1、自考高数线性代数课堂笔记第一章 行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。1.1 行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号 叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为： 。注意：在线性代数中，符号 不是绝对值。例如 ，且 ；（2）定义：符号 叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。 （主对角线减
2、次对角线的乘积）例如 （3）符号 叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如 =0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1）=159+267+348-357-168-249=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式， （3）叫下三
3、角形行列式，由（2） （3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是 0，例如例 1 a 为何值时，答疑编号 10010101：针对该题提问 解 因为 所以 8-3a=0， 时 例 2 当 x 取何值 时， 答疑编号 10010102：针对该题提问 解：解得 0x9所以当 0x9 时，所给行列式大于 0。（二）n 阶行列式符号：它由 n 行、n 列元素（共 个元素）组成，称之为 n 阶行列式。其中，每一个数 称为行列式的一个元素，它的前一个下标 i 称为行标，它表示这个数 在第 i 行上；后一个下标 j 称为列标， 它表示这个数 在第 j 列上。所以 在行列式
4、的第 i 行和第 j 列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n 阶行列式 通常也简记作 。n 阶行列式 也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。（1）在 n 阶行列式 中，划去它的第 i 行和第 j 列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1) 阶行列式叫 元素 的余子式，记作例如，在三阶行列式中， 的余子式 表示将三阶行列式 划去第 1 行和第 1 列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以相似地， 的余子式 表示将三阶行列式 划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以例 1 若 ，求：（1）答疑编号 10010103：针对该题提问
5、（2）答疑编号 10010104：针对该题提问 （3）答疑编号 10010105：针对该题提问 （4）答疑编号 10010106：针对该题提问 解（1）（2）（3）（4）（2）符号 叫元素 的代数余子式定义： （系数其实是个正负符号）例 2 求例 1 中 的代数余子式（1）答疑编号 10010107：针对该题提问 （2）答疑编号 10010108：针对该题提问 （3）答疑编号 10010109：针对该题提问 （4）答疑编号 10010110：针对该题提问 解：（1）（2）（3）（4）（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）例 3 若计算 （以上两组数相等）答疑编号 10010111
6、：针对该题提问 解：由于与例 3 的结果比较，发现这一结果说明：三阶行列式 等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到 n 阶行列式作为定义。定义：n 阶行列式即规定 n 阶行列式 的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为所以有特别情形例 4 计算下列行列式（1）答疑编号 10010112：针对该题提问 由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积（2）答疑编号 10010113：针对该题提问 可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积一般地可推得即任意 n 阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积同理有1.2 行列式按
7、行（列）展开在 1.1 节讲 n 阶行列式的展开时，是把 按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其值。实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。现在给出下面的重要定理，其证明从略。定理 1.2.1（行列式展开定理）n 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即（i=1,2,n） （1.8）或 （j=1,2,n） （1.9）其中， 是元素 在 D 中的代数余子式。定理 1.2.1（行列式展开定理）n 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即（i=1,2,n） （1.8）或 （j=1,2,n） （1.
8、9）其中， 是元素 在 D 中的代数余子式。（1.8）式称为 D 按第 i 行的展开式， （1.9）式称为 D 按第 j 列的展开式，这里i,j=1,2,上述展开定理也可以表示成 （i=1,2,n）（j=1,2,n）这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素 和它前面的符号 以及它后面的余子式 ，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素 （特别是 ）抄写下来。根据定理 1.2.1 知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。特别情形（1）（2）例 5 计算答疑编号 10010201：针对该题提问 解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积例 5 的结果可推广为我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面） 。例 6 计算答疑编号 10010202：针对该题提问 解：由于第 2 行含 0 最多，所以应按第二行展开例 7 计算答疑编号 10010203：针对该题提问 解：将 按第 6 行展开得
