1、教育 VIP 精品讲义第 1 页 共 13 页抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 的问题感到困难，学好这部分()fx知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量 表示原自变量 的代数式，从而求出 ，这也是证某些x()fx公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1：已知 ,求 .()21xf()f解：设 ,则 u21uf2()1xf2.凑配法：在已知 的条件下，把 并凑成以 表示的代数式，()(fgxh()hxgu再利用代
2、换即可求 .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例 2：已知 ，求31()fxx()f解： 又2 2211()3x1|1|xx ，(| |1)23()f x3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 已知 二次实函数，且 +2 +4,求 .()fx 2(1)()fxfx()fx解:设 = ，则2abc2 2(1)()(1)()(1)()fxfxcaxbc教育 VIP 精品讲义第 2 页 共 13 页= 比较系数得22()4axbacx()4131,2cb 213()fx4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性 ,求分段函数的解析式.例 5一已知
3、 为偶函数， 为奇函数，且有 + ， 求 , .()fx()gx()fx1g()fxg解： 为偶函数， 为奇函数， , ,()x不妨用- 代换 + = 中的 ,x()fgx1x 即 ()f()f1g显见+即可消去 ,求出函数 再代入求出()gx2x2()1xg5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例 6.已知 ，求 的表达式1()2fxfx()fx解：用 代替 得到 （1）()+又 （2）2fxfx2（1）-（2）得到 ，于是3()11()3xf二、求值问题例 7. 已知定义域为 的函数 ，同时满足下列条件：R()fx ； ，求 的值。1(2),(6)5ff.
4、yfy(3),9f解：取 ，得,3xy()2()ff因为 ，所以1(2),(6)5ff435f又取 3xy教育 VIP 精品讲义第 3 页 共 13 页得 8(9)3()5ff评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取 ，这样便把已2,3xy知条件 与欲求的 沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用1(2),(6)5ff(3)f技巧。三、定义域问题例 8. 已知函数 的定义域是1，2，求 的定义域。()fx()fx解： 的定义域是1，2，是指 ，所以 中的 满足()f 122f2x4x从而函数 f(x)的定义域是1，4评析：一般地，已知函数 的定义域是 A，求 f(x)的定义域问题，相当于()
5、fx已知 中 x 的取值范围为 A，据此求 的值域问题。()f()x五、判断函数的奇偶性：例 11 已知 ,对一切实数 、 都成立，且 ,()()2()fxyffxyxy(0)f求证 为偶函数。()f证明：令 =0, 则已知等式变为 x()2(0)fyfy在中令 =0 则 2 =2 0 =1 y(0)f ()2(ffy 为偶函数。()(ffx六、单调性问题例 12. 设 定义于实数集上，当 时， ，且对于任意实数 有()fx0x()1fx,xy，求证： 在 R 上为增函数。(fyy()f教育 VIP 精品讲义第 4 页 共 13 页证明：在 中取 ，得()()fxyfy0x2()0ff若 ，令
6、 ，则 ，与 矛盾0)f0,(f1fx所以 ，即有(fx()1f当 时， ；当 时，00fx0,()10xf而 ()()1fxf所以 0()ff又当 时，x1f所以对任意 ，恒有R()0fx设 ，则12x2121,()fx所以 21211211()()(ffxff所以 在 上为增函数。yfR评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例 13：奇函数 在定义域（-1，1）内递减，求满足 的实()fx 2(1)()0fmf数 的取值范围。m解：由 得 ， 为函
7、数，2()()0ffm2(1)()ff()fx2(1)1f教育 VIP 精品讲义第 5 页 共 13 页又 在（-1，1）内递减， ()fx2101m巩固练习练习一1给出四个函数，分别满足 ； ；()()fxyfy()()gxygy ； ，又给出四个函数图象()()hxyhytt正确的匹配方案是（ ）丁教育 VIP 精品讲义第 6 页 共 13 页（A）丁 乙丙甲 （B）乙 丙甲丁（C） 丙甲乙丁 （D ）丁 甲乙丙2定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，当 x0，则函数 f (x)在a,b上 ( )A 有最小值 f (a) B
