1、第 1 页 共 15 页错位相减法求和专项错位相减法求和适用于a nbn 型数列，其中a n,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为 11. 已知二次函数 的图象经过坐标原点，其导函数 ，数列 的前项和为 ，点 均在函数 的图象上（）求数列 的通项公式；（）设 ， 是数列 的前 项和，求 解析考察专题：2.1，2.2， 3.1，6.1；难度：一般答案 （）由于二次函数 的图象经过坐标原点，则设 ， ， ， ，又点 均在函数 的图象上， 当 时， ，又 ，适合上式，第 2 页
2、 共 15 页 （7 分）（）由（）知， ， ， ，上面两式相减得：整理得 （14 分）2.已知数列 的各项均为正数， 是数列 的前 n 项和，且（1 ）求数列 的通项公式；（2 ） 的值 .答案查看解析解析 （1）当 n = 1 时， 解出 a1 = 3,又 4Sn = an2 + 2an3 当 时 4sn1 = + 2an-13 第 3 页 共 15 页 , 即 ， ,（ ） ，是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列， 6 分（ 2） 又 =12 分3.（2013 年四川成都市高新区高三 4 月月考，19,12 分）设函数，数列 前 项和 ， ，数列，满足 .（）求数列 的通项公式 ；（
3、）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，证明： .答案 () 由 ，得第 4 页 共 15 页是以 为公比的等比数列，故 .（）由 ， 得 ，记 + ，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式： 进行放大. ）4.已知等差数列 中， ； 是 与 的等比中项（）求数列 的通项公式：（）若 求数列 的前 项和解析（）因为数列 是等差数列， 是 与 的等比中项所以 ，又因为 ，设公差为 ，则 ，所以 ，解得 或 ，当 时, ， ；当 时， .第 5 页 共 15 页所以 或 . （6 分)（）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以两式相减得 ，所以 . （13 分）5.已知数列 的前 项
4、和 ， ， ，等差数列 中，且公差 .（）求数列 、 的通项公式；（）是否存在正整数 ，使得 若存在，求出 的最小值，若不存在，说明理由.解析（） 时， 相减得：，又 ， ，数列 是以 1 为首项， 3 为公比的等比数列， .又 ， ， . （6 分）（）第 6 页 共 15 页令 得：， ，即 ，当 ， ，当 。的最小正整数为 4. （12 分）6. 数列 满足 ，等比数列 满足 .（）求数列 ， 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .解析 （）由 ，所以数列 是等差数列，又 ，所以 ，由 ，所以 ， ，所以 ，即 ，所以 . （6 分)（ ）因为 ，所以 ，则 ，所以 ，第 7 页
5、共 15 页两式相减的 ，所以 . (12 分）7. 已知数列 满足 ，其中 为数列 的前 项和() 求 的通项公式；() 若数列 满足： ( ) ，求 的前 项和公式 .解析) ， 得， ，又 时， ， ，. （ 5 分）() ，两式相减得 ，. （13 分）8.设 d 为非零实数, an= d+2 d2+(n-1) dn-1+n dn(nN*) . () 写出 a1, a2, a3 并判断a n是否为等比数列. 若是, 给出证明 ;若不是, 说明理由;() 设 bn=ndan(nN*) , 求数列b n的前 n 项和 Sn. 第 8 页 共 15 页答案 () 由已知可得 a1=d, a2
6、=d(1+d) , a3=d(1+d) 2. 当 n2, k1时, = , 因此an= . 由此可见, 当 d-1时, an是以 d 为首项, d+1 为公比的等比数列;当 d=-1 时, a1=-1, an=0(n2) , 此时a n不是等比数列. (7 分) () 由() 可知, an=d(d+1) n-1, 从而 bn=nd2(d+1) n-1, Sn=d21+2(d+1) +3(d+1) 2+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1. 当 d=-1 时, Sn=d2=1. 当 d-1时, 式两边同乘 d+1 得(d+1) Sn=d2(d+1) +2(d+1) 2+(n-1)
7、 (d+1) n-1+n(d+1) n. , 式相减可得-dSn=d21+(d+1) +(d+1) 2+(d+1) n-1-n(d+1) n=d2 . 化简即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1. 综上, Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分) 9. 已知数列a n满足 a1=0, a2=2, 且对任意 m, nN*都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2. () 求 a3, a5;() 设 bn=a2n+1-a2n-1(nN*) , 证明:b n是等差数列;() 设 cn=(an+1-an) qn-1(q0, nN*) , 求数列c n的前 n 项
8、和 Sn. 第 9 页 共 15 页答案 () 由题意, 令 m=2, n=1 可得 a3=2a2-a1+2=6. 再令 m=3, n=1 可得 a5=2a3-a1+8=20. (2 分) () 证明:当 nN*时, 由已知(以 n+2 代替 m) 可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8. 于是a 2(n+1) +1-a2(n+1) -1-(a2n+1-a2n-1) =8, 即 bn+1-bn=8. 所以, 数列b n是公差为 8 的等差数列. (5 分) () 由() 、( ) 的解答可知b n是首项 b1=a3-a1=6, 公差为 8 的等差数列. 则 bn=8n-2, 即 a2n
9、+1-a2n-1=8n-2. 另由已知(令 m=1) 可得, an= -(n-1) 2. 那么, an+1-an= -2n+1= -2n+1=2n. 于是, cn=2nqn-1. 当 q=1 时, Sn=2+4+6+2n=n(n+1) . 当 q1时, Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn-1. 两边同乘 q 可得qSn=2q1+4q2+6q3+2(n-1) qn-1+2nqn. 上述两式相减即得(1-q) Sn=2(1+q1+q2+qn-1) -2nqn=2 -2nqn=2 , 所以 Sn=2 . 综上所述, Sn= (12 分) 10.已知数列 an是公差不为零的等差数列,a 1=2,且
10、 a2,a4,a8 成等比数列.第 10 页 共 15 页(1)求数列a n的通项公式;(2)求数列a n 的前 n 项和.答案 (1)设数列a n的公差为 d(d0),由条件可知:(2+3d) 2=(2+d)(2+7d),解得 d=2.(4 分)故数列a n的通项公式为 an=2n(nN*).(6 分)(2)由(1)知 an =2n32n,设数列a n 的前 n 项和为 Sn,则 Sn=232+434+636+2n32n,32Sn=234+436+(2n-2) 32n+2n32n+2,故-8S n=2(32+34+36+32n)-2n32n+2,(8 分)所以数列a n 的前 n 项和 Sn= .(12 分)11.已知等差数列 满足 又数列 中, 且.(1)求数列 , 的通项公式; (2)若数列 , 的前 项和分别是 ,且 求数列 的前 项和;(3)若 对一切正整数 恒成立，求实数 的取值范围.答案( 1)设等差数列 的公差为 ,则有
