1、1高考一轮专练抽象函数1. 已知函数 y = f (x)(xR ， x0)对任意的非零实数 1x， 2，恒有 f( 1x2)=f( 1)+f( 2x),试判断 f(x)的奇偶性。2 已知定义在-2 ，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若 f (1-m)0.（1 ）求 ()f;（2）求和 (1)2(3).()fff*)N;（3 ）判断函数 x的单调性，并证明 .14函数 ()f的定义域为 R，并满足以下条件：对任意 xR,有 ()fx0；对任意 ,xyR,有yfx； 1()3f.（1）求 (0)f的值 ;（2）求证: fx在 R 上是单调减函数 ;（3 ）若 abc且 ac，求证：
2、 ()2()facfb.15已知函数 ()fx的定义域为 R,对任意实数 ,mn都有 ()()ffmn,且当 0x时,0()1f.（1 ）证明: ,0且 时 f()1;（2 ）证明: fx在 R 上单调递减;（3 ）设 A= 22(yyf,B= ,)()1,yaa,若 AB=,试确定a的取值范围.316已知函数 ()fx是定义在 R 上的增函数,设 F()()xfax.（1 ）用函数单调性的定义证明: ()x是 R 上的增函数;（2 ）证明:函数 y= F的图象关于点( ,02a成中心对称图形 .17已知函数 ()fx是定义域为 R 的奇函数，且它的图象关于直线 1x对称.（1 ）求 0的值；
3、（2）证明： 函数 ()fx是周期函数;（3 ）若 1,f求当 时，函数 ()f的解析式，并画出满足条件的函数 ()fx至少一个周期的图象。18函数 ()fx对于 x0 有意义，且满足条件 (2)1,()(),ffxyfyfx是 减函数。（1 ）证明： 10；（2）若 ()3fx成立，求 x 的取值范围。19设函数 ()fx在 ,)上满足 (2)()fxf， (7)()fxf，且在闭区间0 ， 7上，只有 1(30f（1 ）试判断函数 y的奇偶性；（2 ）试求方程 ()f=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论20. 已知函数 f（ x）对任意实数 x， y，均有 f（
4、x y） f（ x） f（ y），且当 x0 时， f（ x）0， f（1）2，求 f（ x）在区间2，1上的值域。421. 已知函数 f（ x）对任意 ，满足条件 f（ x） f（ y）2 + f（ x y），且当 x0 时，f（ x）2， f（3）5，求不等式 的解。22. 是否存在函数 f（ x），使下列三个条件： f（ x）0， x N； f（2）4。同时成立？若存在，求出 f（ x）的解析式，如不存在，说明理由。答案：1. 解：令 1x= -1， 2=x，得 f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求 f (-1)的值，令 1x=1， 2=-1，则 f(-1)=f(1)+f(
5、-1),即 f(1)=0,再令 1= 2=-1得 f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f (-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得 f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，-m ， m-2,2，但是 1- m 和 m 分别在-2 ，0 和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则 f (x)有性质 f（ -x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)0, 令 0,2y得, 2(0)(0)1fff(2)任取任取 1212,x且 ,则令 13px,故 12p函数 ()f的定义域为 R
6、,并满足以下条件:对任意 R,有 ()fx0;对任意 ,xyR,有(yfx; ()3f 121212)()()3ppfpfff0 fx8函数 ()fx是 R 上的单调减函数 .(3) 由（1 ） （2）知， ()01fb， ()fb (),()a cbfaffcf ()()()2()acacbbbfcfff，而 2acb 22ab ()()fcf15. (1)证明 :令 0,1mn,则 ()(01)ff当 x时, ()fx,故 , ,当 0x时, ()1fx当 0时, ,则 )()()()fxfffff(2)证明: 任取 1212,xR且 ,则2 1211()()()()fffxffxffx2
7、11()()fxf 10x,00 Fx是 R 上的增函数 ;(2)设 0(,)My为函数 = ()Fx的图象上任一点,则点 0(,)Mxy关于点( ,0)2a的对称点为 N( ,mn),则 00,22xmna,故 00,any把 0代入 F()()xfx得, 0000()()()(faxfaxffx=-0y函数 = ()x的图象关于点( ,0)2a成中心对称图形.17.(1)解: f为 R上的奇函数, 对任意 ,xR都有 ()(fxf,令 0,x则(0)(f =0(2)证明: ()fx为 R上的奇函数, 对任意 ,xR都有 ()(fxf, ()f的图象关于直线 1对称, 对任意 都有 1),
8、用 1x代 得, (2)()()(fxfxffx 2()f ,即 4)f x是周期函数,4 是其周期.(3)当 1,3时， (1)23xf当 4kx时， (4fk， Z10当 413kxk时， ()24fxk， Z (41() ,23)f zR图象如下：y-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)证明：令 1xy，则 ()(1)ff，故 (1)0f（2 ） ()f，令 2，则 2f， (4)2f 3x(3)(43)(314fxfxfxx ()f成立的 x 的取值范围是 1。19解 :（1 ）由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 )(xfy的对称轴为 72x和 ,从而知函数 )(xfy不是奇函数,由 )14()()14()7()(2 xfxfxfxfff 10x,从而知函数 y的周期为 0T又 )()(3ff而 ,故函数 )(xf是非奇非偶函数;(2)由 )14()()14()7()(2 xfxfffxff )10(xff又 0973(1,03
