1、抽象代数基础 答解题习于 延 栋 编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月第一章 群 论1 代数运算1.设 , 上的乘法 的乘法表如下:,cbaeA”“ eabcabceacb证明: 适合结合律 .”“证明 设 为 中任意三个元素.为了证明 适合结合律,只需证明zyx,A”“.)()(zyx下面分两种情形来阐明上式成立.I. 中至少有一个等于 .zyx, e当 时, ;e)()(zyxz当 时, ;当 时, .zyxII. 都不等于 .e(I) .这时, . )()( zyxez(II) 两两不等.这时, .zyx, yx(III) 中有且仅有两个相等.当 时, 和 是 中的两个不同元素,令
2、表示 中其余的cbau,cba那个元素.于是, , ,从而, .zeyx)( zxy)( )()(zyx同理可知,当 或 时,都有 .z)(2.设 是集合 上一个适合结合律的代数运算.对于 中元素,归纳定义”“AA为: nia1, .11ai11rriri a证明:.mnkmjjni 111进而证明:在不改变元素顺序的前提下, 中元素的乘积与所加括号无关.A证明 当 时,根据定义,对于任意的正整数 ,等式成立.1mn假设当 ( )时,对于任意的正整数 ,等式成立.当 时,由于r 1rm适合结合律 ,我们有”“ mjjnnia11 11rjjnnia111rnrjjni 111rnrjjnni
3、aa.mkrkrnrni 111所以,对于任意的正整数 和 ,等式成立.考察 中任意 ( )个元素 :当 时,要使记号Anna,21 3变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我na21们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是等于 .i1事实上,当 或 时,无需加括号,我们的结论自然成立.当 时,由n2 3n于 适合结合律 ,我们的结论成立.假设当 ( )时我们的结论成立.考察”“ rn1的情形:不妨设最后一次运算是 ,其中 为 中前 (rn ba na,2 s)个元素的运算结果, 为 中后 个元素的运算结果.于是,根s1bn,21 s据归纳假
4、设, .sj1sk1所以最终的运算结果为 . nisnksj aab1113.设 是有理数集.对于任意的 ,令 ,证明: 是 上QQ,b2b ”“Q的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律.证明 众所周知,对于任意的 , .所以 是 上的,a2a一个代数运算.令 , , .由于0a1b2c,51)0()( 2,0从而, ,所以 不适合结合律.由于)(cb ”“,521cb,.3从而, .所以 不适合交换律.cb”“2 群的概念1.证明: 关于矩阵的加法构成一个群.ZdcbacG,证明 首先,众所周知, , , .由于矩阵的加法适合GBA结合律, 上的加法适合结合律.其次,令 ,则 ,并且
5、0O, .最后,对于任意的 ,令 ,AOGdcbadcbaA则 且 .所以 关于矩阵的加法构成一个群 .)(2.令 ,证明: 关于矩阵的乘法构成一10,10, G个群.证明 将 记作 ,并将 中其余三个矩阵分别记作 .于是, 上EGCBA,G的乘法表如下: E A B CE E A B CA A E C BB B C E AC C B A E由于矩阵的乘法适合结合律, 上的乘法适合结合律.从乘法表可知,G, , .XEGY所以 关于矩阵的乘法构成一个群.G3.在整数集 中,令 , .证明: 关于这样的乘法构成Z2baZ一个群.证明 对于任意的 ,我们有c,42)()2()( cbacbacba
6、c,从而 .这就是说,该乘法适合结合律.其次, ,并且对于任ba Z意的 ,我们有Z,222 aa.a)4()4()()4(所以 关于该乘法构成一个群.4.写出 的乘法表.3S解 , 的乘法表如下:)231(,),2(1),(3S)1()23()()()()21123)()3()()(12)3)()1()21()(31(23)(31()()325.设 是一个群,证明: 适合消去律.)(G”“证明 设 .若 ,则cbacab.ceace )()() 1111同理,若 ,则 .这就表明, 适合消去律.”“6.在 中,令5S, .45132f 2543g求 和 .gf,1解 我们有, , .3452
