1、1一元二次方程与二次函数提高练习题一选择题（共 11 小题）1已知关于 x 的方程（m+2）x 23x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）A 且 m2 B 且 m2 C D2若ABC 的一边 a 为 4，另两边 b、c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，则ABC 的周长为（ ）A9 B10 C 9 或 10 D8 或 9 或 103 （2008随州）如图，要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 4若 a，b， c 为三角形三边，则关于的二次方程 x2+（a b）x+c 2=0 的根的情况是（ ）
2、A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法确定5如果关于 x 的方程 7x2+px+q=0 的两个根为 2 和3，那么二次三项式 7x2+px+q 可分解为（ ）A （x2） （x+3） B （x+2） （x 3） C7（x2） （x+3） D7（x+2） （x3）6在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是（ ）A B C D7若抛物线 y=（xm） 2+（m+1）的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为（ ）Am 1 Bm0 Cm1 D1m08如图为二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象，则下列说法：a0 2a+b=0 a+
3、b+c0 当1x3 时，y0 其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D49设 b0，二次函数 y=ax2+bx+a21 的图象为下列之一，则 a 的值为（ ）A1 B1 C D10抛物线 y=2x2，y= 2x2， 共有的性质是（ ）A开口向下 B对称轴是 y 轴 C都有最高点 Dy 随 x 的增大而增大11小智将如图两水平线 L1、L 2 的其中一条当成 x 轴，且向右为正向；两铅直线 L3、L 4 的其中一条当成 y 轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数 y=ax2+2ax+1 的图形关于他选择 x、y 轴的叙述，下列何者正确？（ ）（第 11 小题图） （第 15 小题图）A
4、L 1 为 x 轴，L 3 为 y 轴 BL 1 为 x 轴，L 4 为 y 轴CL 2 为 x 轴，L 3 为 y 轴 DL 2 为 x 轴，L 4 为 y 轴二填空题（共 6 小题）12定义：给定关于 x 的函数 y，对于该函数图象上任意两点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，当 x1x 2 时，都有y1y 2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有 （填上所有正确答案的序号）y=2x； y=x+1；y=x 2（x0） ；y= 13下列函数（其中 n 为常数，且 n1）2y= （x0） ； y=（n 1）x； y= （x0） ； y=（1n）x+1
5、 ； y=x2+2nx（x0）中，y的值随 x 的值增大而增大的函数有 个14在直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y ） ，给出如下定义：若 y= ，则称点 Q 为点 P 的“可控变点 ”例如：点（1，2）的“可控变点 ”为点（1，2） ，点（ 1，3）的“可控变点”为点（ 1，3） （1）若点（1，2）是一次函数 y=x+3 图象上点 M 的“可控变点” ，则点 M 的坐标为 （2）若点 P 在函数 y=x2+16（5xa）的图象上，其“ 可控变点”Q 的纵坐标 y的取值范围是16y 16，则实数 a 的取值范围是 15如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限，以
6、A 为顶点的抛物线经过原点，与 x 轴负半轴交于点 B，对称轴为直线 x=2，点 C 在抛物线上，且位于点 A、B 之间（C 不与 A、B 重合） 若 ABC 的周长为 a，则四边形 AOBC 的周长为 （用含 a 的式子表示） 16如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 17请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= 三解答题（共 13 小题）18已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根；（2）
7、m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根19某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出 20 件，每件衬衣盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衣降价 10 元，商场平均每天可多售出 20 件若商场平均每天盈利 1200 元，每件衬衣降价多少元？20阅读下面的例题与解答过程：例解方程：x 2|x|2=0解：原方程可化为|x| 2|x|2=0设|x|=y，则 y2y2=0解得 y1=2，y 2=1当 y=2 时，|x|=2，x= 2；当 y=1 时，|x|=1，无实数解原方程的解是：x 1=2，x 2=2在上面的解答过程中，我们把|x
8、|看成一个整体，用字母 y 代替（即换元） ，使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰这是解决数学问题中的一种重要方法换元法请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x 22|x|=0； （2）x 22x4|x1|+5=021阅读下列材料：求函数 的最大值解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得 x 为实数，= =y+40，y4因此，y 的最大值为 43根据材料给你的启示，求函数 的最小值22如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b ，c 是 RtABC 和 RtBED 边长，易知 ，这时我们把关于 x 的形如 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程” 请解决
