1、固原一中 2015 届高考数学（理科）模拟试卷1、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如图，在复平面内，已知复数 321z、 ，对应的向量分别是 OCBA,， （ i是虚数单位） ，已知 ,321z则 |i|（ A ）A. 3 B. 10C. 16 D. 22设 yx,是两个实数，命题“ yx,中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是（ B ）A 2xy B 2xy C 2xy D 1xy3设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时恒有 f(x+2)=f(x)，当 x0,2 时，f(x)=e x1，
2、则 f(2014)+f(-2015)=（ B ）A.e-1 B.1-e C.-1-e D.e+14某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x的值是( D )A.2 B. 92 C. 32 D.35已知双曲线 ax2by2=1（ a0，b0）的一条渐近线方程是 x 3y=0，它的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（ D ） A.4x212y2=1 B.4x2 3y2=1 C.12x24y2=1 D. 4x24y2=16 定 义 ： 2413aa， 若 函 数 3()sincofx， 将 其 图 象 向 左 平 移 (0)m个单 位 长 度 后 ， 所
3、 得 到 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 则 m的 最 小 值是 ( B ) A 3 B 3 C 6 D 567若实数 yx,满足不等式组301xy，则 2|zxy的取值范围是（ D ）A.1,3 B., C. , D. 1,8 在 爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有( C )A80 种 B70 种 C40 种 D10 种
4、 9在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 b2=a2+bc，A= 6，则角 C=（ B ） A. 6 B. 4 C. 43 D. 4或 310 一个结晶体的形状为平行六面体 1DABC，以顶点 A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60,则 （ D ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 611如图，已知双曲线 =1（a0，b0）上有一点 A，它关于原点的对称点为B，点 F 为双曲线的右焦点，且满足 AFBF，设ABF=，且 ，则双曲线离心率 e 的取值范围为（ B ）A. ， 2+ B ， C ， D ， +112若函数 1113sin2(0,)yx，
5、函数 23yx，则 2211()()xy的最小值为（ B ）A 12 B2(8)7C2(18)D2(5)72、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若二项式( x152)6 的展开式中的常数项为 m，则 dx)2(1= .3214如图所示的程序框图，若输入 2015n，则输出的 s值为_3215已知正三角形ABC的边长为 2，点D，E分别在边AB ，AC 上，且 AD= B， E= AC若点F为线段BE的中点，点O为ADE 的重心，则 OFC= 016 定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x+5）=16 ，当 x（-1，4时，f（x）=x 2-2x，则函
6、数 f（x）在0，2013上的零点个数是_6043、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）设数列a n满足：a 1=1，a n+1=3an，nN *设 Sn 为数列 bn的前 n 项和，已知b10，2b nb1=S1Sn，nN *（）求数列a n， bn的通项公式；（）设 cn=bnlog3an，求数列c n的前 n 项和 Tn；（）证明：对任意 nN *且 n2 ，有 21ba+ 3+ nba1 23（17 ）解： （）a n+1=3an， an是公比为 3，首项 a1=1 的等比数列，通项公式为 an=3n1 2 分2b nb1=S1Sn，当 n=
7、1 时，2b 1b1=S1S1，S 1=b1，b 10，b 1=1 3 分当 n1 时，b n=SnSn1=2bn2bn1，b n=2bn1，b n是公比为 2，首项 a1=1 的等比数列，通项公式为 bn=2n1 5 分（）c n=bnlog3an=2n1log33n1=(n1)2n1， 6 分Tn=020+121+222+(n2)2n2+(n1)2n1 2Tn= 021+122+223+(n2)2n1+(n1) 2n 得： Tn=020+21+22+23+2n1(n1)2n=2n2(n1)2n =2(n2)2nT n=(n2)2n+2 10 分（） nba1= 123n= 123n= )2
8、3(2n 231n2+ 3+ nba 031+ + 2n= 31)(= 2(1 n) 14 分18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为直角梯形， /ADBC， 90，平面 底面 ， Q为 的中点， M是棱 P上的点，2A， 1， 3（）求证：平面 PB平面 AD；（）若二面角 MQC为 0，设 PtC，试确定 t 的值【知识点】平面与平面垂直的证明; 实数的取值 G10 G11【答案】 【解析】 （1）见解析；（ 2） 3t 解析：（1）证法一：AD BC ，BC=1AD，Q 为 AD 的中点，四边形 BCDQ 为平行四边形， CD BQ 1 分ADC=90，A
9、QB=90，即 QBAD 2 分又平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD，4 分BQ 平面 PAD 5 分BQ 平面 PQB，平面 PQB平面 PAD 6 分证法二：ADBC，BC=12AD，Q 为 AD 的中点，四边形 BCDQ 为平行四边形，CDBQ 1 分ADC=90AQB=90 ，即 QBAD 2 分PA=PD，PQAD 3 分PQBQ=Q PB平 面、 P， 4 分AD平面 PBQ 5 分AD平面 PAD，平面 PQB平面 PAD 6 分（2 ）法一：PA=PD，Q 为 AD 的中点，PQAD面 PAD面 ABCD，且面 PAD面 ABCD=AD，PQ面 AB
10、CD7 分如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系则平面 BQC 的法向量为 (0,1)n；8 分(0,)， (,03)P， (,0)B， (1,30)C设 Mxyz，则(,)， (,)xyz9 分PMtC,1(1)331txtyytztz，10 分在平面 MBQ 中， (0,3)QB，3,tMt，平面 MBQ 法向量为 ,mt12 分二面角 MBC为 30，23cos030nmt，得 t14 分法二：过点 作 O/ PQ交 于点 ，过 O作 E QB交于点 ，连接 ME，因为 P面 AD,所以 面 ABCD，由三垂线定理知 ，则 E为二面角 的平面角。9 分（没有证明扣 2 分）设 CMa，则
11、 t， 7P，tCPM1QO， 37a10 分E B， ，且三线都共面，所以 BC/ OEt1， 7aEO11 分在 MRt中M30tntan，13 分3tEO解得 t 14 分【思路点拨】 （）法一：由 ADBC，BC= AD，Q 为 AD 的中点，知四边形 BCDQ 为平行四边形，故 CDBQ由ADC=90，知 QBAD由平面 PAD平面 ABCD，知 BQ平面PAD由此能够证明平面 PQB平面 PAD法二：由 ADBC，BC= AD，Q 为 AD 的中点，知四边形 BCDQ 为平行四边形，故 CDBQ由ADC=90，知AQB=90 由 PA=PD，知PQAD ，故 AD平面 PBQ由此证
12、明平面 PQB平面 PAD （）由 PA=PD，Q 为 AD 的中点，知 PQAD由平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD，知 PQ平面ABCD以 Q 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出 t=319 （本题满分 12 分）国务院总理李克强在 2015 年 4 月 14 日的经济形势座谈会上就“手机流量资费和网速” 问题做出重要指示，工信部回应，将加大今年宽带专项行动中“加快 4G 建设”、 “大幅提升网速”等重点工作的推进力度，为此某移动部门对部分 4G 手机用户每日使用流量（单位： M）进行统计，得到如下记录：流量（x）05x1015x20x5x2频率 0.