8、 有最大值 f (b) C 有最小值 f (b) D 有最大值 f ( )2ba3 设函数 的定义域为，且对 恒有fx,xyR,fxyffy若 （ ）8,2则 11244若偶函数 在 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）)(xf,A B)2(123fff )2(3()1fffC D3)(ff 12ff5定义在 R 上的函数 fx满足：对任意实数 ，总有,mnfmnfn，且当 0时， （1）试举出一个满足条件的函数 ；（2）试求 的0fx fx0f值；（3）判断 fx的单调性并证明你的结论；（4）若 解不等式,21)(f教育 VIP 精品讲义第 7 页 共 13 页.81)2(xf1-4 D
9、 C C D5 （1）如 ， （2）在 fmnfn中，令 1,0mn得：1xf0ff因为 ，所以， （3）要判断 fx的单调性，0f01f可任取 ，且设 在已知条件 nfn中，若取12,xR12x1,mn，则已知条件可化为： 2121fxx 由于，所以 为比较 的大小，只需考虑210x210fxf、的正负即可在 中，令 ， ，则得f mnfnmxn 时， ，x0x1x当 时， 又 ，所以，综上，可知，对于任意01ffx0f，均有 函数1xR10f211210ffxfxf在 R 上单调递减， （4）若 则 ，则不等式,)(8)3(，由函数 fx在 R 上单调递减，则 ，3)2(8)2( fxfx
10、 312x则不等式的解集为 。|练习二1.若奇函数 ，满足 ，则 等于（ ）()fxR(2)1,()(2)ffxf(1)fA0 B1 C D2.设对任意实数 、 ，函数 满足1x2)(xfy)0,R教育 VIP 精品讲义第 8 页 共 13 页。)()(211xfxff（1）求证： ；（2）求证： 为偶函数。0)(f )(xfy3.已知函数 是定义在 上的增函数，且满足对于任意的正实数 、)(xf,x，都有y，且)()(yfxf .1)2(f（1）求 的值；（2）解不等式8f .3)2()xff4.已知函数 对于任意的正实数 、 ，都有 ，若)(xf xy)(yfxyf，则下列结论中不正确的是
11、（ ）0)2(fA B C D1f )4(3f0)21(f0)5(4f5.设定义在 上的函数 对于任意 都有 成立，且R()fx,xy()()fxyfy，当 时， 。(1)2f0x0（1）判断 f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-3 3 时， 是否x)(xf有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。6.若函数 f(x)为奇函数，且在（0，+ ）内是增函数，又 f(2)=0，则的解集为（ ）)(xfA （-2 ，0） （0，2） B （- ，-2）（0，2）C （- ，-2 ） （2，+ ） D （-2，0）（2，+ ）教育 VIP 精品讲义第 9 页 共 13 页7. 设对满足
12、的所有实数 ，函数 满足 ，求0,1xx()fx1()+)xf的解析式。()f8. 已知函数 对任意不等于零的实数 都有(),)fxR12,x，试判断函数 的奇偶性。1212()fx()fx9. （09 年东城区示范校质检一）（本小题满分 14 分）设函数 的定义域为全体 ，当 时， ，且对任意的实数()yfxR0x()1fx，有 成立，数列 满足 ，且,xR()yfxyna(0)f1()()2nnfaNf（）求证： 是 上的减函数；()yfxR（）求数列 的通项公式；na10. （09 届华南师大附中综合测试题）设函数 满足 ，且对任意 ，都有()fx(0)1f,xyR.(1).2fxyyx
13、（）求 的解析式；(f（）若数列 满足： 且 , 求数列 的通项；na13(),nnfaN1ana1.解析：对于 ，令 ，得 即)2()2(fxf x)2()(ff，1)(f教育 VIP 精品讲义第 10 页 共 13 页从而 ，所以 ，选 D。1)(2f 21)(f2.解析：（1）令 ，得 ，所以 。1x )1()1(fff0)(f令 ，得 ，所以 。210fff f（2）令 ，得 ，x21 )(2xff令 ，得 ，从而我们有： ，21 2ff )(xff所以， 为偶函数。)(xfy3. 解析：（1） 3)8(2412fff（2） )2(8)(3)() xfffxffxff由函数 是定义在 上的增函数，则 即 ，f,028x716依题设，有 ， ，从而不等式的解集为 。2x2x ),(4. 解析：满足 对一切正实数 、 都成立的函数模型是对)()(yfyf xy数函数 。xyalog由 ，可知 ，从而可知 是减函数，所以 ，应0)2(f 1)(xfy)4(3f选 B。5. 解析：令 x=y=0，可得 f(0)=0令 y=-x，则 f(0)=f(x)+f(x)，f( x)= f(x) ，f(x)为奇函数设3x 1x 23，y=x 1，x=x 2