7、f 5214gf 45213f7.设 ,求 .)(1kia 1a解 我们有 .)i8.设 是任意一个置换,证明: .f )()()( 2121 kk ififfif 证明 事实上,易见, 是 中的 个不同的数字.由,(1if ,n直接计算可知,;1),()()( 1121 kjififif jjk.k其次,对于任意的 , 在 之,21kififni 121)(fifk下的像是 本身.所以 .i )()( 2121kif 9.设 是一个非空集合, 是 上的一个代数运算,若 适合结合律,则S”“S”“称 是一个半群(或者称 关于 构成一个半群 ).证明:整数集 关于乘法), Z构成一个半群,但不构
8、成一个群.证明 众所周知, 是非空集合,对于任意的 ,总有 ,并且整Zbaba数乘法适合结合律,所以 关于乘法构成一个半群.其次,令 .于是,对于任意1e的 ,总有Za.ea但是, ,并且不存在 ,使得 .所以 关于乘法不构成一个群.0Zbb0Z10.设 是一个非空集合, 是由 的所有子集构成的集合.则集合的并ASA是 上的一个代数运算.证明: 是一个半群.”“S),(证明 众所周知,对于任意的 ,总有SYX.)(Z这就是说, 上的代数运算 适合结合律,所以 是一个半群.”“,注 请同学们考虑如下问题:设 是一个非空集合 , 是由 的所有子集构ASA成的集合.定义 上的代数运算 (称为对称差)
9、如下:S, .XYX求证: 是一个交换群.),(11.令 .证明 关于矩阵的乘法构成一个半群.Z,dcbacSS证明 众所周知,对于任意的 ,总有CBA, .)()(这就是说,矩阵的乘法是 上的一个代数运算,并且适合结合律,所以 关于矩阵S S的乘法构成一个半群.12.设 是一个半群, 称为 的一个左(右)单位元,如果对于任意的)(SeS都有 ( ).对于 ,如果存在 使 ( ),则aaeaSbeab称 左(右)可逆的, 是 的一个左(右)逆元.假设 有左(右)单位元 且 中每b S个元素都有关于 的左(右)逆元.证明: 是一个群 .),(证明 设 是 中任意一个元素.任取 ,使得 .再任取
10、,使S ec得 .于是,我们有ecbcebacea)(且.b)(因此.abe所以.eae )()(由以上两式可知, 是单位元, 中每个元素 都有逆元 .所以 是一个群.Sb),(S对于 有左单位元 且 中每个元素都有关于 的左逆元的情形,请同学们S自己证明.13设 是一个群,证明:G, .11)(abG证明 对于任意的 ,我们有a,eaeb 111.b)()(所以, .11abG16.设 是一个群,证明: 是交换群的充要条件是GG, .2)(证明 必要性是显然的.现在假设 满足该条件.于是,对于任意的 ,Gba,我们有 ,即 .运用消去律(第 5 题)立即可得 .所以2)(baab是交换群.1
11、7设 是一个群.假设对于任意的 都有 ,证明: 是交换群.GGea2证明 我们有, .22)(beab由上题知, 是交换群.18.设 是非空集合, 是 上的一个代数运算且适合结合律 .”“(1)证明: 是一个群当且仅当对于任意的 ,方程 和)(GGa,bxa在 中都有解.bay(2)假设 是有限集,证明: 是一个群当且仅当 适合消去律.),( ”“证明 (1)当 是一个群时,显然,对于任意的 , 是方程)( b,x1的解, 1ay是方程 的解.x bay现在假设对于任意的 ,方程 , 在 中都有解.任取 ,考G,xayGGa察方程 .根据假设,方程 有解 .设 是 中任意一个元素,考a e察方
12、程 .根据假设,方程 有解 .于是,我们有bay bayGcy.baece )()(由于 的任意性,上式表明 是半群 的一个右单位元.再考察方程G,.根据假设,方程 有解 .由于 的任意性,这表明 中每ex xdG个元素关于右单位元 都有右逆元.所以 是一个群.e),(2)当 是一个群时,根据第 5 题, 适合消去律.现在假设)( ”“,并且 适合消去律.任取 ,考察方程,21na”“ ,21,nki.由于 适合左消去律,因此 必出现于乘法表的第 行中.这就意味kixa”“ kai着存在 ,使得 ,从而方程 在 中有解.同理,由于,jji kiaxG适合右消去律 ,方程 在 中有解.这样一来,
