1、第 1 讲 排列与组合、二项式定理【高考考情解读】 1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在” “不在”问题、相邻问题、相间问题 )为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择题、填空题形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题
2、中，难度为易或中等1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2 排列与组合(1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 A n(n1)( n2)(nm1)或写成 A .mn mnn！n m！(2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合从 n
3、 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是C mnnn 1n 2n m 1m！或写成 C .mnn！m！ n m！(3)组合数的性质C C ；mn n mnC C C .mn 1 mn m 1n3二项式定理(1)定理：(ab )nC anb0C an1 bC an2 b2C anr brC a0bn(r0,1,2，n)0n 1n 2n rn n(2)二项展开式的通项Tr1 C anr br，r0,1,2，n，其中 C 叫做二项式系数rn rn(3)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即 C C ，C C ，C C ，.0n n 1n n 1n kn n kn最大
4、值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 C n取得最大值；当 n 为奇数时，n2中间的两项的二项式系数 C n，C n相等，且同时取得最大值n 12 n 12各二项式系数的和aC C C C C 2 n；0n 1n 2n kn nbC C C C C C 0n 2n 2rn 1n 3n 2r 1n 2n2 n1 .12考点一 两个计数原理例 1 (1)(2013 山东)用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A243 B252 C261 D279(2)如果一个三位正整数“a 1a2a3”满足 a1a2 且 a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,2
5、75)，那么所有凸数的个数为 ( )A240 B204 C729 D920本题 主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用，解题的关键是合理分类，正确分步答案 (1)B (2)A解析 (1)无重复的三位数有：A A A 648 个39 12 29则有重复数字的三位数有：900648252 个(2)分 8 类，当中间数为 2 时，有 122 种；当中间数为 3 时，有 236 种；当中间数为 4 时，有 3412 种；当中间数为 5 时，有 4520 种；当中间数为 6 时，有 5630 种；当中间数为 7 时，有 6742 种；当中间数为 8 时，有 7856 种；当中间数为 9 时
6、，有 8972 种故共有 26122030425672240 种(1)在 应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 ( )A24 种 B48 种 C96 种 D144 种(2)如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫作 “好数” ，那么在由 1,2,3,4四个数字组成的重复数字的四位数中
7、， “好数”共有_个答案 (1)C (2)12解析 (1)首先安排 A 有 2 种方法；第二步在剩余的 5 个位置 选取相邻的两个排 B，C，有 4 种排法，而 B，C 位置互换有 2 种方法；第三步安排剩余的 3 个程序，有 A 种排法，3共有 242A 96 种3(2)当相同的数字不是 1 时，有 C 个；13当相同的数字是 1 时，共有 C C 个，13 13由分类加法计数原理知共有“好数”C C C 12 个13 13 13考点二 排列与组合例 2 (1)(2013 重庆)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至
8、少有 1 人的选派方法种数是_(用数字作答)(2)(2013浙江)将 A、B 、C 、D、E、F 六个字母排成一排，且 A、B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)答案 (1)590 (2)480解析 (1)分三类：选 1 名骨科医生，则有 C (C C C C C C )360(种)13 14 35 24 25 34 15选 2 名骨科医生，则有 C (C C C C )210( 种)；23 14 25 24 15选 3 名骨科医生，则有 C C C 20( 种)3 14 15骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 36021020590.(2)分类讨论：A、
9、B 都在 C 的左侧，且按 C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母 这4 类计算，再考虑右侧情况所以共有：2(A A C A A C A A )480.2 3 13 3 2 23 4 5求解排列、 组合问题 的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或 组合数(1)(2012山东)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各
10、4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为 ( )A232 B252 C472 D484(2)某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( )A36 种 B42 种 C48 种 D54 种答案 (1)C (2)B解析 (1)利用分类加法计数原理和组合的概念求解分两类：第一类，含有 1 张红色卡片，共有不同的取法 C C 264(种)；14 21第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法 C 3C 22012208(种)312 3
