1、第一章 概率论的基本概念1.2 概率的定义一、 概率的性质（1） .1)(0AP（2） ， .)(S（3） .()()BPAB（4） .(1AP（5） .特别地，若 ， )()( AB， .(BPAP例 设 为随机事件, ， 则AB()0.4, ()0.3PAB()_.P解： ,3.0)()P()()().7PA1.4 条件概率一、 条件概率定义 设 是两个事件，且 ，称 = 为在事BA, 0)(AP)|(AB()P件 发生的条件下事件 发生的条件概率。二、全概率公式全概率公式： 为样本空间 的一个事件组，且满足：12,LnAS（1） 互不相容，且 ;12,n ),21(0)niAPi(2)
2、.12LnAS则对 中的任意一个事件 都有SB)()()()( 2211 nnABPAPAPBA1A2 AnB例 设有一仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为 ，201,5现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？解 以 、 、 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、1A23丙厂生产” ；以 表示事件“取得的产品为正品” ，于是： B ;2019)|(,154)|(,109)|(,012)(,0)(,15)( 3232 ABPABPAP按全概率公式 ，有： 123()|)(|)(|)(B92.0154109三、 贝叶斯公式设
3、 是样本空间 的一个事件， 为 的一个事件组，BS12,LnAS且满足：（1） 互不相容，且 ;12,LnA ),21(0)niPi(2) .12nS则 )()()()()|( 11 nnkkkk ABPABPABP这个公式称为贝叶斯公式。例：有甲乙两个袋子，甲袋中有 4 个白球，5 个红球，乙袋中有 4 个白球，4 个红球今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少？解：设 A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A 1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设 A2： 表示从乙袋取的一球是红球，则 81
4、495)(|()|()1 12122 PAPAP）（.121125()|)9() | 48PA1.5 事件的独立性一、 事件的独立性定义. 若两事件 ， 满足 ,则称 ， 相互独立。AB)()(BPAB第二章 随机变量及其分布2.1 一维随机变量一、 随机变量与分布函数定义 设 为一随机试验, 为 的样本空间,若 , 为ESE()XS单值实函数，则称 为随机变量。X定义 设 为一个随机变量， 为任意实数，称函数Xx为 的分布函数。)()xXPxF分布函数的性质（1） .1)(,0)(F（2） 是自变量 的非降函数，即当 时，必有xx21xSeXXRXxo x.因为当 时有 ，从而)(21xF2
5、1x 0)()( 2112 xXPxF.（3） 对自变量 右连续，即对任意实数 ，)(xxx)(xF2.2 一维离散型随机变量一、离散型随机变量定义 离散型随机变量 只可能取有限个或可列个值，设 可XX能取的值为 .,.,21nx定义 设离散型随机变量 可能取的值为 ，且 取,.,21nx这些值的概率为：(kpxXP)( ,.)则称上述一系列等式为随机变量 的分布律。X由概率的定义知，离散型随机变量 的概率分布具有以下两个性质：（1） （非负性）,.)21(,0kp（2） （归一性）k二、 几种常用的离散型分布1. 01 分布如果随机变量 只可能取 0 和 1 两个值，且它的分布列为X，则称
6、服从 01 分布。其分)(,1)0(,)( pPpX X布律为： X1 0P1-p2.二项分布如果随机变量 只可能取的值为 0,1,2,n，它的分布律X为 ,( 其中 ，则称 服knkqpCXP)( ),.210npq1,0X从参数为 的二项分布，记为, ),(pbX3.泊松分布如果随机变量 所有可能取的值为 0,1,2,它取各个值X的概率为 ，其中 是常数，则称 服,.)210(,!)(kekP 0X从参数为 的泊松分布，记为 .(例：设 ， 则()X12,PX(1)_.P例： 设随机变量 ，则 .(,)b2.3 连续型随机变量的概率密度一、 概率密度的概念定义 设随机变量 的的分布函数为
7、，如果存在一个非负X()Fx可积函数 ，使得对于任意实数 ，有：)(xf xdtf)(则称 为连续型随机变量，而 称为 的概率密度。XfX由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度 必须满足：)(xf（1） 0 ；)(xf（2） ； 1df（3） 对于任意实数 ，且 有ba,；dxfFbXaP)()(（4）若 在点 处连续，则有 .)(xf )( xfF例 设随机变量 X 具有概率密度 0,)(3xKexf（1）试确定常数 ； K（2）求 ； (0.1)PX（3）求 .Fx解（1）由 ，即)(df=xf 13)3(310030 KexdKexKe x得 .于是 的概率密度3KX；0,)(3xex
8、f（2） = ;(0.1)P1.0df 748.31.0d（3）由定义 = 。当 时， =0；当 时，(Fxxt)(x()Fx0x= =f ee3301所以.0,1)(3xexF二、几个常用的连续型随机变量的分布1. 均匀分布如果随机变量 的概率密度为X1,()0axbfxb中则称 服从 上的均匀分布，记为 。X,ba ),(UX2. 指数分布如果随机变量 的概率密度为10(;)0xefx其 他则称 服从参数为 的指数分布。X3. 正态分布如果随机变量 的概率密度为；)(,21)(2)( xexfx其中 为常数，则称 服从参数为 的正态分布，记为,0X,. 特别的，当 时，称 服从标准正态分布，)(2NX1,02X即 ，概率密度为 1,0 )(,)(2xexx标准正态分布的分布函数为 xtxded21)()(对于标准正态分布的分布函数，有下列等式)(1)(x210定理 如果 则,2NX,NX推论 如 ，则),(2 )()( abaFbXaP例 设 ，求 ；)4,5.1(N5.3XP解 = .3(84130)(21(例 设随机变量 ，则 .,)