9、下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程 ”；（2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程 ” 必有实数根；（3）若 x=1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 6 ，求 ABC面积23已知点 A（2，n ）在抛物线 y=x2+bx+c 上（1）若 b=1，c=3，求 n 的值；（2）若此抛物线经过点 B（4，n） ，且二次函数 y=x2+bx+c 的最小值是4，请画出点 P（x 1，x 2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由24如果抛物线 y=ax2+bx+c 过定点 M（1，1） ，则称此抛物线为定点抛物线（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请
10、你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案：y=2x 2+3x4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线 y=x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答25如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴，抛物线 y= x2+bx+c 经过 B、C 两点，点 D 为抛物线的顶点，连接 AC、BD 、CD（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积26如图，抛物线 y=x2bx+c 交 x 轴于点 A（1，0 ） ，交
11、y 轴于点 B，对称轴是 x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由427已知关于 x 的方程 kx2+（2k+1 ）x+2=0（1）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数时，若P（a，y 1） ，Q（1，y 2）是此抛物线上的两点，且 y1y 2，请结合函数图象确定实数 a 的取值范围；（3）已知抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 恒过定点，求出定点坐标28如图，
12、某足球运动员站在点 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5m 的 A 处正对球门踢出（点 A 在 y轴上） ，足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 t（单位：s ）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行 0.8s 时，离地面的高度为 3.5m（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离 x（单位：m）与飞行时间 t（单位：s ）之间具有函数关系 x=10t，已知球门的高度为 2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为 28m，他能否将球直接射入球门？29为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节” 来临前夕，购进一种品
13、牌粽子，每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒（1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得不低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？30为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度 v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥
14、上的车流密度达到 220 辆/ 千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度为 20 辆/千米时，车流速度为 80 千米/小时研究表明：当 20x220 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数（1）求彩虹桥上车流密度为 100 辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于 40 千米/小时且小于 60 千米/ 小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量 =车流速度车流密度当 20x220 时，求彩虹桥上车流量 y 的最大值5一元二次方程与二次函数提高练习题参考答案与试题解析
15、一选择题（共 11 小题）1 （2010朝阳区一模）已知关于 x 的方程（m+2）x 23x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）A 且 m2 B 且 m2 C D【考点】根的判别式菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足=b 24ac0【解答】解：根据题意列出方程组： ，解得 m 且 m2，故选 A【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0 方程没有实数根2 （2010滨湖区一模）若
16、 ABC 的一边 a 为 4，另两边 b、c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，则 ABC的周长为（ ）A9 B10 C9 或 10 D8 或 9 或 10【考点】根与系数的关系；三角形三边关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由于两边 b、c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，可求出 b，c 的值，而ABC 的一边 a 为 4，由此即可求出ABC 的一边 a 为 4 周长【解答】解：两边 b、 c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，解得：b=3 或 2，c=2 或 3，ABC 的一边 a 为 4，若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2，但 2+
