1、 1因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾：1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a 22ab+b2=(ab)2
2、；(3)a 3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a 3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 为正整数；(8)a n-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，
3、其中 n 为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式三、专题讲解例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2x n-1yn(x2n-y2)2 =-2x n-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x 3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y- z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)2例 2 分解因
4、式：a 3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)这个 式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解 原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) 2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+
5、b3+c3-3abc显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c0 时，则 a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当 a=b=c 时，等号成立如果令 x=a30，y=b 30，z=c 30，则有等号成立的充要条件是 x=y=z这也是一个常用的结论变式练习1 分解因式：x 15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有 16 项，从最高次项 x15开始，x 的次数顺次递减至 0，由此想到应用公式 an-bn来分解解 因为x 16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用
6、到先乘以(x-1)，再除以(x- 1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法3因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例 3 分解因式：x 3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法 1 将常数项 8 拆成-1+9原式=x 3-9
7、x-1+9=(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 2 将一次项-9x 拆成 -x-8x原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x- 1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 3 将三次项 x3拆成 9x3-8x3原式=9x 3-8x3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 4 添加两项-x 2+x2原式=x 3-9x+8=x 3-x2+x2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x
8、-1)=(x-1)(x 2+x-8)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种变式练习1 分解因式：(1)x 9+x6+x3-3；(2)(m 2-1)(n2-1)+4mn；4(3)(x+1) 4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1解 (1)将-3 拆成-1- 1-1原式=x 9+x6+x3-1-1-1=(x 9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x 3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x 3
9、-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn原式=(m 2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m 2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m 2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1) 2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x 2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1) 4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1) 4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1) 2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x 2+2
10、)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a 3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a -b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b 2+1)=a(a-b)+1(ab+b 2+1)=(a 2-ab+1)(b2+ab+1)说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab- ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们
11、需多做练习，积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例 4 分解因式：(x 2+x+1)(x2+x+2)-125分析 将原式展开，是关于 x 的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将 x2+x 看作一个整体，并用字母 y 来替代，于是原题转化为关于 y 的二次三项式的因式分解问题了解 设 x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y 2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x 2+x+5)说明 本题也可将 x2+x+1 看作一个整体，比如今
12、x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例 5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x 2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令 y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y 2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x 2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1)说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础变式练习1.分解因
13、式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 设 x2+4x+8=y，则原式=y 2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8)说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按 x
14、降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为62x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于 x 的二次三项式对于常数项而言，它是关于 y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x 2
15、-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x 2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y 2+x-y-2；(4)6x 2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (
16、1)7原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺 x2项，可把这一项的系数看成 0 来分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似2求根法我们把形如 anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为关于 x 的一元多项式，并用 f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x 2-3x+2，g(x)=x 5+x2+6，当 x=a 时，多项式 f(x)的值用 f(a)表示如对上面的多项式 f(x)f(1)=1 2-31+2=0；f(-2)=(-2
17、) 2-3(-2)+2=12若 f(a)=0，则称 a 为多项式 f(x)的一个根定理 1(因式定理) 若 a 是一元多项式 f(x)的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x)有一个因式 x-a根据因式定理，找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求多项式 f(x)的根对于任意多项式 f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式 f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根定理 2 的根，则必有 p 是 a0的约数，q 是 an的约数特别地，当 a0=1 时，整系数多项式 f(x)的整数根均为an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多
18、项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解例 2 分解因式：x 3-4x2+6x-48分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4 的约数，逐个检验-4 的约数：1，2，4，只有f(2)=2 3-422+62-4=0，即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理 1，原式必有因式 x-2解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)原式=(x 3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x 2-2x+2)解法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)说明 在上述解法中，特别要注意的是多
19、项式的有理根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4 的约数逐个代入多项式进行验证变式练习1. 分解因式：9x 4-3x3+7x2-3x-2分析 因为 9 的约数有1，3，9；-2 的约数有1，为：所以，原式有因式 9x2-3x-2解 9x 4-3x3+7x2-3x-2=9x 4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x 2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x 2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x 2+1)说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式9可以化为 9x2-3x-2，这样可以
20、简化分解过程总之，对一元高次多项式 f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么 f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而 g(x)是比 f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对 g(x)进行分解了3待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母
21、系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例 3 分解因式：x 2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x 2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m 和 xyn 的形式，应用待定系数法即可求出 m 和 n，使问题得到解决解 设x 2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下变式练习1.分解因式：x 4-2x3
22、-27x2-44x+7分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是1，7(7 的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为(x 2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 设原式=(x 2+ax+b)(x2+cx+d)=x 4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有10由 bd=7，先考虑 b=1，d=7 有所以原式=(x 2-7x+1)(x2+5x+7)说明 由于因式分解的唯一性，所以对 b=-1，d=-7 等可以不加以考虑本题如果 b=1，d=7 代入方程组后，无法确
23、定 a，c 的值，就必须将 bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地四、巩固练习：1. 分解因式：(x 2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y， v=xy，用换元法分解因式解 原式=(x+y) 2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令 x+y=u，xy=v，则原式=(u 2-v)2-4v(u2-2v)=u 4-6u2v+9v2=(u 2-3v)2=(x 2+2xy+y2-3xy)2=(x 2-xy+y2)2五、反思总结
