1、12009-2013 年中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数 的几何意义：k(I) ；12AOBCS(II) 。k矩 形下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图， 。OPACDSOPADCS梯 形(2)如图， 。OAPBCA梯 形 梯 形 BPEAC经典例题例 1.(1)(兰州) 如图，已知双曲线 经过矩形 边 的中(0)kyxOBA点 且交 于点 ，四边形 的面积为 2，则 2 FBCEOBFk；(2)如图，点 为直线 上的两点，过 两点分别作 轴的平行线交双A、 yxA、 y曲线 于 两点，若 ，则 6 1(0)yxCD、 2BC24OD例 2(2013 陕西) 如果一个正比例函数的
2、图象与一个反比例函数 的图象交xy，那么 值为 24 .,(,(21yxBA)(1212yx解析：因为 A，B 在反比例函数 上，所以 ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于661x原点成中心对称，因此 中有 ，所以),(),(21yBx 122,y44)( 111212 xyx例 3(2010 山东威海) 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A2，5，bkxyxmyFECBAoxyDCBAoxyCBAoyx EPDCAoyx图EPCBAoyx图2C5，n，交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 D (1) 求反比例函数 和一次函数 的表达式； mbkxy(2) 连接 OA，
3、 OC求AOC 的面积 解：(1) 反比例函数 的图象经过点 A2，5， xy m=(2)( 5)10 反比例函数的表达式为 点 C5，n在反比例函数的图象上， xy10 C 的坐标为 5，22510n 一次函数的图象经过点 A，C，将这两个点的坐标代入 ，得 bkxy解得 .52bk， .31bk， 所求一次函数的表达式为 yx3(2) 一次函数 y=x3 的图像交 y 轴于点 B， B 点坐标为 0，3 OB3 A 点的横坐标为 2，C 点的横坐标为 5， SAOC = SAOB + SBOC = 211-1OO例 4 （2007 福建福州）如图，已知直线 与双曲线 交于2yx(0)kyx
4、两点，且点 的横坐标为 AB， A4（1）求 的值；k（2）若双曲线 上一点 的纵坐标为 8，求 的面积；(0)ykxCAOC（3）过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点（ 点在第一象限） ，若由点Ol(0)kyxPQ，为顶点组成的四边形面积为 ，求点 的坐标ABPQ， ， ， 24解：（1） 点 横坐标为 ， 当 时， 4y点 的坐标为 (2)，点 是直线 与双曲线 的交点，A1yx(0)kyx48k（2）解法一：如图 1， 点 在双曲线上，当 时，C8y 1x点 的坐标为 C()，OxAyB图 1OAyDMNCOABCxyD3过点 分别做 轴， 轴的垂线，垂足为 ，得矩形 AC， xyM
5、N， DO， ， ， 32ONDMS矩 形 4ONCS 9CDA 4OAS32915AC M 矩 形解法二：如图 2，过点 分别做 轴的垂线，垂足为 ， xEF，点 在双曲线 上，当 时， 8yy1x点 的坐标为 点 ， 都在双曲线 上，C(1)， CA8y4OEAFS OECOAFFSS 梯 形C 梯 形， 1(28)315EFA梯 形 15COA（3） 反比例函数图象是关于原点 的中心对称图形， 四边形 是平行四边形OPQBPBQ112464AAPQS 平 行 四 边 形设点 横坐标为 ，得 (0)m且 8()m，过点 分别做 轴的垂线，垂足为 ，P， xEF，点 在双曲线上， A， 4P
6、QAOS 若 ，如图 3，04，POEPOAFFS 梯 形 6A梯 形 182(4)6m 解得 ， （舍去） 2m8，若 ，如图 4， ，AOFAOPEESS 梯 形 ，6PEFAS梯 形 182(4)6m解得 ， （舍去） 8m，图 2OxAyBFEC图 3OAyBFQEPx图 4OxAyBFEQP4点 的坐标是 或 P(24)， (81P，例 5.(山东淄博) 如图，正方形 AOCB 的边长为 4，反比例函数的图象过点 E（3，4） （1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段 BC 交于点 D，直线 过点 D，与线段 AB 相交于点 F，求点 F 的1yxb2=-+坐标；（3
7、）连接 OF，OE，探究AOF 与EOC 的数量关系，并证明【答案】解：（1）设反比例函数的解析式 ，kyx=反比例函数的图象过点 E（3，4） ， ，即 。反比例312函数的解析式 。12yx=（2）正方形 AOCB 的边长为 4，点 D 的横坐标为 4，点 F 的纵坐标为 4。点 D 在反比例函数的图象上， 点 D 的纵坐标为 3，即 D（4,3） 。点 D 在直线 上， ，解得 。 直线 DF 为 。1yxb2=-+134b2=-+=51yx52=-+将 代入 ，得 ，解得 。点 F 的坐标为（2，4） 。45x5x（3）AOF EOC。证明如下：12在 CD 上取 CG=CF=2，连接