17、2=4，所以三角形不成立，故 b=c=3ABC 的周长为 4+3+3=10若 bc，ABC 的周长为 4+5=9故选 C【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来，利用三角形三边关系得出是解题关键3 （2008随州）如图，要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】本题实际是分为两种情况：（1）当 x2 时，有方程 x22=x，分别解得 x 的值；（2）当 x2 时，由 =x，解得 x 的值；看看究竟有几个符合
18、题意的 x 的值【解答】解：（1）当 x2 时，由方程 x22=x，解得：x=2 或 x=1；（2）当 x2 时，由 =x，解得：x= ，x= 应舍去，因而这样的 x 的值有 3 个，分别是 2，1 和 故选 B【点评】正确理解题意，把图表问题转化为方程问题是解决本题的关键4 （1999烟台）若 a，b，c 为三角形三边，则关于的二次方程 x2+（ab ）x+c 2=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定【考点】根的判别式；三角形三边关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先求出=b 24ac，再结合 a，b ，c 为三角形的三边，即可判断根
19、的情况【解答】解： x2+（a b）x+c 2=0，=b 24ac= =（ab ） 2c2=（a bc） （ab+c ）a，b，c 为三角形三边，b+c a，a+cb6abc0，ab+c0（abc） （ab+c）0，即二次方程 x2+（ab）x+c 2=0 无实数根故选 C【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系5 （1998大连）如果关于 x 的方程 7x2+px+q=0 的两个根为 2 和 3，那么二次三项式 7x2+px+q 可分解为（ ）A （x2） （x+3） B （x+2） （x 3） C7（x2） （x+3） D7（x+2） （x3）【考点】解一元二次方程
20、-因式分解法菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】根据方程的两根，即可将多项式分解因式【解答】解：7x 2+px+q=0 的两个根为 2 和 3，二次三项式 7x2+px+q=7（x 2） （x+3） 故选 C【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解，弄清题意是解本题的关键6 （2015泉州）在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是（ ）A B C D【考点】二次函数的图象；一次函数的图象菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定 a、b 的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项
21、逐一讨论解析，即可解决问题【解答】解：A、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a0，b0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，对称轴 x= 0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误B、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a0，b0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误C、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断， a0，b0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，图象开口向下，对称轴 x= 位于 y 轴的右侧，故符合题意，D、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断， a0，b0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，图象
22、开口向下，a0，故不合题意，图形错误故选：C【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定 a、b 的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答7 （2015益阳）若抛物线 y=（xm） 2+（m+1）的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为（ ）Am 1 Bm0 Cm1 D1m0【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】利用 y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于 0 列出不等式组【解答】解
23、：由 y=（xm） 2+（m+1）=x 22mx+（m 2+m+1） ，根据题意， ，解不等式（1） ，得 m0，解不等式（2） ，得 m1 ；所以不等式组的解集为 m0故选 B【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大8 （2015安顺）如图为二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法：a0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3 时，y0其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由 x=1 时的函数值判断 a+b+c0，
24、然后根据对称轴推出 2a+b 与 0 的关系，根据图象判断 1x3 时，y 的符号【解答】解：图象开口向下，能得到 a0；7对称轴在 y 轴右侧，x= =1，则有 =1，即 2a+b=0；当 x=1 时，y0，则 a+b+c0；由图可知，当 1x3 时，y0故选 C【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用9 （2014广元）设 b0，二次函数 y=ax2+bx+a21 的图象为下列之一，则 a 的值为（ ）A1 B1 C D【考点】二次函数的图象菁优网版权所有【分析】由抛物线的开口方向与对称
25、轴的位置选择选择函数的正确图象，再根据图象性质计算 a 的值即可【解答】解：由图和得，b=0，与 b0 矛盾，所以此两图错误；由图得，a0，对称轴为 x= 0，a、b 异号，即 b0，符合条件；过原点，由 a21=0，得 a=1，a= 1；由图得，a0，对称轴为 x= 0，a、b 异号，即 b0，与已知矛盾故选 A【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用10 （2014毕节市）抛物线 y=2x2，y=2x 2， 共有的性质是（ ）A开口向下 B对称轴是 y 轴C都有最高点 Dy 随 x 的增大而增大【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【分析】根据二次函数的性质
