1、1数列典型例题分析【题型 1】 等差数列与等比数列的联系例 1 （2010 陕西文 16）已知a n是公差不为零的等差数列，a 11，且 a1，a 3，a 9成等比数列.（）求数列a n的通项;（）求数列2 an的前 n 项和 Sn.解：（）由题设知公差 d0，由 a11，a 1，a 3，a 9成等比数列得2d 8，解得 d1，d0（舍去） ， 故a n的通项 an1+（n1）1n.()由（）知 2ma=2n，由等比数列前 n 项和公式得Sm=2+22+23+2n= (1)2n=2n+1-2.小结与拓展：数列 是等差数列，则数列na2是等比数列，公比为 ，其中 是常数， 是na daad的公差
2、。 （a0 且 a1）.n【题型 2】 与“前 n 项和 Sn 与通项 an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列a n的前三项与数列b n的前三项对应相同，且a12a 22 2a32 n1 an8n 对任意的nN *都成立，数列b n1 b n是等差数列求数列a n与b n的通项公式。解：a 12a 22 2a32 n1 an8n(nN *) 当 n2 时，a12a 22 2a32 n2 an1 8(n1)(nN *) 3得 2n1 an8，求得 an2 4n ，在中令 n1，可得 a182 41 ，a n2 4n (nN *) 由题意知b18，b 24，b 32，b 2b 14，b 3b
3、 22，数列b n1 b n的公差为2(4)2，b n1 b n4(n1)22n6，法一（迭代法）bnb 1(b 2b 1)(b 3b 2)(b nb n1 )8(4)(2)(2n8)n 27n14(nN *)法二（累加法）即 bnb n1 2n8，bn1 b n2 2n10，4b3b 22，b2b 14，b18，相加得 bn8(4)(2)(2n8)8 n(n 1)( 4 2n 8)227n14(nN *)小结与拓展：1）在数列a n中，前 n 项和 Sn与通项 an的关系为：.是重要考点；2）韦达定理应)N,( 11Sann引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。5【
4、题型 3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例 3 （2009 汕头一模）在等比数列a n中，a n0 (nN ） ，公比 q(0,1)，且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a 3与 as的等比中项为2。 （1）求数列a n的通项公式；（2）设bnlog 2 an，数列b n的前 n 项和为 Sn当12nSS最大时，求 n 的值。解：（1）因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， 23a + 2a3a5 + 225又 ano，a 3a 55 又 a3与 a5的等比中项为 2，所以，a 3a54而 q（0,1） ，所以，a 3a 5，所以，a34，a 51， 12
5、q，a 116 ，所以，56nnna（2）b nlog 2 an5n，所以，bn1 b n1，6所以，b n是以 4 为首项，1 为公差的等差数列。所以， (9),2nS2nS 所以，当 n8 时， n0，当 n9 时，nS0，n9 时， nS0，当 n8 或 9 时， 12nS最大。小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。2、数列的前 n 项和1.前 n 项和公式 Sn 的定义：Sn=a1+a2+an。2.数列求和的方法（1）（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列7的数列；4）常用公式:；1nk1223()n；2
6、1nk216()21)n；31nk332()。(2)k2n1)-(.5（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。（3）倒序相加法：如果一个数列a n，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的。（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于 其中 是各项不为 0 的等差数列，1nacna8c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1） 和 （其中 等差）可裂1na1nan
7、a项为： ；2） 。 （根11()nnd 11()nnn ad式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）常见裂项公式：（1） ；11()nn（2） ；()()kk（3） ；111()()2(1)()(2) nnnn3.典型例题分析【题型 1】 公式法例 1 等比数列 的前项和 S 2 p，na则_.22321 naa9解：1）当 n=1 时， ；p-2a12）当 时， 。2n 1-n1-nn-n 2p)()(S因为数列 为等比数列，所以a1pp-a1-1从而等比数列 为首项为 1，公比为 2 的na等比数列。故等比数列 为首项为 1，公比为 的2na 4q2等比数列。 1)-(43-1
8、)(nn22321 naa小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分） 。5）等比数列的性质：若数列 为等比数na列，则数列 及 也为等比数列，首项2nan1分别为 、 ，公比分别为 、 。21a2q1【题型 2】 分组求和法例 2 （2010 年丰台期末 18）数列 中，na10，且点 在函数 的图象上.1a1(, )na()N()2fx（）求数列 的通项公式；（ ）在数列n中，依次抽取第 3，4，6， ，项，n 1n组成新数列 ，试求数列 的通项 及前 项nbnbnb和 .nS解：（）点 在函数 的图象上，1(, )na()2fx 。12na ，即数列 是以 为首项，2 为公差1nna1的等差数列， 。1()21nan（）依题意知： 1 12(2)23nn nnba = =12nnSb 11(3)ni ii i.1233n小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或