11、4由分类加法计数原理知不同的取法有 264208472(种)(2)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间 4 个节目无限制条件，有 A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的 3 个节目中选 1 个节目排在第一4位有 C 种排法，其他 3 个节目有 A 种排法，故有 C A 种排法依分类加法计数原理，13 3 13 3知共有 A C A 42(种)编排方案4 13 3考点三 二项式定理例 3 (1)(2013 辽宁)使 n(nN )的展开式中含有常数项的最小的 n 为 ( )(3x 1xx)A4 B5 C6 D7(2)若(1 2x)2 013a 0a 1xa 2 013
12、x2 013(xR)，则 的值为( )a12 a222 a2 01322 013A2 B0 C1 D2答案 (1)B (2)C解析 (1)展开式的通项公式 Tr1 C (3x)nr r，rn (1xx)T r1 3 nr C xn r，r0,1,2 ，n.rn52令 n r0，n r，故最小正整数 n5.52 52(2)(12 x)2 013a 0a 1xa 2 013x2 013，令 x ，12则 2 013a 0 0，其中 a01，所以 (1 212) a12 a222 a2 01322 013 a12 a2221.a2 01322 013(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项
13、展开式的任意项，只要 n 与 r 确定， 该项就随之确定；T r1 是展开式中的第 r1 项，而不是第 r 项；公式中，a，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置；对二项式(ab) n展开式的通项公式要特别注意符号问题 (2)在二项式定理的应用中， “赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法(1) 2n的展开式的第 6 项的二项式系数最大，则其常数项为( )(x 13x)A120 B252 C210 D45(2)若(1 x)(2 x)2 011a 0a 1xa 2x2a 2 011x2 011a 2 012x2 012，则 a2a 4a 2 010a 2 012
14、 等于 ( )A22 2 011 B22 2 012C12 2 011 D12 2 012答案 (1)C (2)C解析 (1)根据二项式系数的性质，得 2n10，故二项式 2n的展开式的通项公式(x 13x)是 Tr1 C ( )10r rC x5 ，根据题意 5 0，解得 r6，故所求的r10 x (13x) r10 r2 r3 r2 r3常数项等于 C C 210.610 410(2)采用赋值法，令 x1，得 a0a 1a 2a 2 011a 2 0122，令 x1，得a0a 1a 2a 2 011a 2 0120，把两式相加，得 2(a0a 2a 2 012)2，所以a0a 2a 2 0
15、121，又令 x0，得 a02 2 011，所以 a2a 4a 2 010a 2 01212 2 011.故选 C.1 排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步” ，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响， 则是排列问题；若交换 任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素的 顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素(特殊位置) 优先安排法；合理分类与准确分步
16、；排列、组合混合 问题先选后排法；相邻问题 捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题倍缩法；多排问题一排法；“小集团”问题先整体后局部法；构造模型法；正难则反、等价转化法2 二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项 式恒等，则对应项系数相等)；二是 赋值这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解另外，通项公式主要用于求二 项式的指数，求 满足条件的项 或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)C anr br是第 r1 项，而不是第 r 项rn(2)运用通项公式 Tr1 C anr br解题，一般都需先 转化为 方程(组)求出 n、
17、r，然后代入rn通项公式求解(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出 r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意 n 和 r 的取值 范围及它们之间的大小关系 .1 有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A、B 两位学生去问成绩，老师对 A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对 B 说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为 ( )A6 B18 C20 D24答案 B解析 由题意知，名次排列的种数 为 C A 18.13 32 如图所示，在 A、B 间有四个焊接点 1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现 A、B