26、解题【解答】解：（1）y=2x 2 开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=2x 2 开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点，顶点为原点；（3）y= x2 开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，顶点为原点故选：B 【点评】考查二次函数顶点式 y=a（x h） 2+k 的性质二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向上， x 时，y 随 x 的增大而减小；x 时， y随 x 的增大而增大；x= 时，y 取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下， x
27、时，y 随 x 的增大而增大；x 时， y随 x 的增大而减小；x= 时，y 取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点11 （2014台湾）小智将如图两水平线 L1、L 2 的其中一条当成 x 轴，且向右为正向；两铅直线 L3、L 4的其中一条当成 y 轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数 y=ax2+2ax+1 的图形关于他选择 x、y 轴的叙述，下列何者正确？（ ）AL 1 为 x 轴，L 3 为 y 轴 BL 1 为 x 轴，L 4 为 y 轴CL 2 为 x 轴，L 3 为 y 轴 DL 2 为 x 轴，L 4 为 y 轴【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【分析】根据二次函数的
28、解析式 y=ax2+2ax+1，得到与 y 轴交点坐标为（0，1） ，确定 L2 为 x 轴；根据抛物线的对称轴为直线 x=1，确定 L4 为 y 轴【解答】解：y=ax 2+2ax+1，x=0 时，y=1，抛物线与 y 轴交点坐标为（0，1） ，即抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，L 2 为 x 轴；对称轴为直线 x= =1，即对称轴在 y 轴的左侧，L 4 为 y 轴故选 D8【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中根据二次函数的解析式求出与 y 轴交点坐标及对称轴是解题的关键二填空题（共 6 小题）12 （2015临沂）定义：给定关于 x 的函数 y，对于该函数图象上任意两点（x
29、 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，当x1x 2 时，都有 y1y 2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有 （填上所有正确答案的序号）y=2x； y=x+1；y=x 2（x0） ；y= 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行分析即可得到答案【解答】解：y=2x，20，是增函数；y=x+1，1 0，不是增函数；y=x2，当 x0 时，是增函数，是增函数；y= ，在每个象限是增函数，因为缺少条件，不是增函数故答案为：【点评】本题考查的
30、是一次函数、二次函数、反比例函数的性质，掌握各种函数的性质以及条件是解题的关键13 （2015天水）下列函数（其中 n 为常数，且 n1）y= （x0） ； y=（n 1）x； y= （x0） ； y=（1n）x+1 ； y=x2+2nx（x0）中，y的值随 x 的值增大而增大的函数有 3 个【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质菁优网版权所有【分析】分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可【解答】解：y= （x0） ，n1，y 的值随 x 的值增大而减小；y=（n1） x，n1，y 的值随 x 的值增大而增大；y= （x0）n1
31、，y 的值随 x 的值增大而增大；y=（1n） x+1，n1，y 的值随 x 的值增大而减小；y=x2+2nx（x0）中，n1，y 的值随 x 的值增大而增大；y 的值随 x 的值增大而增大的函数有 3 个，故答案为：3【点评】此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，关键是掌握正比例函数 y=kx（k0） ，k 0 时，y 的值随 x 的值增大而增大；一次函数的性质：k0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k 0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降；二次函数 y=ax2+bx+c（a0）当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x
32、时，y 随 x 的增大而增大；反比例函数的性质，当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大14 （2015乐山）在直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y） ，给出如下定义：若 y=，则称点 Q 为点 P 的“可控变点” 例如：点（1，2）的“可控变点 ”为点（1，2） ，点（ 1，3）的“可控变点”为点（ 1，3） （1）若点（1，2）是一次函数 y=x+3 图象上点 M 的“可控变点” ，则点 M 的坐标为 （1，2） （2）若点 P 在函数 y=x2+16（5xa）的图象上，其“ 可控变点”Q 的纵坐标 y的取值范围是16y 1
33、6，则实数 a 的取值范围是 a4 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义【分析】 （1）直接根据“可控变点 ”的定义直接得出答案；（2）根据题意可知 y=x2+16 图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 y= 的图象上，结合图象即可得到答案【解答】解：（1）根据“可控变点” 的定义可知点 M 的坐标为（1，2） ； （2）依题意，y=x 2+16 图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 y= 的图象上（如图）16y16 ，16= x2+16x=4 当 x=5 时，x 216=9，当 y=9 时，9=x 2+16（x0） x= a