8、 OG，连接 EG 并延长交 轴于点 H。AO= CO=4，OAF =OCG =900，AF =CG=2，OAFOCG（SAS ） 。AOF=COG。EGB=HGC，B=GCH=90 0，BG =CG=2，EGBHGC（AAS） 。EG =HG。设直线 EG： ，ymxn+E（3，4） ，G（4，2） ， ，解得， 。43n2m2=10直线 EG： 。yx10=-+令 ，得 。H（5，0） ，OH=5。在 R AOF 中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得2-OE=5。OH= OE。5OG 是等腰三角形底边 EH 上的中线。OG 是等腰三角形顶角的平分线。EOG =GOH。EOG=GOC=A
9、OF，即AOF EOC。12例 6.(2009 山东威海) 一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象yaxbxy,MNkyx相交于点 过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴，,ABACECEBF轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 DyFD， ， BKD（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图 1，试证明：， kyx ；AEDKCFBKS四 边 形 四 边 形 NM（2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图 2，则 与 还相等吗？试证明你， kyxANBM的结论解：（1） 轴， 轴， 四边形 为矩形ACx Ey AEOC轴， 轴， 四边
10、形 为矩形BFx D BDF轴， 轴， 四边形 均为矩形 y KBK， ， 11OCxAxk， ， 1AEOCSxykA矩 形， 22FBy， ， 2BDF矩 形 ，AEOCDFS矩 形 矩 形 AEKAEOCDK矩 形 矩 形 矩 形， FBKOCS矩 形 矩 形 矩 形 CFBS矩 形 矩 形由（1）知 AEDFBK矩 形 矩 形 ， 90 KA轴， 四边形 是平行四边形BC y ADN同理 ANMBO C F MDENKyx1()A， 2By，（图 1）O CD KFENyx1()，3()，M（图 2）O CD KFENyxABM图 26xyABO1S2 yxOP1P2P3 P4 P5A
11、1 A2 A3 A4 A5x（2） 与 仍然相等 ，ANBMAEDKAEOCDKCSS矩 形 矩 形 矩 形，又 ，KCFDOFCS矩 形 矩 形 矩 形 BFk矩 形 矩 形AEBK矩 形 矩 形 ， C CABKCD轴， 四边形 是平行四边形 Ay NDAN同理 BMM第一部分练习一、选择题1.(2009 年鄂州)如图，直线 y=mx 与双曲线 y= 交于 A、 B 两点，过点 A 作 AMx 轴，垂足为 M，连结 BM,若xk=2，则 k 的值是 ABMSA.2 B.m2 C.m D.42.(2009 兰州) 如图，若正方形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都在 函
12、数 （ ）的图象上，则点 E 的坐标是（ ， ）. 1yx03.(2009 泰安）如图，双曲线 经过矩形 OABC 的边 BC 的中点)0(kxy E，交 AB 于点 D。若梯形 ODBC 的面积为 3，则双曲线的解析式为 A Bxy12C D 3xy64.（2009 仙桃）如图，已知双曲线 经过直角三角形 OAB 斜边)0k( OB 的中点 D，与直角边 AB 相交于点 C若OBC 的面积为 3，则k_5.(2009 年牡丹江市)如图，点 A、 B是双曲线 yx上的点，分别经过 A、 B两点向 x轴、 y轴作垂线段，若 1S阴 影 ， 则 2S 6.（2009 年莆田）如图，在 轴的正半轴上
13、依次截取 ，过点x12345O分别作 轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点 ，得12345AA、 、 、 、 0yx12345PP、 、 、 、7直角三角形 并设其面积分别为 则 的值为 12345OPAPAPA、 、 、 、 ， 12345SS、 、 、 、 ， 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图7.（2009 年包头）已知一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限相交于点 ，与 轴相交于1yxkyxAx点 轴于点 ， 的面积为 1，则 的长为 CABx， AOB AC8.（2010 嵊州市）如图 ,直线 与双曲线 交于 两点,则)0(kxy2)(),(21yB的值为 A.5 B.10
14、C.5 D.10 【答案】B 12183yx9.（2010 江苏无锡）如图，已知梯形 ABCO 的底边 AO 在 轴上，BCAO，ABAO ，过点 C 的双曲线x交 OB 于 D，且 OD： DB=1:2，若 OBC 的面积等于 3，则 k 的值 A 等于 2 B等于kyx 34C等于 D无法确定 【答案】B 245第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图10.（2010 江苏盐城）如图，A、B 是双曲线 上的点， A、B 两点的横坐标分别是 a、2a，线段 ABy= kx (k0)的延长线交 x 轴于点 C，若 SAOC =6则 k= 【答案】411.（2010 安徽蚌埠二中）已知点（1，3
