1、娄底市 2007 年普通高等学校招生统一考试考前演练数 学（理）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1、复数 的值为 （ 1iz）A B C D 2i12i12i12i2、 下列函数中，同时具有性质：图象过点 ；在区间 上是减函数；是偶函(0,)(0,)数，这样的函数是（ ）A. ; B. ; C. ; D. 13()fx3()log()fxx1()3xf()3xf3、 已知两条直线 , ，则 是直线 的（ 10labyc： 20mnyp： anbm12l）A充分不必要条件; B.必要不充
2、分条件 C.充要条件 ; D.既不充分也不必要条件4 函数 的图象与函数 (其中 且 )的图象关于 ( )1xyalog1)ayx0aA直线 对称 B直线 对称 C直线 对称 D直线 对1yx1yx称5 在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )1,2345A 36 个 B 24 个 C 18 个 D 6 个6、 已知 ， ，则下列结论中正确的是（ )sin)2fx(cos)2gx）A.函数 的周期为 (yfB.函数 的最大值为)x1C.将 的图象向左平移 单位后得 的图象 (f2()gxD.将 的图象向右平移 单位后得 的图象)fx7 已知 , ,则（ Rba
3、42ba）A. 6 B. 8 C. D. 7、8baba127ba127ba8 记首项为 1、公比为 （ ）的无穷等比数列 的所有项的和为 ， 表示该数q0|1nSn列的前 项和，且 ，则实数 的取值范围为 ( )nlim()nSA B C D3,)43,)41,34|aa且 1,34|a且9、 F1、F 2 是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形)0,(12byaxMF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A B C D34323310、将半径都为 1 的 4 个小球完全装入大球内,则这个大球的半径的最小值为（ ）A B1+ C2+ D22662二、填
4、空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确的答案填在指定位置上）11、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500，3000） （元）月收入段应抽出 人12、若 满足约束条件 ，则 的取值范围为_,xy2401xy3Zxy13若 的展开式中第 3 项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第31nNx_项14 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数
5、列，且 ，则 2ca_cos15对大于或等于 2 的自然数 的 次幂进行如下的“分裂”mn0.00010.00020.00030.00040.0005 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)频率/组距仿此， 的分裂中的最大的数是 ；若 的分裂中的最小的数是 ，则 的值为 25 3m21m。三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 （本小题满分 12 分）已知 . 求 的值。)cos,in2()sin,(com).2,(528|nm)8cos(17 （本小题满分 12 分）一次小测验共有 3 道选择题和
6、 2 道填空题，某同学答对每道选择题的概率均为 ，答对每道54填空题的概率均为 ，各道题答对与否互不影响。1（I）求该同学恰好答对 2 道选择题和一道填空题的概率；（II）求该同学至多答对 4 道题的概率。18 （本小题满分 12 分）在四棱锥 PABCD 中,PBC 为正三角形，AB平面 PBC，AB/CD，AB=，E 为 PD 的中点。BCD3,21（I）求证：AE/平面 PBC；（II）求证：AE平面 PDC；（III）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小。19 （本小题满分 12 分）若 A 为椭圆 上一动点，弦 AB、AC 分别过焦点 、 ，当 AC 垂直)0(12ba
7、yx 1F2于 轴时，恰有 。:3|:|AF（I）求椭圆的离心率；（II）设 .221CB试判断 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由。21F2F1OB CAXY20 （本小题满分 13 分）某厂在一个密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满 60 分钟一次性释放出有害气体，并迅速扩散到室内空气中。每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作 203am分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的 %，然后停止工作，净化设备停r止工作时，车间内的有害气体的含量不变，待下一次有害气体释放后再继续工作。安全生产规定：只有当车间内的有害气体总量不超过 1.25 时才能正常生
