1、 三角形复习讲义（补课用）一、三角形相关概念1三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接2三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用 A、B、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作ABC，其中线段 AB、BC、AC是三角形的三条边，A、B、C 分别表示三角形的三个内角。3三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线注意：三角形的角平分线是一条线段，可以度量。而
2、角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线三角形有三条角平分线且相交于一点。这一点一定在三角形的内部三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线注意：三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高注意： 三角形的三条高是线段 锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形
3、外部。画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高（二）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。故同时满足ABC 三边长a、b、c 的不等式有：a+bc，b+ca，c+ab三角形两边之差小于第三边。故同时满足ABC 三边长a、b、c 的不等式有：ab-c，ba-c，cb-a注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的
4、有以下几种：（四）三角形的内角：结论 1：三角形的内角和为 180表示： 在ABC 中，A+B+C=180（1）构造平角可过 A 点作 MNBC(如图) 可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得 邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余表示：如图，在直角三角形 ABC 中，C=90，那么A+B=90（因为A+B+C=180）注意：在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在ABC 中，C=180（A+B）在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角如：ABC 中，已知A：B：C=2：3
5、：4，求A、B、C 的度数（五）三角形的外角：1定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角如图，ACD 为ABC 的一个外角，BCE 也是ABC 的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等2性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，ACD=A+B , ACDA , ACDB.三角形的一个外角与之相邻的内角互补3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等） ，可见一个三角形共有六个外角（六）多边形1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。2.凸多边形
6、的定义：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。如图：3.在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形4.填表：（注下表所列的多边形均为正多边形） 内角和 180 360 540 720 900 1080 1260 1440每一个内角的度数 60 90 108 120 900/7135 140 144外角和 360每一个外角的度数 120 90 72 60 360/745 40 36n 边形的内角和为（n2）180多边形的外角和为 360多边形的对角线 2)3(n条对角线（7）多边形的镶嵌1.镶嵌：用一些形状、大小完全相同的一
7、种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠2.用一种正多边形镶嵌：.用边长相同的正三角形可以镶嵌.用边长相同的正方形可以镶嵌 用边长相同的正六边形可以镶嵌形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌用边长相同的正五边形、正八边形不能镶嵌3.镶嵌平面图案需要的什么条件： 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 360 度。即：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为 360。要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的
8、一个内角的倍数是否是 360，在正多边形里，正三角形的每个内角都是 60，正四边形的每个内角都是 90，正六边形的每个内角都是 120，这三种多边形的一个内角的倍数都是 360，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是 360，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌4.多种正多边形的平面镶嵌几种情况：正三角形+正方形可以镶嵌（ 3、 2）正三角形+正六边形可以镶嵌（ 2、2 正六方边形或 4、1 正六方边形）正八变形+正方形可以镶嵌（ 2 个正八变形与 1 个正方形）正三角形+正 12 边形可以镶嵌（2 个正 12 变形与 1 个正三角形）正五变形
9、+正三角形 +正方形可以镶嵌（2 正五变形、1个正三角形和 1 个正方形）正六边形+正方形 +正三角形可以镶嵌（1 个正六边形、2个正方形和 1 个正三角形）（见课件）例：典型例题分析：例 1.对下面每个三角形，过顶点 A 画出中线，角平分线和高.例 2.下列说法错误的是( ).A三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D三角形的三条高可能相交于外部一点例 3.下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的图形是( )CBA(3)(1)CBAC BA(2)2题 图DCBAEE A CBA CBABC ABCEE
10、6题 图 7题 图5题 图FEDDFD EB CA ACB B CA变式题 1：如图 3，在ABC 中，点 D 在 BC 上，且 AD=BD=CD，AE是 BC 边上的高，若沿 AE 所在直线折叠，点 C 恰好落在点 D 处，则B 等于（ ）A25 B30 C45 D60 变式题 2：如图 4，已知 AB=AC=BD，那么1 和2 之间的关系是（ ）A.1=22 B. 21+2=180 C. 1+32=180 D. 31-2=180例 4.如图 7，在ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD，CE的中点，且 ABCS= 4 2cm，则 S阴 影 等于( )A2 c B. 1 C.
11、3 12cm D. 2.5 2cm例 5.如图 7，BD=DE=EF=FC，那么，AE 是 _ 的中线。变 式题1：如图 6，BD= 12BC，则 BC 边上的中线为 _， ADS=_。例 6.如图 1，在ABC 中，BAC=60 0，B=45 0，AD 是ABC 的一条角平分线，则DAC= 0，ADB= 0变式题 1：如图 2，在ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF是高，则根据图形填空：BE= = 2 ；BAD= = 21 AFB= =900；变式题 2：如图在ABC 中，ACB=90 0，CD 是边 AB 上的高。那么图中与A 相等的角是（ ） A、 B B、 ACD C、 B
12、CD D、 BDC变式题 3：在ABC 中，A= 21C= ABC， BD 是角平分线，求A 及BDC 的度数（ )F2 题ED CBA1 题 D CBADCBA变式题 4：已知，如图，ABCD，AE 平分BAC，CE 平分ACD，求E 的度数变式题 5：如图，在ABC 中，D,E 分别是 BC，AD 的中点，ABCS=4 2cm，求 ABES.例 7.关于三角形的边的叙述正确的是 （ ）A.三边互不相等 B、至少有两边相等 C、任意两边之和一定大于第三边 D、最多有两边相等例 8.已知ABC 中，A=20 0，B=C，那么三角形ABC 是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形例 9.下面说法正确的是个数有（ ）如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则DCBAEDCBA_E_D_B _C_ A
