1、第 1 页（共 20 页）二次函数最大利润应用题参考答案与试题解析1某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线 ABD、线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1（单位：元） 、销售价 y2（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系（1）请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 42 元；（2）设线段 AB 所表示的 y1与
2、 x 之间的函数关系式为 y=k1x+b1，y=k 1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42） ， ，这个一次函数的表达式为；y=0.2x+60（0x90） ；（3）设 y2与 x 之间的函数关系式为 y=k2x+b2，经过点（0，120）与（130，42） ， ，解得： ，这个一次函数的表达式为 y2=0.6x+120（0x130） ，设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元，当 0x90 时，W=x（0.6x+120）（0.2x+60）=0.4（x75）2+2250，当 x=75 时，W 的值最大，最大值为 2250；当 90x130 时，W=x（0.6x+120）42=0.6（x
3、65） 2+2535，由0.60 知，当 x65 时，W 随 x 的增大而减小，90x130 时，W2160，当 x=90 时，W=0.6（9065） 2+2535=2160，第 2 页（共 20 页）因此当该产品产量为 75kg 时，获得的利润最大，最大值为 22502某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6 元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足下列关系式：y= （1）李明第几天生产的粽子数量为 420 只？（2）如图，设第 x 天每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用
4、图中的函数图象来刻画若李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价成本）（3）设（2）小题中第 m 天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第 m天的利润至少多 48 元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？【解答】解：（1）设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只，由题意可知：30n+120=420，解得 n=10答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只（2）由图象得，当 0x9 时，p=4.1；当 9x15 时，设 P=kx+b，把点（9，4.1） ， （15，4.7）代入得， ，解得 ，p
5、=0.1x+3.2，0x5 时，w=（64.1）54x=102.6x，当 x=5 时，w 最大 =513（元） ；5x9 时，w=（64.1）（30x+120）=57x+228，x 是整数，当 x=9 时，w 最大 =741（元） ；9x15 时，w=（60.1x3.2）（30x+120）=3x 2+72x+336，a=30，当 x= =12 时，w 最大 =768（元） ；综上，当 x=12 时，w 有最大值，最大值为 768（3）由（2）可知 m=12，m+1=13，设第 13 天提价 a 元，由题意得，w 13=（6+ap） （30x+120）=510（a+1.5） ，510（a+1.5
6、）76848，解得 a=0.1答：第 13 天每只粽子至少应提价 0.1 元第 3 页（共 20 页）3近期，海峡两岸关系的气氛大为改善大陆相关部门对原产台湾地区的 15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：每千克销售（元） 40 39 38 37 30每天销量（千克） 60 65 70 75 110设当单价从 40 元/千克下调了 x 元时，销售量为 y 千克；（1）写出 y 与 x 间的函数关系式；（2）如果凤梨的进价是 20 元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从 40 元/千克下调多少元时，当
7、天的销售利润 W 最大？利润最大是多少？（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天） ，凤梨最长的保存期为一个月（30 天） ，若每天售价不低于 32 元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？【解答】解：（1）y=60+5x（2）w=（40x20）y=5（x4） 2+1280下调 4 元时当天利润最大是 1280 元（3）设一次进货 m 千克，由售价 32 元/千克得 x=4032=8，此时 y=60+5x=100，m100（307）=2300，答：一次进货最多 2300 千克（4）下调 4 元时当天利润最
8、大，由 x=4，y=60+5x=80，m=80（307）=1840 千克每次进货 1840 千克，售价 36 元/千克时，销售部利润最大第 4 页（共 20 页）4某店因为经营不善欠下 38400 元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金 “中国梦想秀”栏目组决定借给该店 30000 元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息） 已知该店代理的品牌服装的进价为每件 40 元，该品牌服装日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示该店应支付员工的工资为每人每天 82 元，每天还应支付其它费用为 106 元（不包含债务） （1）求日销售
9、量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为 48 元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出） ，求该店员工的人数；（3）若该店只有 2 名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？【解答】解：（1）当 40x58 时，设 y 与 x 的函数解析式为 y=k1x+b1，由图象可得，解得 y=2x+140当 58x71 时，设 y 与 x 的函数解析式为 y=k2x+b2，由图象得，解得 ，y=x+82，综上所述：y= ；（2）设人数为 a，当 x=48 时，y=248+140=44，（4840）44=106+8
10、2a，解得 a=3；第 5 页（共 20 页）（3）设需要 b 天，该店还清所有债务，则：b（x40）y82210668400，b ，当 40x58 时，b = ，x= 时，2x 2+220x5870 的最大值为 180，b ，即 b380；当 58x71 时，b = ，当 x= =61 时，x 2+122x3550 的最大值为 171，b ，即 b400综合两种情形得 b380，即该店最早需要 380 天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为 55 元5某公司经营杨梅业务，以 3 万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成 A、B两类，A 类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售A 类杨
11、梅的包装成本为 1 万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格 y（单位：万元/吨）与销售数量 x（x2）之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用 s（单位：万元）与加工数量 t（单位：吨）之间的函数关系是 s=12+3t，平均销售价格为 9 万元/吨（1）直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了 20 吨杨梅，其中 A 类杨梅有 x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为 w 万元（毛利润=销售总收入经营总成本） 求 w 关于 x 的函数关系式；若该公司获得了 30 万元毛利润，问：用于直销的 A 类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入