13、根据(1), 是一个”“ kyG)(群.19.证明命题 2.8 中的表示法在不计循环置换的顺序的意义下是唯一的. 注注 宜将这道题表述成“证明:在不计循环置换的顺序的意义下,在用命题2.8 中的证明中所说的方法将一个置换 表示成两两不相交的循环置换的乘nSf积时,表达式是唯一的”.证明 显然,当 是单位置换时,表达式就是 .不妨设 不是单位置换,f ff和 都是在用命题 2.8 中的证明中所说的方法将置换uff21vg21表示成两两不相交的循环置换的乘积的表达式.于是, 两两不nS uff,21相交, 两两不相交 ,而且它们的阶都大于或等于 .考察任意的 (vg,21 l): l设 .由 和
14、可知,存在 ( ),)(21slifuff21vg21lv使得, .)(21 tljjg ,21tjji不妨设 .由 和 可知, 并且1ji uff21 vg21s, ,kji从而, .由于 两两不相交, 两两不相交,并且不计llgfuff,21 vg21循环置换的顺序,不妨设, .llgf ,u假设 ,则vu,uf21由此可见,当 时, 必与 中某一个相交.这与我们的假设矛盾.所vll ,以 .这就表明, 和 是同一个表达式.vvgf21 vgf213 子 群1.设 是数域 上的 级一般线性群, 是 的由全体 阶可逆的)(PnGLnHGn对角矩阵组成的子集,证明: 是 的子群.HG证明 众所
15、周知, 非空,并且有, ,AB1B其中 表示矩阵 与矩阵 的乘积, 表示矩阵 的逆矩阵.所以 是 的子ABA群.2.设 是一个群, 是 的非空子集,证明: 是 的子群的充分必要条件GHGHG是, .ab1b证明 由定理 3.3 可知,当 是 的子群时, 满足条件.假设 满足条件.对于任意的 ,我们有.He1因为 满足条件,由 可知, , .因为Hba,ea1Heb1满足条件, 由 可知 .总而言之 对于任意的 ,我们11)( a,有 .根据定理 3.3, 是 的子群.ab1 G3.设 是群 的子群, ,证明: 也是 的子群(称|11hG为 的一个共轭子群).证明 显然, 是 的非空子集.设 .
16、于是,存在 ,1aH121,aHbHh21,使得 , .因此11hb2211)(hab.112 h所以 是 的子群.1aG4.设 是交换群, 为整数,令 ,证明: 是 的子群.0n|eaGHnHG证明 显然 .若 ,则 ,从而, .Hebabn11)()( ab1由此可见, 是 的子群.5.设 是交换群,证明: 的所有阶为有限的元素构成的集合是 的子群.证明 令 表示 的所有阶为有限的元素构成的集合.显然 .设Ge,其中 , .于是,ba,ma|nb|,ebamnm)()(1从而, .由此可见, 是 的子群.H16.设 是群, ,证明: 与 具有相同的阶.G1证明 显然,对于任意的正整数 ,
17、,从而,n1)(an.ebebaen 1由此可见, 与 具有相同的阶.a1b7.设 是循环置换,求 的阶.)(2kia解 当 时,显然, , .)(k|当 时,我们有1k, ,1jia)(ji 1,2kj,)(k从而, .ka|8.设群 的除单位元外的每个元素的阶都为 ,证明: 是交换群.GG证明 参看2 习题第 17 题.9.设 是群, ,证明: 与 具有相同的阶.b,ab证明 注意到 ,根据第 6 题的结论, 与 具有相同的阶.11)(a ab10.设 是群, , .假设 的阶与 的阶互素,证明:,.|ab证明 令 , , .由于mnb|k|,ebamnnm)()(根据命题 3.12 可以
18、断言 .其次,我们有k|,knknknn ae从而,根据命题 3.12, .因为 与 互素,由 可知 .同理可知, .由| | kn|于 与 互素,因此 .所以 ,即 .mnk|ba11.设 是整数集关于加法构成的群, 是 的子群,证明:存在 使ZHZH.H证明 众所周知, .当 时,显然 .现在假设 .于是,存0000在 使 .这时 ,并且,在 和 中,一个是正数,另一个是负数.令mm表示 中的最小正数.显然,我们有n, .HqnZ现在考察任意的 :众所周知,存在整数 和 ,使得r, .rn0于是, .由于令 是 中的最小正数,必有 ,从而, .上述Hqnmr 0qnm表明 .所以 .|Zn12.设 是一个群, , 都是 的子群.假设 不包含于 且 不包含G12G1H2H于 ,证明: 不是 的子群.121证明 由于 不包含于 且 不包含于 ,是 的子群,因此存在121G且存在 .于是, .假设 ,则21Ha2Hb21,baab,矛盾.因此 .同理, .这样一来, .所以1)(b 121
