1、 1 / 30圆幂定理STEP 1:进门考理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。2. 垂径定理典型例题的回顾检测。3. 分析学生圆部分的薄弱环节。（1）例题复习。1. （2015夏津县一模）一副量角器与一块含 30锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点 C 落在量角器的直径 MN 上，顶点 A，B 恰好都落在量角器的圆弧上，且 ABMN若 AB=8cm，则量角器的直径 MN= cm【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形【分析】作 CDAB 于点 D，取圆心 O，连接 OA，作 OEAB 于点 E，首先求得 CD 的长，即 OE 的长，在直角AOE 中，利用勾
2、股定理求得半径 OA 的长，则 MN 即可求解【解答】解：作 CDAB 于点 D，取圆心 O，连接 OA，作 OEAB 于点 E在直角ABC 中，A=30，则 BC= AB=4cm， 在直角BCD 中，B=90 A=60，CD=BCsinB=4 =2 （cm）， OE=CD=2 ，在AOE 中， AE= AB=4cm，则 OA= = =2 （cm）， 则 MN=2OA=4 （cm） 故答案是：42 / 30【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形3 / 302. （2017阿坝州）如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好
3、经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（ ）A2cm B cm C2 cm D2 cm【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）【分析】通过作辅助线，过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长【解答】解：过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D，连接 OA，OA=2OD=2cm， AD= = = （ cm），ODAB， AB=2AD=2 cm 故选：D【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键3. （2014泸州）如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心坐标是（3，a
4、）（a3），半径为 3，函数 y=x 的图象被P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a 的值是（ ）4 / 30A4 B C D【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ ：勾股定理【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题【分析】PC x 轴于 C，交 AB 于 D，作 PEAB 于 E，连结 PB，由于 OC=3，PC=a ，易得 D 点坐标为（3，3），则 OCD 为等腰直角三角形，PED 也为等腰直角三角形由PEAB，根据垂径定理得 AE=BE= AB=2 ，在 RtPBE 中，利用勾股定理可计算出PE=1，则 PD= PE= ，所以 a=3+ 【解答】解：作 PCx 轴于
5、 C，交 AB 于 D，作 PEAB 于 E，连结 PB，如图，P 的圆心坐标是（3，a）， OC=3，PC=a，把 x=3 代入 y=x 得 y=3， D 点坐标为（3，3）， CD=3，OCD 为等腰直角三角形， PED 也为等腰直角三角形，PEAB ， AE=BE= AB= 4 =2 ， 在 Rt PBE 中，PB=3，PE= ， PD= PE= ， a=3+ 故选：B【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条5 / 30弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质4. （2013内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点A（13，0），直
6、线 y=kx3k+4 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 【考点】FI：一次函数综合题【专题】16 ：压轴题【分析】根据直线 y=kx3k+4 必过点 D（3，4），求出最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出 OD 的长，再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0），求出 OB 的长，再利用勾股定理求出 BD，即可得出答案【解答】解：直线 y=kx3k+4=k（x3）+4， k（x 3）=y 4，k 有无数个值， x3=0，y4=0，解得 x=3，y=4，直线必过点 D（3，4）， 最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，点 D 的坐标是（3，
7、4）， OD=5，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0）， 圆的半径为 13，OB=13， BD=12， BC 的长的最小值为 24； 故答案为：24【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出 BC 最短时的位置6 / 30STEP 2:新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。1、相交弦定理相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分
8、成的两段的积相等）几何语言：若弦 AB、CD 交于点 P，则 PAPB=PCPD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言：若 AB 是直径，CD 垂直 AB 于点 P，则 PC2=PAPB（相交弦定理推论） 基本题型：【例 1】 （2014 秋江阴市期中）如图，O 的弦 AB、CD 相交于点 P，若AP=3， BP=4，CP=2，则 CD 长为（ ）7 / 30A6 B12 C8 D不能确定【考点】M7：相交弦定理【专题】11 ：计算题【分析】由相交线定理可得出 APBP=CPDP，再根据 AP=3，BP=4 ，CP=2 ，可得出
9、 PD 的长，从而得出 CD 即可【解答】解：APBP=CPDP，PD= ，AP=3，BP=4，CP=2，PD=6，CD=PC+PD=2+6=8 故选 C【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等【练习 1】 （2015 南长区一模）如图，矩形 ABCD 为O 的内接四边形，AB=2，BC=3，点 E 为 BC 上一点，且 BE=1，延长 AE 交O 于点 F，则线段 AF 的长为（ ）A B5 C +1 D8 / 30【考点】M7：相交弦定理【分析】由矩形的性质和勾股定理求出 AE，再由相交弦定理求出 EF，即可得出 AF 的长【解答】解：四边形 ABCD 是
10、矩形，B=90，AE= = = ，BC=3，BE=1，CE=2，由相交弦定理得：AEEF=BECE，EF= = ，AF=AE+EF= ；故选：A【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键 综合题型【例 2】 （2004福州）如图，AB 是O 的直径，M 是O 上一点，MNAB，垂足为 NP 、 Q 分别是 、 上一点（不与端点重合），如果MNP=MNQ，下面结论： 1= 2；P+Q=180；Q=PMN；PM=QM ；MN 2=PNQN其中正确的是（ ）A B C D9 / 30【考点】M7：相交弦定理；M2：垂径定理；M
11、4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质【专题】16 ：压轴题【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案【解答】解：延长 MN 交圆于点 W，延长 QN 交圆于点 E，延长 PN 交圆于点 F，连接PE，QFPNM=QNM，MNAB，1=2（故正确），2 与ANE 是对顶角，1=ANE，AB 是直径，可得 PN=EN，同理 NQ=NF，点 N 是 MW 的中点，MNNW=MN 2=PNNF=ENNQ=PNQN（故正确），MN：NQ=PN：MN，PNM=QNM，NPM NMQ，Q= PMN（故正确）故选 B【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形
12、的判定和性质，垂径定理求解 与代数结合的综合题【例 3】 （2016 中山市模拟）如图，正方形 ABCD 内接于O ，点 P 在劣弧10 / 30AB 上，连接 DP，交 AC 于点 Q若 QP=QO，则 的值为（ ）A B C D【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理【专题】11 ：计算题【分析】设O 的半径为 r，QO=m，则 QP=m，QC=r+m，QA=r m利用相交弦定理，求出 m 与 r 的关系，即用 r 表示出 m，即可表示出所求比值【解答】解：如图，设O 的半径为 r，QO=m，则 QP=m，QC=r+m，QA=rm在O 中，根据相交弦定理，得 QAQC=QPQD即（r m）（r+m）=mQD，所以 QD= 连接 DO，由勾股定理，得 QD2=DO2+QO2，即 ，解得所以，故选 D