34、的取值范围是 a 4 故答案为（1，2） ， a4 9【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度15 （2014长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限，以 A 为顶点的抛物线经过原点，与 x轴负半轴交于点 B，对称轴为直线 x=2，点 C 在抛物线上，且位于点 A、B 之间（C 不与 A、B 重合）若ABC 的周长为 a，则四边形 AOBC 的周长为 a+4 （用含 a 的式子表示） 【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据抛物线的对称性得到：OB=4，AB=
35、AO，则四边形 AOBC 的周长为 AO+AC+BC+OB=ABC 的周长+OB【解答】解：如图，对称轴为直线 x=2，抛物线经过原点、x 轴负半轴交于点 B，OB=4 ，由抛物线的对称性知 AB=AO，四边形 AOBC 的周长为 AO+AC+BC+OB=ABC 的周长+OB=a+4故答案为：a+4【点评】本题考查了二次函数的性质此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形AOBC 的周长转化为求（ABC 的周长+OB）是值16 （2014扬州）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的
36、值为 0 【考点】抛物线与 x 轴的交点菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可【解答】解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q，抛物线的对称轴是过点（1，0） ，与 x 轴的一个交点是 P（4，0） ，与 x 轴的另一个交点 Q（2，0） ，把（2，0）代入解析式得： 0=4a2b+c，4a2b+c=0，故答案为：0【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示出与 x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键17 （2013北京）请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，
37、y= x 2+1（答案不唯一） 【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】开放型【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求 a 值大于 0 即可【解答】解：抛物线 y=x2+1 开口向上，且与 y 轴的交点为（0，1） 故答案为：x 2+1（答案不唯一） 【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的 a 值必须大于 0三解答题（共 13 小题）18 （2015咸宁）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2 ）x+2=0（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法菁优网版
38、权所有【专题】证明题【分析】 （1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；10（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出 m 的值【解答】 （1）证明：= （m+2） 28m=m24m+4=（m2） 2，不论 m 为何值时， （m 2） 20， 0，方程总有实数根；（2）解：解方程得，x= ，x1= ， x2=1，方程有两个不相等的正整数根，m=1 或 2，m=2 不合题意，m=1【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：0 方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实
39、数根是解题的关键19 （2015诏安县校级模拟）某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出 20 件，每件衬衣盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衣降价 10 元，商场平均每天可多售出 20 件若商场平均每天盈利 1200 元，每件衬衣降价多少元？【考点】一元二次方程的应用菁优网版权所有【专题】销售问题【分析】利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可【解答】解：设每件衬衫应降价 x 元根据题意，得 （40x） （ 20+2x）=1200整理，得 x230x+200=0解得 x1=10，x 2=20 “
40、扩大销售量，减少库存 ”，x 1=10 应略去，x=20 答：每件衬衫应降价 20 元【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利=每天销售的利润是解题关键20 （2015 春沙坪坝区期末）阅读下面的例题与解答过程：例解方程：x 2|x|2=0解：原方程可化为|x| 2|x|2=0设|x|=y，则 y2y2=0解得 y1=2，y 2=1当 y=2 时，|x|=2，x= 2；当 y=1 时，|x|=1，无实数解原方程的解是：x 1=2，x 2=2在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母 y 代替（即换元） ，使得问题简单化、明朗化，解答过程更
41、清晰这是解决数学问题中的一种重要方法换元法请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x 22|x|=0； （2）x 22x4|x1|+5=0【考点】换元法解一元二次方程菁优网版权所有【专题】阅读型；换元法【分析】 （1）结合例题，利用换元法求解即可（2）结合例题，利用换元法求解即可【解答】解：（1）原方程可化为|x| 22|x|=0，设|x|=y，则 y22y=0解得 y1=0，y 2=2当 y=0 时，|x|=0，x=0 ；当 y=2 时，x= 2；原方程的解是：x 1=0，x 2=2，x 3=2（2）原方程可化为|x1| 24|x1|+4=0设|x1|=y，则 y24y+4=0，解得 y1=y2=2即|x1|=2，x= 1 或 x=3原方程的解是：x 1=1， x2=3【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解换元的实质是转化
