1、圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1 (方法对比，二星)题面：(1)有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有 5 个数学竞赛名额要分配给 3 所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别” 相同元素问题(法 1)每所学校各分一个名额后，还有 2 个名额待分配，可将名额分给 2 所学校、1 所学校，共两类：(种)213C(法 2挡板法)相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板，共：(种)46注意：“挡板法” 可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同 类 题 一题
2、面：有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案： 69C详解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成 9 个空隙。在 9 个空档中选 6 个位置插个隔板，可把名额分成 7 份，对应地分给 7 个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 种分法。69C同 类 题 二题面：求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。答案：36.详解：将 10 个球排成一排，球与球之间形成 9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板） ，规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值, 故解的个数为 C92=36（个） 。2.题 2
3、(插空法，三星)题面：某展室有 9 个展台，现有 件展品需要展出，要3求每件展品独自占用 个展台，并且 件展品所选用1的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求 件展品所选用的展台之间3间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有_种. 答案： ，6048同 类 题 一题面：6 男 4 女站成一排，任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？答案：A A 种.6 47详解： 任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有 A A 种不6 47同排法同 类 题 二题面：有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A3
4、6 种 B48 种 C72 种 D96 种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A A 72 种排法，故选 C.3 243题 3 (插空法，三星)题面：5 个男生到一排 12 个座位上就座，两个之间至少隔一个空位1没有坐人的 7 个位子先摆好，2(法 1插空 )每个男生占一个位子，插入 7 个位子所成的 8 个空当中，有：=6720 种排法. 5A(法 2)15 个男生先排好： ；5A2每个男生加上相邻的一个座位，共去掉 9 个位置，当作 5 个排好的元素，共有 6 个空，剩下的 3 个元素往里插空，每个空可以插 1 个、2 个、3
5、个元素，共有： 种，2166C综上：有 ( )=6720 种.5A3同 类 题 一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？答案：30。详解：记两个小品节目分别为 A、B。先排 A 节目。根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把 4 个球分成两堆，有 种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同理知有 种方法。故由分步计数原理知，方法共有 （种）。 同 类 题 二题面：(2013 年开封模拟)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲
6、不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A60 B48C42 D36答案：B.详解：第一步选 2 女相邻排列 C A ，第二步与男女23 2排列 A ，第三步男生甲插在中间， 1 种插法，第四步2男男生插空 C ，故有 C A A C 48 种不同排14 23 2 2 14法4.题 4 (隔板法变形，三星)题面：15 个相同的球，按下列要求放入 4 个写上了1、2、3、4 编号的盒子，各有多少种不同的放法?(1)将 15 个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；3146C(2)将 15 个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；(3)将 15 个球放入盒子内，每
7、个盒子不必非空；(4)任取 5 个球，写上 1-5 编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；(5)任取 10 个球，写上 1-10 编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子解析：(2)先将 2、3、4 号盒子分别放入 1、2、3 个球，剩下的 9 个球用挡板法， =5638C(3)借来 4 个球，转化为 19 个球放入盒子内，每个盒子非空， 3186(4)不能用“挡板法”，因为元素有差别.(法 1)必有一个盒子有 2 个球， ；2450CA(法 2)先选 3 个球，分别排到 4 个盒子中的 3 个里，剩下的盒子自然放 2 个球.；3540CA(法 3) ，会重！
8、需要除 2！18重复原因：1 号盒子放 1、5 号球，先放 1 后放 5 与先放 5、后放 1 是一样的！(5)(法 1)每个球都有 2 种选择，共有 种方法；102(法 2)奇数号的球有 1、3、5、7、9，共 5 个，可以在1、3 号两个盒子中选一个放入，共有： 种放法，543210555CC同理放偶数号的球也有 种方法，综上共有 种方法.102同 类 题 一题面：某车队有 7 辆车，现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字) 答案：120.详解：先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C 种选法，连同25甲、乙共 4
9、 辆车，排列在一起，先从 4 个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有 C 种，最后，安排24其他两辆车共有 A 种方法，故不同的调度方法为2C C A 120 种25 24 2同 类 题 二题面：我国第一艘航母“辽宁舰” 在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有（ ）A 12B 18C 24D 48答案：C.详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素 A,有 2种方法;与戊机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有 23A种方法 ;考虑 与戊机的排法有2A种方法 .由乘法原理可知共有 234种不同的着舰方法.故应选
10、 C 5. 题 5(相同与不同，三星)题面：某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( )A4 种 B10 种 C18 种 D20 种同 类 题 一题面：(2013北京高考)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_答案：96.详解：按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组，然后再分配给 4 人，连号的情况是 1 和 2,2和 3,3 和 4,4 和 5，故其方法数是 4A 96.