18、 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有 ( )A9 种 B11 种 C13 种 D15 种答案 C解析 按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落 1 个，有 (1)，(4)，共 2 种；若脱落 2 个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3) ，(4,2)，(4,3)，共 6 种；若脱落 3 个，有(1,2,3) ，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共 4 种；若脱落 4 个，有(1,2,3,4)，共 1 种综上共有 264113 种焊接点脱落的情况3 在(1x) na 0a 1xa 2x2a 3x3a nxn中，若 2a2a n3 0，则自然数 n 的值是( )A7 B8
19、C9 D10答案 B解析 易知 a2C ，an3 ( 1)n3 C (1) n3 C ，2n n 3n 3n2a 2a n3 0，2C ( 1)n3 C 0，2n 3n将各选项逐一代入检验可知 n8 满足上式， 选 B.4 在(1 )2(1 )4 的展开式中， x 的系数等于_ ( 用数字作答)x 3x答案 3解析 因为(1 )2 的展开式中 x 的系数为 1，(1 )4 的展开式中 x 的系数为 C 4，x 3x 34所以在(1 )2(1 )4 的展开式中，x 的系数等于3.x 3x(推荐时间：45 分钟)一、选择题1 (2012重庆)(1 3x )5 的展开式中 x3 的系数为 ( )A2
20、70 B90 C90 D270答案 A解析 (13x) 5 的展开式通项为 Tr1 C (3) rxr(0r5，rN)，当 r3 时，该项为r5T4C (3) 3x3270x 3，故可得 x3 的系数为270.352 (2013课标全国)已知(1ax)(1x) 5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a 等于 ( )A4 B3 C2 D1答案 D解析 (1ax)(1x) 5 中含 x2 的项为：(C C a)x2，即 C C a5， a1.25 15 25 153 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ( )A11 种 B20 种 C21 种 D12 种答案 C解析 当第一组开关有一个接
21、通时，电路接通为 C (C C C )14 种方式；当第一12 13 23 3组有两个接通时，电路接通有 C (C C C )7 种方式所以共有 14721 种方2 13 23 3式，故选 C.4 高三某班 6 名同学站成一排照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有 ( )A120 B240 C360 D480答案 B解析 先将其他 4 名同学排好有 A 种方法，然后将甲、乙两名同学插空，又甲、乙两人4顺序一定且不相邻，有 C 种方法，所以共有 A C 240 种排法25 4 255 某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试，若这 4 人中
22、必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A140 种 B120 种 C35 种 D34 种答案 D解析 从 7 人中选 4 人共有 C 35 种方法，又 4 名全是男生的选法有 C 1 种故选47 44 人既有男生又有女生的选法种数为 35134.6 若(12x) 5a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5，则 a0 a1a 3a 5 的值为 ( )A122 B123 C243 D244答案 B解析 在已知等式中分别取 x0、 x1 与 x1，得a01，a 0a 1a 2a 3a 4a 53 5，a0a 1a 2a 3a 4 a51，因此有 2(a1a 3a 5)3 512
23、44，a 1a 3a 5122 ，a0a 1a 3a 5123，故选 B.7 在二项式 (x2 )n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和1x为( )A32 B32 C0 D1答案 C解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n32，解得 n 5.因此，该二项展开式中的各项 系数的和等于(1 2 )50，选 C.118 (2012湖北)设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a 的值为 ( )A0 B1 C11 D12答案 D解析 化 51 为 521，用二项 式定理展开512 012 a(521) 2 012a C 522 012C 522 0
24、11C 52(1) 2 02 12 12 012 2 0112011C (1) 2 012a.2 012因为 52 能被 13 整除，所以只需 C (1) 2 012 a 能被 13 整除，2 012即 a1 能被 13 整除，所以 a12.9 (2012大纲全国)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种答案 A解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有 A 种不同的排法3再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 A 种不同的排法，第二列第二、三行的字12母只有
25、1 种排法因此共有 A A 112(种)不同的排列方法3 1210某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 ( )A504 种 B960 种C1 008 种 D1 108 种答案 C解析 由题意得不同的安排方案共有 A (A 2A A )1 008( 种)2 6 5 4二、填空题11(2013安徽)若 8 的展开式中，x 4 的系数为 7，则实数 a_.(x a3x)答案 12解析 T r1 C x8r ra rC x8 r，由 8 r4 得 r3，由已知条件 a3C 7，则r8 (a3x) r8 43 43 38a3 ，a .18 1212(2013北京)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果