12、 132 万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润【解答】解：（1）当 2x8 时，如图，第 6 页（共 20 页）设直线 AB 解析式为：y=kx+b，将 A（2，12） 、B（8，6）代入得：，解得 ，y=x+14；当 x8 时，y=6所以 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式为：y= ；（2）设销售 A 类杨梅 x 吨，则销售 B 类杨梅（20x）吨当 2x8 时，wA=x（x+14）x=x 2+13x；wB=9（20x）12+3（20x）=1086xw=w A+wB320=（x 2+13x）+（1086x）60=x 2+7x+48；当
13、x8 时，wA=6xx=5x；wB=9（20x）12+3（20x）=1086xw=w A+wB320=（5x）+（1086x）60=x+48w 关于 x 的函数关系式为：w= 当 2x8 时，x 2+7x+48=30，解得 x1=9，x 2=2，均不合题意；当 x8 时，x+48=30，解得 x=18当毛利润达到 30 万元时，直接销售的 A 类杨梅有 18 吨（3）设该公司用 132 万元共购买了 m 吨杨梅，其中 A 类杨梅为 x 吨，B 类杨梅为（mx）吨，则购买费用为 3m 万元，A 类杨梅加工成本为 x 万元，B 类杨梅加工成本为12+3（mx）万元，3m+x+12+3（mx）=13
14、2，化简得：x=3m60当 2x8 时，wA=x（x+14）x=x 2+13x；wB=9（mx）12+3（mx）=6m6x12w=w A+wB3m=（x 2+13x）+（6m6x12）3m=x 2+7x+3m12将 3m=x+60 代入得：w=x 2+8x+48=（x4） 2+64第 7 页（共 20 页）当 x=4 时，有最大毛利润 64 万元，此时 m= ，mx= ；当 x8 时，wA=6xx=5x；wB=9（mx）12+3（mx）=6m6x12w=w A+wB3m=（5x）+（6m6x12）3m=x+3m12将 3m=x+60 代入得：w=48当 x8 时，有最大毛利润 48 万元综上所
15、述，购买杨梅共 吨，其中 A 类杨梅 4 吨，B 类 吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为 64 万元6为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=2x+80设这种产品每天的销售利润为 w 元（1）求 w 与 x 之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售利
16、润，销售价应定为每千克多少元？【解答】解：（1）由题意得出：w=（x20）y=（x20） （2x+80）=2x 2+120x1600，故 w 与 x 的函数关系式为：w=2x 2+120x1600；（2）w=2x 2+120x1600=2（x30） 2+200，20，当 x=30 时，w 有最大值w 最大值为 200答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200元第 8 页（共 20 页）（3）当 w=150 时，可得方程2（x30） 2+200=150解得 x 1=25，x 2=35 3528，x 2=35 不符合题意，应舍去 答：该农户想要每天获得 150
17、元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元7某公司销售一种进价为 20 元/个的计算器，其销售量 y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格 x（元/个） 30 40 50 60 销售量 y（万个） 5 4 3 2 同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计 40 万元（1）观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出 y（万个）与 x（元/个）的函数解析式（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万元）与销售价格 x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于 40
18、 万元，请写出销售价格 x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y 与 x 是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则 ，解得： ，故函数解析式为：y= x+8；（2）根据题意得出：z=（x20）y40=（x20） （ x+8）40= x2+10x200，= （x 2100x）200= （x50） 22500200= （x50） 2+50，故销售价格定为 50 元/个时净得利润最大，最大值是 50 万元第 9 页（共 20 页）（3）当公司要求净得利润为 40 万元时，即 （x50） 2+50=40，解得：x1=40，x
19、 2=60如上图，通过观察函数 y= （x50） 2+50 的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于 40 万元，则销售价格的取值范围为：40x60而 y 与 x 的函数关系式为：y= x+8，y 随 x 的增大而减少，因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为 40 元/个8某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为 20 元/件的新型商品在 x 天销售的相关信息如表所示销售量 p（件） p=50x销售单价 q（元/件） 当 1x20 时，q=30+ x当 21x40 时，q=20+（1）请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件？（2）求该网店第 x 天
20、获得的利润 y 关于 x 的函数关系式；（3）这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？【解答】解：（1）当 1x20 时，令 30+ x=35，得 x=10，当 21x40 时，令 20+ =35，得 x=35，经检验得 x=35 是原方程的解且符合题意即第 10 天或者第 35 天该商品的销售单价为 35 元/件（2）当 1x20 时，y=（30+ x20） （50x）= x2+15x+500，当 21x40 时，y=（20+ 20） （50x）= 525，即 y= ，第 10 页（共 20 页）（3）当 1x20 时，y= x2+15x+500= （x15） 2+612
21、.5， 0，当 x=15 时，y 有最大值 y1，且 y1=612.5，当 21x40 时，262500， 随 x 的增大而减小，当 x=21 时， 最大，于是，x=21 时，y= 525 有最大值 y2，且 y2= 525=725，y 1y 2，这 40 天中第 21 天时该网店获得利润最大，最大利润为 725 元9某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 y1（元）与国内销售量 x（千件）的关系为：y1=若在国外销售，平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系为（1）
22、用 x 的代数式表示 t 为：t= 6x ；当 0x4 时，y 2与 x 的函数关系为：y 2= 5x+80 ；当 4 x 6 时，y 2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【解答】解：（1）由题意，得 x+t=6，t=6x； ，当 0x4 时，26x6，即 2t6，此时 y2与 x 的函数关系为：y 2=5（6x）+110=5x+80；当 4x6 时，06x2，即 0t2，此时 y2=100故答案为：6x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：