11、4同 类 题 二题面：3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A. 360 B. 288 C. 216 D. 96答案：288 种.详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从 3 个女生中选两位，有 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有23C种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，2A先把三个男生任意排列，有 中不同的排法，23A然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有 种不同的排法，共24有 种不同的排法。然后再考虑把男生甲2A
12、3C2站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有 种不同的方12C法，然后其他两个男生排列有 种排法，最后把女生2A在剩余的三个位置中排列，有 种不同的排法。共3种不同的排法， 故总的排法为2A3C123 2A =288 种不同的方法。 4123.题 6(组合数的性质，二星)题面：5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出 3 人参加 A 活动；(2)选出 5 人参加 B 活动；(3)选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(4)选出 4 人参加一项活动，女生甲不能参加.答案：同 类 题 一题面：从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分
13、队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A. 70 种 B. 80 种 C. 100 种 D. 140 种答案：A.详解：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有=70 种5454C同 类 题 二题面：男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.答案：（1）120 种（2） 246 种. 详解：（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C 种选法.36第二步：选 2
14、 名女运动员，有 C 种选法.24共有 C C =120 种选法. 364（2） 至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为C C +C C +C C +C C =246 种. 646.题 7 (选和排，二星)题面：从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中有且只有 1 名女生，则选派方案共有多少种？法一：先选后排， 1234CA法二：边选边排， 3()同 类 题 一题面：将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少1 名教师，则不同的分配方案共有( )A1
15、2 种 B24 种 C 36 种 D48 种答案：C.详解： 先分组再排列：将 4 名教师分成 3 组有 C 种分法，24再将这三组分配到三所学校有 A 种分法，由分步乘法3计数原理，知一共有 C A 36 种不同分配方案24 3同 类 题 二题面：甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )A258 B306 C336 D296答案：C.详解：根据题意，每级台阶最多站 2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有 C A 种不同的23 27站法；第二类，一级台阶站 1 人，共有 A 种不同的站3
16、7法根据分类加法计数原理，得共有C A A 336(种)不同的站法23 27 373题一(合理分类，二星)题面：若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A60 种 B63 种 C65 种 D66 种同 类 题 一题面：只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A6 个 B9 个 C18 个 D36 个答案：C.详解： 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C 3(种)13选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有
17、 A C 6( 种)排2 23法，所以共有 3618(种)情况，即这样的四位数有 18个同 类 题 二题面：由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )A72 B96 C108 D144答案：C.详解：分两类：若 1 与 3 相邻，有 A C A A 72( 个)，若2 13 2 231 与 3 不相邻有 A A 36( 个)3 3故共有 7236108 个题 8 题面：5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(2)选 3 人参加数学竞赛，至少有一名男生.(法 1)分类：1 名
18、、2 名、3 名男生：；2535C(法 2)间接法 .338815C(法 3)1先取 1 名男生；2 再在剩下的 7 人中取 3 人；？1257605C同 类 题 一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .18A.24B .30C .36D答案：C.详解： 用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 24C，顺序有 3A种，而甲乙被分在同一个班的有3A种，所以种数是 240同 类 题 二题面：甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（ ）A. 6
19、 B. 12 C. 30 D. 36 答案：C.详解：可以先让甲、乙任意选择两门，有 种选择方法，24C然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有 种选法，然后乙从剩余的24两门选，有 种不同的选法，全不相同的选法是2C24种方法，所以至少有一门不相同的选法为 2 C=30 种不同的选法。42题 9 (组合数性质，三星)某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9 名同学，现从该班挑选 2 名同学参加比赛，且这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方案？同 类 题 一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个
20、班，则不同分法的总数为 （ ）A. 18 B. 24 C. 30 D. 30答案：C.详解： 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有 种不24C同的分法，然后三组进行全排列共 种不同的方法；3A然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共 种不3A同的排法。所以总的排法为 =30 种不同的排234C法。同 类 题 二题面：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有（A）30 种 （B）90 种 （C）180 种 （D）270 种答案：B.详解：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教
21、师分成三组，一组1 人，另两组都是 2 人，有124CA种方法，再将3 组分到 3 个班，共有 3590种不同的分配方案，选 B.题 10 (组合的识别，四星)题面：(1)“渐升数” 是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1458),则四位“ 渐升数 ”共有多少个？(2)5 个男生 3 个女生排成一排，自左至右，男、女生分别都从高到矮排(任意两人身高不同 )，有多少种不同排法？(法 1)8 个位置中选 5 个排男生，剩下 3 个位置排女生，538C注意：男生位置选定以后，女生顺序一定，只对应一种排法.(法 2除序) .8553AC(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5 能组多少个不同的九
22、位数？多重排列除序 32496!答案：150同 类 题 一题面：形如 45132 的数称为“ 波浪数 ”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数” 的个数为_ 答案：16.详解： 由题意可得，十位和千位只能是 4,5 或者 3,5.若十位和千位排 4,5，则其他位置任意排 1,2,3，则这样的数有 A A 12(个)；若十位和千位排2 35,3，这时 4 只能排在 5 的一边且不能和其他数字相邻，1,2 在其余位置上任意排列，则这样的数有 A A 4(个) ，综上，共有 16 个2 2同 类 题 二题面：4 个不同的球，4 个不同的盒
23、子，把球全部放入盒内.（1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？答案：（1）144 种.（2）144 种.（3）6 种.详解：（1）为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2个球，其余 2 个球放在另 外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C C C A =144 种.143（2） “恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此， “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“ 恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法.（3）确定 2 个空盒有 C 种方法.24
