1、1函数的单调性与最值【知识要点】1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2定义 当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间（3）判断函数单调性的方法根据定义； 根据图象； 利用已知函数的增减性； 利用导数；复合函数单调性判定方法。2函数
2、的最值前提 设函数 yf( x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M .(3)对于任意 xI，都有 f(x)M ；(4)存在 x0I，使得 f(x0)M .结论 M 为最大值 M 为最小值2求函数最值的方法：若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值；基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。【复习回顾】一次函数 具有下列性质：(0)ykxb(1)当 时，函数 y 随 x 的增大而增大0(2)当 时，函数
3、y 随 x 的增大而减小二次函数 yax 2bx c(a0)具有下列性质：(1)当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向上，对称轴为直线 x ；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；2b2ba(2)当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向下，对称轴为直线 x ；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小； 2b2ba提出问题:如图所示为一次函数 y=x，二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象 ,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?这些函数走势是什么？在什么范围上升
4、，在什么区间下降？如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？3定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x 2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数.几何意义：减函数的从左向右看, 图象是 的.例 如图是定义在区间5，5上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数 y=f(x)的单调区间是 -5,2),-2,1),1,3),3,5 .其中函数 y=f(x)在区间-5,2),1
5、,3)上是减函数，在区间-2,1), 3,5上是增函数.点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【典例精讲】题型一 函数单调性的判定与证明(1)单调性的证明函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设 x1，x 2 是该区间内的任意两个值，且 x1x 2；第二步：作差，即作差 f(x1)f(x 2)；第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定 f(x1)f(x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第五步：定论，
6、即根据单调性的定义作出结论其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式4利用单调性定义的等价形式证明：设 x1，x 2 m，n，x 1x2，那么(x1x 2)f(x1)f(x 2)0 0 f(x)在区间 m，n上是增函数；f(x1) f(x2)x1 x2(x1x 2)f(x1)f(x 2)0 0 f(x)在区间 m，n上是减函数f(x1) f(x2)x1 x2(2)复合函数 yf(g(x) 的单调性：g(x) f(x) f(g(x)增 增 增增 减 减减 增 减减 减 增复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内层函数 g(x)与外层函数 f(x)的单调性相同时
7、 yf( g(x)是增函数，单调性相反时 yf (g(x)是减函数(3)判断复合函数单调性的步骤：以复合函数 yf(g(x)为例可按下列步骤操作：将复合函数分解成基本初等函数：yf(t)，t g( x)；分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则 yf (g(x)为增函数；若为一增一减，则 yf(g(x )为减函数例 1 用定义法求证函数 在 R 为增函数3()f变式 1 用定义法求证函数 在 增函数()21fx(0,)5变式 2 证明：函数 在定义域上是减函数2()1fxx例 2 求函数 y 的单调区间x2
8、x 6题型二 图像法求函数的单调区间例 3 求出下列函数的单调区间：（1） ； 2()3fx（2） .1()f（3） ；342xf（4） .)(2f6变式 1 用图像法求下列函数的单调区间(1) 32()xf(2) 2|f(3) ()|1x变式 2 求函数 的单调区间和值域。532xy题型三 抽象函数的单调性例 4(1)已知函数 是减函数，则 与 的大小关系是 ()fx2(1)fx3(4f(2)已知函数 是减函数，解不等式()fx(21)(2)fxf(3)已知 是定义在(0,+) 上的减函数，若 成立，则()fx 22(1)(341)fafaa 的取值范围是_.7变式 函数 f(x)对任意的
9、a,b R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当 x0 时，f(x) 1.(1)求证：f(x)是 R 上的增函数；(2)若 f(4)=5，解不等式 f(3m2-m-2)3.题型四 已知函数的单调性求参数的取值范围例 5 已知函数 在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是 21,()axf变式 1 若 f(x)x 22( a1)x 4 是区间( ，4上的减函数，则实数 a 的取值范围是_ 变式 2 (1)画出已知函数 的图象；2()3fxx(2)证明函数 在区间(-,1上是增函数；(3)当函数 f(x)在区间(-,m上是增函数时，求实数 m 的取值范围.题型五 函数的最值8例 6
10、如图所示，是函数 的图象.观21,)()yxyxyfx、 、察这三个图象的共同特征.在函数 y=f(x)的图象上任取一点 A(x,y)，如图所示，x 的范围是函数的 ,y 的范围是函数的 。图 1-3-1-12怎样理解函数图象最高点的?设点 C 的坐标为(x 0,y0)，用数学符号解释：函数 y=f(x)的图象有最高点 C？函数最大值的定义？一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1)对于任意的 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)=M.那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值.函数最大值的定义中 即 ，这个不等式反映了函数 的()f0(
11、)fxy()fx函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？函数 最大值吗？为什么？点 是不是函数21,(,)yx(1,3)的最高点？9由这个问题你发现了什么值得注意的地方？类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.例 7 求函数 y= 在区间 上的最大值和最小值.12x6 ， 例 8 求函数 , 的最值。xy43,21变式 函数 y= 在2,3上的最小值为( )1xA.2 B. C. D.- 21312【课堂练习】1下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是( )A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.y=x2x2如果函数 f(x)=
12、x2+2(a-1)x+2 在区间(-,4 上是减函数，则实数 a 的取值范围是( )A.-3,+) B.(-,-3 C.(-,3 D.3,+)3.若一次函数 y=f(x)在区间 -1,2上的最小值为 1，最大值为 3，则函数 f(x)的解析式为_.4.设 x1，x 2 为 yf( x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：10(x1x 2)f(x1)f(x 2)0； (x1x 2)f(x1)f(x 2)0； 0.fx1 fx2x1 x2 fx1 fx2x1 x2其中能推出函数 yf( x)为增函数的命题为_.(填序号)5.(1)已知函数 在 上是增函数，则 的取值范围是 2()4fa3,)a(2)已知函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是 x6.用定义法求证函数 在 减函数21()fx(0,)【课外作业】1函数 yx 2 的单调减区间是( )A0，) B( ，0 C( ，0) D( ，)2函数 f(x)2x 2mx3，当 x2，)时，f(x)为增函数，当 x( ，2时，函数f(x)为减函数，则 m 等于( )A4 B8 C8 D无法确定3函数 f(x)在 R 上是增函数， 若 ab0，则有( )Af(a)f(b)f(a)f( b) Bf (a)f(b)f (a)f(b)Cf(a)f( b)f(a)f(b) Df (a)f(b)f (a)f( b)
