1、经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点 ,一个焦点为 且被直线 截得的弦 AB 的中点横坐标为 的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位） ，选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定 、 （定量）.解析：方法一：因为有焦点为 ，所以设椭圆方程为 ， ,由 ，消去 得 ，所以 解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程 , , ,因为弦 AB 中点 ,所以 ，由 得 ,（点差法）所以 又 故椭圆标准方程为 .举一反三：【变式】已知椭圆在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为 .求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标
2、准方程为 ( )，并有 ，解之得 ， , 椭圆标准方程为2根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线 有共同的渐近线，且过点 ；（2）与双曲线 有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得 ，解得 ，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为 （ ） ，将点 代入得 ，所以双曲线方程为 即（2）解法一：设双曲线方程为 =1由题意易求又双曲线过点 ，又 ， ，故所求双曲线的方程为 .解法二：设双曲线方程为 ，将点 代入得 ，所以双曲线方程为 .总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位） ，选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定 、 .在第（1）
3、小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求 、 ，在解题过程中应熟悉各元素（ 、 、 、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程 ，可设双曲线方程为 （）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为 ，且双曲线过点 .（2）虚轴长与实轴长的比为 ，焦距为 10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是 ,故设双曲线方程为 ，点 在双曲线上， ，解得 ，所求双曲线方程为 .（2）由已知设 ,
4、 ,则 ( )依题意 ，解得 .双曲线方程为 或 .3求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点 ； （2）焦点在直线 ： 上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）点 在第二象限，抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为 （ ） ，过点 ， ， ， ，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为 （ ） ，过点 ， ， ， ，所求的抛物线的方程为 或 ，对应的准线方程分别是 ， .（2）令 得 ，令 得 ，抛物线的焦点为 或
5、当焦点为 时， ， ，此时抛物线方程 ；焦点为 时， ， ，此时抛物线方程为所求的抛物线的方程为 或 ，对应的准线方程分别是 ， .总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数 P.举一反三：【变式 1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为 F(4,0)；（2）准线为 ；（3）焦点到原点的距离为 1；（4）过点（1，2） ；（5）焦点在直线 x-3y+6=0 上.【答案】（1）所求抛物线的方程为 y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程
6、为 x2=2y；（3）所求抛物线的方程 y2=4x 或 x2=4y；（4）所求抛物线的方程为 或 ；（5）所求抛物线的标准方程为 y2=24x 或 x2=8y.【变式 2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴负半轴上，过顶点且倾角为 的弦长为 ，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为 ( )，又弦所在直线方程为由 ，解得两交点坐标 , ，解得 .抛物线方程为 .类型二：圆锥曲线的焦点三角形4已知 、 是椭圆 （ ）的两焦点，P 是椭圆上一点，且 ，求 的面积. 思路点拨：如图求 的面积应利用 ，即.关键是求 .由椭圆第一定义有 ,由余弦定理有，易求之.解析：设 , , 依题意有(1) 2-(2)
7、得 ，即 . .举一反三：【变式 1】设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若，则 的面积为（ ）A B C D【答案】依据双曲线的定义有 ，由 得 、 ，又 ，则 ，即 ，所以 ，故选 A.【变式 2】已知双曲线实轴长 6，过左焦点 的弦交左半支于 、 两点，且，设右焦点 ，求 的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ， ，两式左、右分别相加得( .即 .故 的周长 .【变式 3】已知椭圆的焦点是 ,直线 是椭圆的一条准线. 求椭圆的方程； 设点 P 在椭圆上,且 ,求 .【答案】 . 设则 ，又 .【变式 4】已知双曲线的方程是 .（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（
8、2）设 和 是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，求的大小【答案】（1）由 得 ， ， ， .焦点 、 ，离心率 ，渐近线方程为 .（2） ，【变式 5】中心在原点，焦点在 x 轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点 和 ，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比 .（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若 为这两曲线的一个交点，求 的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为 ( )，双曲线方程 ，则 ，解得 , , .故所求椭圆方程为 ，双曲线方程为 .（2）由对称性不妨设交点 在第一象限.设 、 .由椭圆、双曲线的定义有:解得 由余弦定理有 .类型三：离心率5已知椭圆上的点 和左焦点 ，
9、椭圆的右顶点 和上顶点 ，当 ，（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率 . 思路点拨：因为 ，所以本题应建立 、 的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为 （ ） ， ，则 ，即 . ， ，即 ， .又 ， .总结升华：求椭圆的离心率，即求 的比值，则可由如下方法求 .（1）可直接求出 、 ；（2）在不好直接求出 、 的情况下，找到一个关于 、 的齐次等式或 、 用同一个量表示；（3）若求 的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式 1】如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点， 和是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D