8、产。3am（I）用 与 表示第 次释放出有害气体且第 次自动净化设备没有工作时，车间内的有害rnn气体的数量。（II）当 时，该车间能否连续正常生产 6.5 小时？请说明理由。20（III）能否找到一个大于 20 的数据 ，使该车间能连续正常生产 6.5 小时，请说明理由。r21 （本小题满分 14 分）设 是函数 的两个极值点，且21,x )0(23)(2axbxaf .2|1x(I)求 的取值范围；a(II)求 的最大值；b(III)若函数 ),()(1xafxh axh，x，4|)(|0211 有时且当求 证娄底市 2007 年普通高等学校招生统一考试考前演练数 学（理）参考答案命题人
9、张慧巧 审题人 戴永康一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1、复数 的值为（ C）1izA B C D 2i12i12i12i2、下列函数中，同时具有性质：图象过点 ；在区间 上是减函数；是偶函(0,)(0,)数，这样的函数是（ C）A. ; B. ; C. ; D. 13()fx3()logfxx13xf()3xf3、已知两条直线 , ，则 是直线 的（ 10labyc： 20mnyp： anbm12lB）A充分不必要条件; B.必要不充分条件 C.充要条件 ; D.既不充分也不必要条件
10、4函数 的图象与函数 (其中 且 )的图象关于 (C) 1xyalog1)ayx0aA直线 对称 B直线 对称 C直线 对称 D直线 对1yx1yx称5在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有(B)1,2345A 36 个 B 24 个 C 18 个 D 6 个6、已知 ， ，则下列结论中正确的是（ D ()sin)2fx(cos)2gx）A.函数 的周期为 ()yfxg2B.函数 的最大值为 1C.将 的图象向左平移 单位后得 的图象 ()f2()gxD.将 的图象向右平移 单位后得 的图象fx7 已知 , ,则（ A ）Rba42baA. 6 B. 8 C. D
11、. 7、8127ba127ba8记首项为 1、公比为 （ ）的无穷等比数列 的所有项的和为 ， 表示该数q0|1nSn列的前 项和，且 ，则实数 的取值范围为 (C)nlim()nSaA B C D3,)43,)41,34|a且 1,34|aa且9、F 1、F 2 是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形)0,(12bayxMF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ D ）A B C D34323310、将半径都为 1 的 4 个小球完全装入大球内，则这个大球的半径的最小值为（B ）A B 1+ C2+ D22662二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5
12、分，共 25 分，把正确的答案填在指定位置上）11、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500，3000） （元）月收入段应抽出 25 人0.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 2000 2500 3000 3500 4000月收入(元)频率/组距12、若 满足约束条件 ，则 的取值范围为_ ， _,xy2401xy3Zxy3710213若 的展开式中第
13、3 项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第 5 31nxN项14 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 ，则 2ca_3/4_cos15对大于或等于 2 的自然数 的 次幂进行如下的“分裂”mn仿此， 的“分裂”中的最大的数是 9 ；若 的“分裂”中的最小的数是 ，则25 3m21的值为 15。m三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 （本小题满分 12 分）已知 . 求 的值。)cos,in2()sin,(co ).2,(528|nm)8cos(解： mm|2=1+ + 2 2cs)si( csi