13、05 0.25 0.30 0.25 0.15 0将手机日使用流量统计到各组的频率视为概率，并假设每天手机日使用流量相互独立（）求某人在未来连续 4 天里，有连续 3 天的手机日使用流量都不低于 15M，且另 1天的手机日使用流量低于 5M 的概率；（）用 X表示某人在未来 3 天时间里手机日使用流量不低于 15M 的天数，求 X的分布列和期望EE O20 （本小题满分 12 分）如图，已知圆 2:(3)16Exy，点 (3,0)F， P是圆E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q。（）求动点 Q 的轨迹 的方程；（）设直线 l与（1）中轨迹 相交于 A、B 两点，直线
14、OA， l，OB 的斜率分别为12,k（其中 0k） ， O的面积为 S，以 OA、OB 为直径的圆的面积分别为 12,S，若 恰好构成等比数列，求 12的取值范围。【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用H4 H8【答案】 【解析】 （1） （2） 5,4解析：（）连接 QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ，故动点 Q 的轨迹 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆设其方程为 ，可知 a=2， ，则 b=1，点 Q 的轨迹 的方程为为 （）设直线 l 的方程为 y=kx+m，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立
15、，化为（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0，=16（1+4k 2m 2）0，x 1+x2= ，x 1x2= k 1，k，k 2构成等比数列，k 2=k1k2= ，化为：km（x 1+x2）+m 2=0， +m2=0，解得 k2= k0，k= 此时=16（2m 2）0，解得 又由 A、O、B 三点不共线得 m0，从而 故S= = |x1x 2| = |m|= ，又 ，则 S1+S2= = =+ = 为定值 = ，当且仅当 m=1 时等号成立综上： 【思路点拨】 （）连接 QF，根据题意，|QP|=|QF|，可|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点 Q 的轨迹 是以 E，F
16、为焦点，长轴长为 4 的椭圆解出即可 （）设直线 l 的方程为 y=kx+m，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 与椭圆的方程联立可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0，利用根与系数的关系及其 k1，k，k 2构成等比数列，可得km（x 1+x2）+m 2=0，解得 k2= ，k= 利用0，解得 ，且m0利用 S= = |x1x 2| = ，又 ，可得 S1+S2= = 为定值代入利用基本不等式的性质即可得出的取值范围21 （本小题满分 12 分）已知函数 ()lnfxax在 1处的切线 l与直线 20xy垂直，函数21()gb（）求实数 的值；（）若函数 ()x存在单调
17、递减区间，求实数 b 的取值范围；（）设 12,()x是函数 ()gx的两个极值点，若 72b，求 12()gx的最小值21 题解 21 112122lnlnx xxxbx 120x所以设 120tt l0httt 221thtt，所以 ht在 ,1单调递减，7514b又2211x254t即2 10,0, ln48tttht，故所求的最小值是 15ln8 12 分请考生在第（22） ， （23） ， （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图所示，圆 O 的两弦 AB
18、 和 CD 交于点 E，EFCB，EF 交 AD 的延长线于点 F，FG 切圆 O 于点 G.（）求证：DEFEFA；（）如果 FG1，求 EF 的长23.（本小题满分 10 分）选修 44：极坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 C 的方程为 2cos(0)a，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l的参数方程为 31(4xty为参数）（）求圆 C 的标准方程和直线 l的普通方程；（）若直线 l与圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围。【知识点】参数方程化成普通方程N3【答案】 【解析】 （1） （xa） 2+y2=a2（2） 解析：（）由 得， ，则 ，直线 l
19、 的普通方程为：4x3y+5=0，（2 分）由 =2acos 得， 2=2acos又 2=x2+y2，cos=x圆 C 的标准方程为（xa） 2+y2=a2，（5 分）（）直线 l 与圆 C 恒有公共点， ，（7 分）两边平方得 9a240a250，（9a+5） （a5）0a 的取值范围是 （10 分）【思路点拨】 （）根据 2=x2+y2，x=cos，y=sin 把圆 C 的极坐标方程，由消元法把直线 l 的参数方程化为普通方程；（）根据直线 l 与圆 C 有公共点的几何条件，建立关于 a 的不等式关系，解之即可。24 （本小题满分 10 分）选修 45 ：不等式选讲已知 ()1fxx,不等式 ()fx的解集为 M.