15、）在函数 的图像上。正方形 的边 在 轴上，)(xCDBx点 是对角线 的中点，函数 的图像又经过 、 两点，则点 的横坐标为ED)0(xkyE_。 【答案】 612.（2010 四川内江）如图，反比例函数 y (x0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M，分别与 AB、BCkxyO xAC BxyBAo O ABCDxy8倒52倒51倒倒y倒倒倒倒42倒倒倒倒倒倒倒倒倒倒倒x P QMyxOBCAABCDEyxOM相交于点 D、E若四边形 ODBE 的面积为 6，则 k 的值为 A1 B2 C3 D4 【答案】B 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图13.（2011 山东东营
16、）如图,直线 和双曲线 交于 A、B 亮点,P 是线段 AB 上的点（不与 A、B 重合）l(0)kyx,过点 A、B 、P 分别向 x 轴作垂线 ,垂足分别是 C、D、E ,连接 OA、OB、OP,设AOC 面积是 S1、BOD 面积是 S2、POE 面积是 S3、则 A. S1S 2S 3 B. S1S2S3 C. S1=S2S3 D. S1=S2S3【答案】D14.（2011 河北）根据图 51 所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象，过点 M 作 PQx 轴交图象于点 P,Q，连接 OP,OQ.则以下结论x0 时， ， OPQ 的面积为定值， x2yx0 时，y 随 x 的增大而增
17、大MQ=2PM POQ 可以等于 90其中正确的结论是 A B C D【答案】B15.（2011 甘肃兰州，15，4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐 标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 的图象上。若点 A 的坐标为（2，2） ，则 k 的21kyx值为 9图 10 图 6 A1 B3 C4 D1 或3【答案】D16.（2011 四川乐山）如图，直线 交 x 轴、y 轴于6y A、B 两点，P 是反比例函数 图象上位于直线下方的一点，4(0)yx过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 M，交 AB 于点 E，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 N，交 AB
18、于点 F。则AFBEA8 B6 C4 D 62【答案】A17.（2012 德州）如图，两个反比例函数 和 的图象分别是 l1 和 l2设点 P 在 l1 上，PCx 轴，垂足为 C，交 l2 于点 A，PDy 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则三角形 PAB 的面积为 A 3 B 4 C D5解 解：点 P 在 y= 上， 设 P 的坐标是（a， ） ，PAx 轴， A 的横坐标是 a，A 在 y= 上， A 的坐标是（a， ） ，PBy 轴， B 的纵坐标是 ，B 在 y= 上， 代入得： ，解得：x=2a，B 的坐标是（2a， ） ，PA= （ ）= ，PB=a（2a）=3a，PAx
19、轴，PBy 轴，x 轴y 轴， PA PB，PAB 的面积是： PAPB= 3a= 故选 C18.（2012 福州）如图，过点 C(1，2)分别作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 yx6 于 A、xyOAB CD10B 两点，若反比例函数 y (x0)的图像与ABC 有公共点，则 k 的取值范围是 kxA2 k9 B2 k8C2 k5 D5k8解答：解： 点 C(1，2)，BCy 轴，ACx 轴， 当 x1 时，y 165，当 y2 时，x 62，解得 x4， 点 A、B 的坐标分别为 A(4，2)，B(1 ，5)，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点 C 相交时，k122 最小，设
20、与线段 AB 相交于点(x，x6) 时 k 值最大，则 kx(x6)x 26x(x 3) 29， 1x4， 当 x3 时，k 值最大，此时交点坐标为(3 ，3)，因此，k 的取值范围是 2k9故选 A19.（2012 临沂）如图，若点 M 是 x 轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQy 轴，分别交函数 和 的图象于点 P 和 Q，连接 OP 和 OQ则下1(0)yx2(0)y列结论正确的是 APOQ 不可能等于 90 B 12kC这两个函数的图象一定关于 x 轴对称；DPOQ 的面积是 12k故选：D20.（2012 湖北黄石）如图所示，已知 ， 为反比1(,)Ay2(,)B例函数 图像上的两点，动点 在 正半轴上运动，当线段1yx0Px与线段 之差达到最大时，点 的坐标是 D APBA. B. C. D. (,0)2(,)3(,)25(,0)2【解答】解：把 A（1/2 ，y 1） ，B（2，y 2）代入反比例函数 y=1/ x 得：y 1=2，y 2=1/2 ，A（1/2 ，2） ，B（2，1/2 ） ，在ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|APBP |AB ，延长 AB 交 x 轴于 P，当 P 在 P点时，PA PB=AB，即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，ABCO xy第 18 题图yxOABP
