1、第第 5章章多自由度系统的数值方法多自由度系统的数值方法n 有许多数值方法，可以得到系统特征值有许多数值方法，可以得到系统特征值和特征向量的近似值，这对解决许多工和特征向量的近似值，这对解决许多工程问题是十分有用的。程问题是十分有用的。第第 1节节 Rayleigh法法已知已知 n自由度无阻尼系统特征值问题的方程为自由度无阻尼系统特征值问题的方程为lMu=Ku (5.1-1)l=wn2设系统的特征值和正则化特征向量为设系统的特征值和正则化特征向量为 lr, mr (r=1, 2, , n) ，它们满足方程，它们满足方程 (5.1-1)，即，即lrMmr=Kmr r=1, 2, , n (5.1
2、-2)方程方程 (5.1-2)两边各左乘以两边各左乘以 mrT，并除以纯量，并除以纯量mrT M mr，得，得(5.1-3)方程表明，分子与第方程表明，分子与第 r阶固有模态的势能有阶固有模态的势能有关，分母与第关，分母与第 r阶固有模态的动能有关。阶固有模态的动能有关。如果有一任意的向量如果有一任意的向量 v，令，令(5.1-4)式中式中 R(v)是一个纯量，它不仅决定于矩阵是一个纯量，它不仅决定于矩阵M和和 K， 而且还决定于向量而且还决定于向量 v。矩阵矩阵 M和和 K反映系统的特性，而向量反映系统的特性，而向量 v是任意的。因此，对于给定的系统是任意的。因此，对于给定的系统 ， R(v
3、)只决定于向量只决定于向量 v。纯量纯量 R(v)叫做叫做 Rayleigh 商。显然，如果向量商。显然，如果向量v与系统的特征向量与系统的特征向量 mr 一致，则一致，则 Rayleigh 商就是其对应的商就是其对应的 lr。系统特征向量系统特征向量 mr (r=1, 2, , n) ， 形成形成 n维空维空间中一组线性独立的完备基。间中一组线性独立的完备基。因而同一空间中的任一向量因而同一空间中的任一向量 v ， 可用特征向可用特征向量的线性组合来表示，即量的线性组合来表示，即(5.1-5)式中式中 cr是常数，是常数， C=c1 c2 cnT。把式把式 (5.1-5)代入式代入式 (5.
4、1-4)，并考虑到，并考虑到mTMm=I， mTKm=L有有(5.1-6)(5.1-6)表明，表明， R(v)是系统特征值是系统特征值 lr， 即系统固即系统固有频率平方有频率平方 wn2(r=1, 2, , n )的加权平均值。的加权平均值。如果任意向量如果任意向量 v与系统的第与系统的第 r阶特征向量阶特征向量 mr很接近，意味着系数很接近，意味着系数 ci 与与 cr( ir) 相比较是很相比较是很小的，则有小的，则有ci=eicr r=1, 2, , n (5.1-7)式中式中 ei1。 方程方程 (5.1-6)的分子和分母分别的分子和分母分别除以除以 cr2 ， 得得(5.1-8)(5.1-9)式中式中(5.1-8)右边级数是一个二阶小量。当向量右边级数是一个二阶小量。当向量 v与与mr的误差为一阶时，的误差为一阶时， Rayleigh商与特征值商与特征值 lr的的 误差为二阶。误差为二阶。这表明，这表明， Rayleigh 商在特征向量的邻域中有稳商在特征向量的邻域中有稳定的值。定的值。通常，通常， Rayleigh法用于计算系统的基频或第一法用于计算系统的基频或第一阶固有频率，即阶固有频率，即 r=1。 由方程由方程 (5.1-8)得得(5.1-10)
