1、1概率论 习题四 答案1.设随机变量 X 的分布律为X 1 0 1 2P 1/8 1/2 1/8 1/4求 E（X） ，E（ X2） ，E（2X+3）.【解】(1) ()2;884(2) 2221150(3) (3)()3EX2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为X 0 1 2 3 4 5P5901C.8340951C.331095C.721095C.71095C105故 ().4.2.34EX051,20()()iiiDxP22 2.51.83(0.51).340(5.0
2、1)433.设随机变量 X 的分布律为X 1 0 1P p1 p2 p3且已知 E（X ）=0.1,E(X 2)=0.9,求 .3,【解】因 ,123p又 ,1231()00.pp:2 239EX由联立解得 123.4,.,.524.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白球的概率是多少？【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则 0()|NkPPAk:全 概 率 公 式0011().NkkXXnEN:5.设随机变量 X 的概率密度为f（x ）= .,0,21,他x求 E（X） ，D（ X）.【解】 1201()()d()dxfxx1332
3、01.12223017()()d()d6EXxfxx故 .6D6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y ） =11，E（Z）=8 ，求下列随机变量的数学期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ4X.【解】(1) (231)2()3(1E54.(2) ()YZEX,()Z:因 独 立18456.7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X 2Y） ，D（2X3Y）.【解】(1) ()()2(32.(2) 41962.38.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x ，y）= .,0,1他xyxk试确定常数 k
4、，并求 E（XY ）.【解】因 故 k=210(,)dd,2xfk.10(,)d205xXYyf y 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2,01,();Xxf其 它(5)e,().yYf其 它求 .(E【解】方法一：先求 与 的均值Y102()d,3Xx:5(5)500eede516.zyyzzEY 令由 与 的独立性，得 2()()4.3EXY:方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 与 独立，故联合密度为Y(5)e,01,5(,)(),yXYxxyfxyf其 他于是 11(5)2(5)50052()2eded64.3y yEYxx :10.设随机变量 X，Y 的概率密度
5、分别为= =()fx;,2x()Yfy.0,4y求（1） ;（2） .E2(3EX【解】 -200()()dedeedxxxXxf:201e.401()()ey.YEyf2222dd.8:4从而(1) 13()().24EXYEY(2) 2 153(811.设随机变量 X 的概率密度为f（x ）= .0,2xcke求（1） 系数 ;（2） ;（3） .c()E()DX【解】(1) 由 得 .220()ded1kxcfx2k(2) 0()ekxX:220ed.kx(3) 2222201()()e.kxEf d :故 22214.DXEX12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.
6、安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 ，求 和X()E.()X【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知90.75,P 3910.24,PX32.41,11.5于是，得到 X 的概率分布表如下：X 0 1 2 3P 0.750 0.204 0.041 0.005由此可得 ().75.204.30.5.1E2 222201143()(.(.).DXEX13.一工厂生产某种设备的寿命 （以年计）服从指数分布，概率密度为541e,0,().xf为确保消
7、费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利 只有两个值：100 元和200 元Y/41/4110edxPYX/2.故 (元).1/41/41/4()e(20)e)3023.64E14.设 是相互独立的随机变量，且有12,nX,记 ，2(),(),1i iDXin 1niiX.221()niiS（1） 验证 =， = ；)(XE)(Dn2（2） 验证 ；221()niiSX（3） 验证 .2)E【证】(1) 111()().nnni i ii iiXEE
8、Xu :2 211 1()()nn ni i ii i iDDDX 之 间 相 互 独 立2.n:(2) 因为 2 2211 11()()nn nni i ii ii i i iXXXX2 21 1n ni ii i:6故 .221()niiSX(3) 因为 ,故2),iiEuD222()().iiiEXDEXu同理因为 ,故 .(,()Xn2un从而 2 22 21 1()()()()n ni ii iESEX 22122().niiEXunu:15.对随机变量 和 ，已知 ， ， ,XY()DX()3Y(,)1CovXY计算： .(321,4Cov【解】 3)()10(,)8(D232(因
9、常数与任一随机变量独立，故 ,其余类似).(,)(,)0CovXvY16.设二维随机变量 的概率密度为(,)XY21,1,(,)0.xyfxy其 它试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】设 .2(,)|1Dxy21(,)ddxyExfy210=cos0.r:同理 E(Y)=0. （注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到 0）7而 Cov(,)()(),dXYxEyYfxy:,2 2101dsinco0xyrr由此得 ,故 X 与 Y 不相关.0XY下面讨论独立性，当 时， 1x212()1.xXfdyx当 时， .1y221()yYfd显然 ,故
10、X 和 Y 不是相互独立的.Xfxfx:17.设随机变量 的分布律为(,)1 0 11011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的分布律，其分布律如下表：X -1 0 1P 382Y -1 0 1PXY -1 0 1P 284由期望定义易得 = = =0.()EXY()从而 = ,再由相关系数性质知 =0,()Yxy即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的.又 311,18PP:XY8从而 X 与
11、 Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0） ， （0，1） ， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 ， .(,)Covxy【解】如图，S D= ，故（X，Y）的概率密度为12题 18 图2,(),(,)0xyDfxy其 他 .()(,)dDEXf1012d3x:22()(,)xfy1206xy从而222()(.6318XEX同理 1,.38YD而 101()(,)d2d2d.xDxyfxyy所以.Cov(,)()()1236XYEXY:从而 ov(,)18XYD19.设（X，Y）的概率密度为f（x ，y ）=1sin(),0,22.xyxy,其 他求协方差
12、和相关系数 .(,)CovXYxy9【解】 /2/01()(,)dsin()d.4EXxfyxxy:2201sin.8y:从而 22()(.16DXEX同理 2(),().4YD又 /2/0 dsin()d1,2EXxyxy故 4Cov(,)()()1.4XYY:2224(,)()816.83316XYDY:20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为 ，试求 Z1=X2Y 和 Z2=2XY 的相4关系数.【解】由已知条件得：D(X)=1,D( Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而 12)(4()Cov(,)1413,( 4ZDX1Cov,)ov(2,)Y)4ov(,(,)2ov(,)(5C
13、2)154.XYDD故 1212(, 3.6)3ZZ:21.对于两个随机变量 V，W，若 E（V 2） ，E（W 2）存在，证明：E（VW） 2E（V 2）E（W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（CauchySchwarz）不等式.【证】考虑实变量 的二次函数t222()()()()gttt10因为对于一切 ，有 ，所以 ，从而二次方程 t2()0VtW()0gt()0gt或者没有实根，或者只有重根，故其判别式 0，即 22()4()EEV:故 2()22.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 =1/5 的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便
14、关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间 的分布函数 . Y()Fy【解】由题设可知：设备开机后无故障工作的时间 ，其概率密度为1()5E:15,0()xef根据题意 ，所以 的分布函数为min,2YXY()i,FyPy当 时， ；0y0X当 时， ；211550()min,2xyyyyPede当 时， ；yi,1FP于是 的分布函数为： 。Y150,(),2yye23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品.从甲箱中任取 3 件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数 Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】 （1） Z 的可能取值为 0，1，2，3，Z 的概率分布为, 36CkP:0,123.即Z=k 0 1 2 3Pk 129010
