1、 递推法递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.例 1 质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t，加速度变为 2a；在时刻 2t，加速度变为 3a；在 nt 时刻，加速度变为（n+1）a ，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程.解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，
2、然后求解. （1）物质在某时刻 t 末的速度为 atvt2t 末的速度为 tvttt 2,222 所 以3t 末的速度为 tt 33则 nt 末的速度为 natvtnt)1( )321(32 ntat t)()(1（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程 .)1(122atns例 2 小球从高 处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，mh180速度减小 ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g 取)(1n10m/s2）解析 小球从 h0 高处落地时，速率 smghv/6020第一次跳起时和又落地时的速率 /1第二次跳起时和又落地时的速率 202v第 m 次跳起时和又落地时的
3、速率 mv/0每次跳起的高度依次 ，40221,nhgnhg通过的总路程 mhhs22210hnhh3051)(2020 24经过的总时间为 mttt1sgvnngvgvm183)( )1(2100 例 3 A、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为 v，A 犬想追捕 B 犬，B犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长
4、不断减小，如图 61 所示. 所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间 t 可捕捉猎物，再把 t 分为 n 个微小时间间隔t，在每一个t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔t，正三角形的边长分别为 a1、a 2、a 3、a n，显然当 an0 时三只猎犬相遇. tvnatvtavtvBA23,2323,60cos3121因为 ,0t即 vatn3所 以此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例 4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动
5、多少节同样质量的车厢？解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s 的宽松距离，设火车的牵引力为 F，则有：车头起动时，有 21)(mvsgF拉第一节车厢时： 1故有 sv)(2412212)( vmsmgF拉第二节车厢时： 22)(v故同样可得： sgFv )35(942推理可得 nmn )1(2由 gFvn3:02可 得另由题意知 46,1n得因此该车头倒退起动时，能起动 45 节相同质量的车厢.例 5 有 n 块质量均为 m，厚度为 d
6、 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图 62 所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为 mgdW2将第 3、4 、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为 dnmgWdg)1(453所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+Wn2)1()1(3nmgddnmgd例 6 如图 63 所示，有六个完全相同的长条薄片 、1(iBA2、 、6 ）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位
7、置（不计薄片的质量）. 将质量为 m 的质点置于 A1A6的中点处，试求：A 1B1 薄片对 A6B6 的压力.解析 本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B1、A 2B2、A5B5 的受力情况完全相同，因此将 A1B1、A 2B2、A 5B5 作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图 63 甲所示，第 i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力 Ni+1. 选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有 2,11 iiiiL得所以 65321 )(N再以 A6B6 为研究对象，受力情况如图 6
8、3 乙所示，A 6B6 受到薄片A5B5 向上的支持力 N6、碗向上的支持力和后一个薄片 A1B1 向下的压力N1、质点向下的压力 mg. 选 B6 点为轴，根据力矩平衡有LmgL432由、联立，解得 421g所以，A 1B1 薄片对 A6B6 的压力为 .m例 7 用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为 L，横截面是边长为 的正方形，要求此桥具)4/(Lh有最大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值. 解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每
9、块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.将从上到下的积木块依次计为 1、2 、n，显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出量为 21Lx第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为 （如图 64 所示） ，则2x24)(22LxGxG同理可得第 3 块的最大伸出量 32Lx最后归纳得出 nLx2所以总跨度 hkn3.19跨度与桥孔高的比值为 258.19Hk例 8 如图 65 所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁，原点 O 两侧的人的序号都记为）. 每人只有一个沙袋， 一侧的每个沙袋质量为 m=14kg， 一3,21(n00x侧的每个
10、沙袋质量 . 一质量为 M=48kg 的小车以某初速度 v0 从原点出发向正kgm10x 轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的 2n 倍.（n是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能
11、再扔，否则还能扔.小车以初速 沿正 x 轴方向运动，经过第 1 个（n=1 ）人的身旁时，此人将沙袋以0v的水平速度扔到车上，由动量守恒得 当小02nu ,)(2100vmMv车运动到第 2 人身旁时，此人将沙袋以速度 的水平速度扔到车上，同理142vu有 ，所以，当第 n 个沙袋抛上车后的车速为 ，211)()( vmMnvmM nv根据动量守恒有.111 )(,)(2)( nnnn mMv即同理有 ，若抛上（n+1 ）包沙袋后车反向运动，则应有vv)(.0,1n即 .02,)(mnM由此两式解得： 为整数取 3.,1438当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第 n 个人身旁，
12、抛上第 n包沙袋后由动量守恒定律有：nnn vmMvmmM)3(2)1(3 11解得： nnn vv )1(23)(1同 理设抛上 n+1 个沙袋后车速反向，要求 0,1nv即 即抛上第 8 个870)2(31mnM解 得沙袋后车就停止，所以车上最终有 11 个沙袋.例 9 如图 66 所示，一固定的斜面，倾角 ，斜面45长 L=2.00 米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为 m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数 ，试求此质点从开始到20.发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程.解析 因为质点每次下滑均
