， 1O， 21 cosAO， 21 1. 3 分又 CD，且 AD， 1A平面 B 5 分（2）解：过 O作 /x，以 O为原点，建立空间直角坐标系 Oxyz（如图） ，zOxyABy CarDeB A DOarPar则 (0,1)， 1(0,3)， 6 分设 m，平面 1AP的法向量为 1n=(,)xyz， 1,A， ,0)m，且 1().yzPxn取 z，得 1= 3,1) 8 分又 1AO平面 BCD,且 AO平面 1D,平面 1平面 .又 ,且平面 1平面 BCA 平面 1.不妨设平面 A的法向量为 2n=(1,0) 10 分由题意得 123cos()3, mn， 解得 m或 （舍去
10、） 当 BP的长为 时，二面角 1DAP的值为 6 12 分21、(1)解：作 A1DAC，垂足为 D，由面 A1ACC1面 ABC，得 A1D面 ABC A 1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角 2 分AA 1A 1C，AA 1A 1C，A 1AD45为所求. 4 分(2）解：作 DEAB，垂足为 E，连 A1E，则由 A1D面 ABC，得 A1EAB，A 1ED 是面 A1ABB1与面 ABC 所成二面角的平面角. 6 分由已知，ABBC，得 EDBC 又 D 是 AC 的中点，BC2，AC2 ，DE1，ADA 1D ，tanA 1ED 故A 1ED60为所求. 8 分(3)方法一：
11、由点 C 作平面 A1ABB1的垂线，垂足为 H，则 CH 的长是 C 到平面 A1ABB1的距离.连结 HB，由于 ABBC，得 ABHB.又 A1EAB，知 HBA 1E，且 BCED，HBCA 1ED60CHBCsi n60 为所求.方法二：连结 A1B.根据定义，点 C 到面 A1ABB1的距离，即为三棱锥 CA 1AB 的高 h.由 V 锥 CA1AB V 锥 A1ABC 得 SAA1B h SABC A1D，10 分即 2 h 2 3 h 为所求. 12 分22、 （ 1）21212()nnnba所以 n是以 1，公比为 的等比数列. 4 分（2）由 ()知,()2nb,当 *kN时, 1()2knkab当 1()n时, 21112()()kkka即2,(),nna为 正 奇 数为 正 偶 数6 分21321242.)(.)nnnTaa()(322643(1)nnTak即得 1164()3()22nnk所以 8 分因 6464822nn（当 3时等号成立） ，即所求的 k最大值 8. 10 分
