1、第 1 页 共 27 页第十二讲 随机变量及其分布列课程类型：复习 预习 习题 针对学员基础：基础 中等 优秀本章主要内容：1.离散型随机变量的定义；2.期望与方差；3.二项分布与超几何分布.本章教学目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义(重点)2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用( 难点)第一节 离散型随机变量及其分布列【知识与方法】一离散型随机变量的定义1 定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量随机变量是一种对应关
2、系；实验结果必须与数字对应；数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母 X，Y，表示授课班级 授课日期 学员月 日 组“超几何分布” 一词来源于超几何数列，就像“ 几何分布” 来源于几何数列。几何数列又叫等比数列，“几何分布”、 几何数列“名称的来源前面的文章已经解释过，请看 一些带“几何“的数学名词来源解释。几何分布（Geometric distribution）是离散型机率分布。其中一种定义为：在第 n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的机率。课外拓展第 2 页 共 27 页3.所有取值可以一一列出
3、的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达 奎 屯王 新 敞新 疆 如投掷一枚硬币，0表示正面向上， ，表示反面向上 奎 屯王 新 敞新 疆1（2 ）若 是随机变量， 是常数，则 也是随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆ba,二离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x 2，x i，x n, X 取每一个
4、值xi(i=1,2，n)的概率 P(X=xi)=pi，则称表：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn为离散型随机变量 X 的概率分布列， 简称为 X 的分布列用等式可表示为 P(X=xi)=pi，i=1,2，n, 也可以用图象来表示 X 的分布列2.离散型随机变量的分布列的性质p i0，i=1,2，n； 1ni三两个特殊分布1.两点分布 ),1(PBXX 0 1P 1-p p若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p=P(X=1)为成功概率2.超几何分布 ),(nMNH一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则
5、 P(X=k)= ，k =0,1,2，m ，其中 m=min ，且 nN，MN，n，M，NN *.nNkMC ,X 0 1 m离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变 量 都 是 用 变 量 表 示 随机 试 验 的 结 果 ； 但 是 离 散 型 随 机 变 量 的 结 果 可 以 按 一 定 次 序 一 一 列 出 ， 而 连 续 性 随 机 变 量 的 结 果 不 可以 一 一 列 出 奎 屯王 新 敞新 疆分布列的优缺点：优点离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值， 而且也能看出取每一个值的概率的大小， 从
6、而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况缺点（1）分布列不能表示 X 的平均水平；(2) 分布列不能表示 X 的波动程度注意：随机变量 X 只有发生和不发生两种情况才叫两点分布，且 X 的取值只能是 0 和 1.第 3 页 共 27 页P nNMC0nNMC1 nNmMC如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布【例题与变式】题型一 随机变量【例 1】判断正误：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个( )(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数” 为随机变量( )(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量( )(4)试验之前可以判断离散型
7、随机变量的所有值( )【例 2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)北京国际机场候机厅中 2016 年 5 月 1 日的旅客数量；(2)2016 年 5 月 1 日至 10 月 1 日期间所查酒驾的人数；(3)2016 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长【变式 1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为 64 cm3 的正
8、方体的棱长【例 3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由(1)某座大桥一天经过的车辆数 X；(2)某超市 5 月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29这一范围内变化，该水位站所测水位 .【变式 2】下列变量中属于离散型随机变量的有_(填序号)(1)在 2 017 张已编号的卡片( 从 1 号到 2 017 号)中任取 1 张，被取出的编号数为 X；(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数 X；(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔 50 m 有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将
9、电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字 8，所得的点数 X.第 4 页 共 27 页题型二 随机变量的可能取值及试验结果【例 1】口袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，现从中随机取出 3 个球，用 X 表示取出的最大号码，则 X 的所有可能取值有哪些？【例 2】（2017 春清河区月考）设 b，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数设随机变量 =|b-c|，求随机变量 的取值情况【变式】（2017 春大武口区期中）袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得 2 分，取到一个黑球的 1 分，现在从袋中随机摸出 4
10、 个球，列出所得分数 X 的所有可能.题型三 分布列及其性质的应用【例 1】设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3,4)，求：ia(1)P(X=1 或 X=2)；(2) .)27【例 2】（2017 春文昌月考）设随机变量 X 的分布列为 则 等于（ ,5432,1)(ikiXP)251(XP）A B C D15525115【例 3】已知数列 是等差数列，随机变量 的分布列如下表：naXX 1x23x45xPaaa求 .3a【变式 1】若离散型随机变量 X 的分布列为：X 0 1第 5 页 共 27 页P14aa23求常数 a【变式 2】（2017 春秦都区月考）设随机变
11、量 X 的分布列为 ，则 a 的值为（ ,321,)(iaiXP）A B C D381738271971927【变式 3】（2017 春武陵区月考）若离散型随机变量 X 的分布列为：X 0 1Pa216则实数 a 的值为_【例 4】设离散型随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P0.2 0.1 0.1 0.3 m求：(1)2X+1 的分布列；(2)|X-1|的分布列.【变式 4】(2017南宁二模) 设随机变量 X 的概率分布列如下表，则 P(|X-2|=1)=（ ）X 1 2 3 4P64m 1A. B. C. D.712 12 512 16题型四 求离散型随机变量的分布列【例 1
12、】口袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，现从中随机取出 3 个球，用 X 表示取出的最大号码，求 X 的分布列第 6 页 共 27 页【例 2】（2017 春清河区月考）设 b，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数(1)设 ，求 的概率；RxcbxA,02A(2 设随机变量 =|b-c|，求 的分布列【例 3】(2016天津卷节选)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A
13、发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列.【变式 1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数 的分布列【变式 2】某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件）0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 )，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后第 7 页 共 27 页检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列 .题型五 两点分布【例 1】(1
14、)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【例 2】在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分布列.【变式】设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 描述一次试验的成功次数，则 P(=0)等于（ ）A0 B C D13 12 23题型六 超几何分布【例 1】在一次购物抽奖活
15、动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张.(1)求顾客乙中奖的概率；(2)设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列第 8 页 共 27 页【例 2】老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格某同学只能背诵其中的 6 篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率. 【例 3】（2017 春大武口区期中）袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得 2
16、分，取到一个黑球的 1 分，现在从袋中随机摸出 4 个球，求：(1)列出所得分数 X 的分布列；(2)得分大于 6 分的概率【变式 1】(2017济南模拟)某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语；2 人只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问.(1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率；(2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列.第 9 页 共 27 页【变式 2】(2017昆明调研)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB30952012
17、，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/ 立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值(微克/立方米) 25，35 (35，45 (45，55 (55，65 (65，75 (75，85频数 3 1 1 1 1 3(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 X 表示抽到
18、PM2.5 监测数据超标的天数，求 X 的分布列.1.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X -1 0 1P 13 2-3q q2则 q 的值为( )A.1 B. C. D. 32 336 32 336 32 336第 10 页 共 27 页2.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X=0)等于( )A.0 B. C. D.12 13 233.中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为 ，则表示“放回 5 个红球”事件的是( )A. =4 B. =
19、5 C. =6 D. 54.从装有 3 个白球、4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、1 个红球的概率是( )A. B. C. D.435 635 1235 363435.随机变量 X 的分布列如下：X -1 0 1P a b c其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|=1)等于( )A. B. C. D.16 13 12 236.设离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 M若随机变量 Y=|X-2|，则 P(Y=2)=_.7.袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 X，则 P(X6)=_.8.(2017成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对 20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .25(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量 X 的分布列.