13、要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生 n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为 s则由功能关系： sin)()(co2121mgmgs33即有 coin231s由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为 .32在发生第 11 次碰撞过程中的路程 13212ss111321 32)()( ss)(86.9)(01m例 10 如图 67 所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是 m1、m 2和 m3，m 2=m3=2m1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之
14、间的摩擦可忽略不计. 开始时，三球处在槽中、的位置，彼此间距离相等，m2 和 m3 静止，m 1 以初速 沿槽运动，R 为圆环的内半径和2/0v小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期 T.解析 当 m1 与 m2 发生弹性碰撞时，由于 m2=2m1，所以 m1 碰后弹回，m 2 向前与m3 发生碰撞. 而又由于 m2=m3，所以 m2 与 m3 碰后，m 3 能静止在 m1 的位置，m 1 又以 v速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当 m1 回到初始位置，则系统为一个周期.以 m1、m 2 为研究对象，当 m1 与 m2 发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可
15、写出：2101vv2由、式得： 02120021 331)( vmvvmv 以 m2、m 3 为研究对象，当 m2 与 m3 发生弹性碰撞后，得 203以 m3、m 1 为研究对象，当 m3 与 m1 发生弹性碰撞后，得 01vv由此可见，当 m1 运动到 m2 处时与开始所处的状态相似 . 所以碰撞使 m1、m 2、m 3交换位置，当 m1 再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期 T，由此可得周期 ).(2010)33()(30321 sRvvRttT 例 11 有许多质量为 m 的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为 L 的柔绳连接着. 现用大
16、小为 F 的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第 n 个木块被牵动时的速度 .解析 每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离 L 后，把绳拉紧，再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能. 因此，如果列出 这样的关系式是错误的.21)(nvFn设第 个木块刚被拉动时的速度为 ，它即将拉动下一个木块时速度增至11n，1nv第 n 个木块刚被拉动时速度为 . 对第 个木块开始运动到它把下一段绳子即nv)(将拉紧这一过程，由动能定理有：2121)()(nnmvFL对绳子把第 n 个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有得： m1)
17、( nnv1把式代入式得： 212)()()2nmvFL整理后得： 212)()1( nnvvmFLn式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由式可知当 n=2 时有： 212当 n=3 时有： 23vL当 n=4 时有： 423mF一般地有 21)()1( nnvv将以上 个等式相加，得： 212)3vnmFL所以有 212)(vmFLnn在本题中 ，所以01v.)(n例 12 如图 68 所示，质量 m=2kg 的平板小车，后端放有质量 M=3kg 的铁块，它和车之间动摩擦因数 开始.50时，车和铁块共同以 的速度向右在光滑水平面上sv/30前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，
18、碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程.解析 小车与墙撞后，应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去. 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和.设每次与墙碰后的速度分别为 v1、v 2、v 3、v n、车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为 s1、s 2、s 3、s
19、n、. 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第 次)1(n碰后到发生第 n 次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有所以 nvmMv)()(1 51nnvmM由这一关系可得： ,5,21312一般地，有 ,51nv由运动学公式可求出车与墙发生第 n 次碰撞后向左运动的最远距离为2125nnavs类似的，由这一关系可递推到： 2142132121 5, nnavsvsvs所以车运动的总路程 )(321 nsss总245112242 avvn因此 201 /15/3smMgsmv所以 )(45s总例 13 10 个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图 69 所示，每个木块的质量
20、长度,40.kg，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为ml5.0原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端12上方放一个质量为 M=1.0kg 的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 现突然给铅块一向右的初速度 ，使其.201 smv/3.40在大木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）. 重力加速度 g 取 ，设铅块的长度与木块相比可以忽略 .2)/(0sm解析 当铅块向右运动时，铅块与 10 个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于 10 个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则 10 个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于 10 个扁长
21、木块与地面间的最大摩擦力，则 10 个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止.铅块 M 在木块上滑行所受到的滑动摩擦力 NMgf0.21设 M 可以带动木块的数目为 n，则 n 满足： 0)1()(2mgn即 0)1(4.0.2上式中的 n 只能取整数，所以 n 只能取 2，也就是当 M 滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第 8 个木块时速度为 v，则lMgv82110得： )/(49.2sm由此可见木块还可以滑到第 9 个木块上. M 在第 9 个木块上运动如图 69 甲所示，则对 M
22、而言有： ag1得： 2/0.saM第 9 及第 10 个木块的动力学方程为： ，magm2)(21 得： ./25.sm设 M 刚离开第 9 个木块上时速度为 ，而第 10 个木块运动的速度为 ，并设木v V块运动的距离为 s，则 M 运动的距离为 ，有：lsaVlvm2)(tM消去 s 及 t 求出： ，显然后一解不合理应舍去. smVvsVv/23.06/21.06或因 ，故 M 将运动到第 10 个木块上.v再设 M 运动到第 10 个木块的边缘时速度为 ，这时木块的速度为 ，则：v V)(22lsa解得： ，故 M 不能滑离第 10 个木块，只能停在它的表面上，0463.1v最后和木
23、块一起静止在地面上.例 14 如图 610 所示，质量为 m 的长方形箱子，放在光滑的水平地面上. 箱内有一质量也为 m 的小滑块，滑块与箱底间无摩擦. 开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度 v0 从箱子的 A 壁处向B 处运动，后与 B 壁碰撞. 假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的 e 倍， .214（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的 40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值.