14、)si(=4+ no=4 1+ = )8()4c(2158 分216s85又 912 分0)2cos( 54)82cos(17 （本小题满分 12 分）一次小测验共有 3 道选择题和 2 道填空题，某同学答对每道选择题的概率均为 ，答对每道54填空题的概率均为 ，各道题答对与否互不影响。1（I）求该同学恰好答对 2 道选择题和一道填空题的概率；（II）求该同学至多答对 4 道题的概率。解：（I）记事件 A=“该同学恰好答对 2 道选择题和一道填空题” ，其中恰好答对 2 道选择题的概率为 答对一道填空题的概率为 ，由于,158)(231CP 1)(12Cp“恰好答对 2 道选择题”和“答对一道
15、填空题”是相互独立事件，因此 .6 分24)(1A（II）记 B=“该同学答对全部的 5 道题” ，事件 C=“该同学至 多答对 4 道题” ，则事件B，C 为对立事件，所以 12 分12509)()4(1)()( 23CBP18 （本小题满分 12 分）在四棱锥 PABCD 中,PBC 为正三角形，AB平面 PBC，AB/CD，AB= ，E 为 PD 的中点。CD3,21（I）求证：AE/平面 PBC；（II）求证：AE平面 PDC；（III）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小。解法一：CBAX PDYZ（I）如图建立坐标系设 AB=1则 A , P（1， ） E2323(0
16、,1)(,0),()D0,3)1,23(),(, BBCE得 P2又 AE , .4 分面AE面故 /F2F1OB CAXY. 8 分 PCAECDAEDPI ,0),231(),0( ,)( PCAE面(III)设 =（0, 0, 1）, 设面 PAD 的法向量nB的 法 向 量面 ),(2zyxn)3(),(2zyxPn 03zyx取 , 得2,0A3)2,3(21cos21n即面 PAD 与面 BPC 所成二面角为 .12 分3解法二：（I）取 PC 的中点为 F，连结 EF，则 EF 为PDC 的中位线，即 EF 平行且等于，又AB/CD, AB= AB 平行且等于 EF，DC21,2
17、1DC又AB平面 PBC，四边形 AEFB 为矩形，AE/BF，又BF 平面PBC，AE/平面 PBC.4 分（II）PBC 为正三角形， F 为 PC 的中点，BFPC，又 EFPC，EF BF=F, PC平面 AEFB，AEPC，由（1）知 AEEF，EF PC=F，AE平面 PDC8 分（III）延长 CB 交 DA 于 ,连结 ，设 BC= ，AB= ，BPaDC21 取 B 的中点为 H，连结 AH、BH，则 BH ，由三垂线定理知 AHB,aPB PB，AHB 为平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角. 在 RtAHB 中，AB= ,3AHa,3sin,23 A平面 P
18、AD 与平面 PBC 所成锐二面角为 .12 分19 （本小题满分 12 分）若 A 为椭圆 上一动点，弦 AB、AC 分别过焦点 、 ，当 AC 垂直)0(12bayx 12于 轴时，恰有 。:3|:|AF（I）求椭圆的离心率；（II）设 .221CB试判断 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由。21解：（I）当 AC1:3|:|21AF，OX时又 2|,3|2| 11 aAFaAF得在AF 1F2中由勾股定理，|AF 1|2= )(|c5 分49acea得（II） ,b=c,椭圆：2be得 22byx（1）若 AC 与 不垂直，设 A( 、 ), B( 、 ), C( 、 )，
19、，OX012xy)0,(1bF),(2AC： )(0bxy代入 得22x 0)(2)32002 ybxbyx因此 , 02206byy002233x于是 xyCFA0223|同理 bxb001311 分62(2)若 AC ，亦有 .12 分Ox2120 （本小题满分 13 分）某厂在一个密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满 60 分钟一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到室内空气中。每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作 20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的 %，然后停止工作，净化设备停r止工作时，车间内的有害气体的含量不变，待下一次有害气体释放后再继续工作。安全生产规定：只有当车间内的有害气体总量不超过 1.25am3 时才能正常生产。（I）用 与 表示第 次释放出有害气体且第 次自动净化设备没有工作时，车间内的有害rann气体的数量。（II）当 时，该车间能否连续正常生产 6.5 小时？请说明理由。20（III）能否找到一个大于 20 的数据 ，使该车间能连续正常生产 6.5 小时，请说明理由。r解：(I)第一次释放出有害气体 am3. 第二次释放出有害气体后（净化之前）车间共有有害气体第三次释放出有害气体后（净化之前）车间共有害气体.%)(3mar32%)( mra第 次释放出有害气体后（净化之前）车间共有有害气体n
