1、曾谨言量子力学题库一简述题：1. （1）试述 Wien 公式、 Rayleigh-Jeans 公式和 Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以 m 为单位）及可见光的波长范围（以 为单位）3. （1）试用 Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述 Bohr 的量子理论5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件6. （1）试述 de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的
2、条件10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为 ，写出粒子在球壳 中被测到的几率以及),(r ),(dr在 方向的立体角元 中找到粒子的几率。),(dsin11.（2）什么是定态？它有哪些特征？12.（2） 是否定态？为什么？)(x13.（2）设 ，试写成其几率密度和几率流密度ikre114.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。15.（3）简述和解释隧道效应16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系18.（4）简述力学量算符的性质19.（4）试述力学量完全集的概念20.（4）试讨论：若两个厄米算符对
3、易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？21.（4）若算符 、 均与算符 对易，即 ， 、 、 是否可同时取得确定ABC 0,CBAABC值？为什么？并举例说明。22.（4）对于力学量 A 与 B，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子 方向的动量 和 方向的角动量 是否为可同时有确定值的力学量？为什么？xxpxL24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式25.（4）简述幺正变换的性质26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示27.（4）粒子处在 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态21)(xVSchrdinger
4、方程。28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。29.（4）如果 均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？CBA,a) b) b) 321A)(AB)(21ABi30.（5）试述守恒量完全集的概念31.（5）全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？32.（5）试述守恒量的概念及其性质33.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？34.（5）电子在均匀电场 中运动，哈密顿量为 。试判断),0(E zempH2各量中哪些是守恒量，并给出理由。zyxp,35.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？36.（6）中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确
5、定值37.（6）写出中心力场中的粒子的所有守恒量38.（6）试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较39.（6）二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同，并给出二维、三维各向同性谐振子能级简并度。40.（6） 氢原子体系处于状态 ，给出 和),()23),(21),( 1,2,1,3 YrRYrRr 2L可能取值及取值几率，并说明该状态是否是定态？为什么？zL41（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为 ，试列举出几种)(2)(2 rVLrH该量子体系力学量完全集的选取方案。42.（7）什么是正常 Zeeman 效应？写成与其相应的哈密顿量，并指出
6、系统的守恒量有哪些。43.（8）试给出电子具有自旋的实验依据44.（8）写出 表象中 、 和 的本征值与本征态矢zxyz45.（8）试述旋量波函数的概念及物理意义46.（8）以 和 分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数） 。47.（8）若| 和| 是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋轨道耦合项） ，试给出| 和| 态的守恒量完全集48.（10）若在 表象中， ， 与 的矩阵分别为0HH00， 2501.,10016413是否可以将 看作微扰，从而利用微扰理论求解 的本征值与本征态？为什么?H H4
7、9.（11）利用 Einstein 自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。50.（11）是否能用可见光产生 1 阿秒( s) 的激光短脉冲，利用能量 时间测不准关系说明原因。18051.（11）试给出跃迁的 Fermi 黄金规则（golden rule）公式，并说明式中各个因子的含义。52.（8）在质心坐标系中，设入射粒子的散射振幅为 ，写出靶粒子的散射振幅，并分别写出全)(f同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。二、判断正误题（请说明理由）1. （2）由波函数可以确定微观粒子的轨道2. （2）波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的3. （2）平面波表示具有确定能
8、量的自由粒子，故可用来描述真实粒子4. （2）因为波包随着时间的推移要在空间扩散，故真实粒子不能用波包描述5. （2）正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系6. （2）测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准7. （2）设一体系的哈密顿 与时间 无关，则体系一定处于定态Ht8. （2）不同定态的线性叠加还是定态9. （3）对阶梯型方位势，定态波函数连续，则其导数必然连续10.（3） 显含时间 t，则体系不可能处于定态， 不显含时间 t，则体系一定处于定态 H11.（3）一维束缚态能级必定数非简并的12.（3）一维粒子处于势阱中，则至少有一条束缚态13.（3）粒子在一维无限深势阱中运动，
9、其动量一定是守恒量14.（3）量子力学中，静止的波是不存在的15.（3） 势阱不存在束缚态16.（4）自由粒子的能量本征态可取为 ，它也是 的本征态kxsinxipx17.（4）若两个算符有共同本征态，则它们彼此对易18.（4）在量子力学中，一切可观测量都是厄米算符19.（4）如果 是厄米算符，其积 不一定是厄米算符BA, BA20.（4）能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态21.（4）若 对易，则 在任意态中可同时确定,22.（4）若 不对易，则 在任何情况下不可同时确定23.（4） 和 不可同时确定xpL24.（4）若 对易，则 的本征函数必是 的本征函数BA,B25.（4）对应一个本征
10、值有几个本征函数就是几重简并26.（4）若两个三个，则它们不可能同时有确定值27.（4）测不准关系只适用于不对易的物理量28.（4）根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，只能求其平均值29.（4）力学量的平均值一定是实数30.（5）体系具有空间反演不变性，则能量本征态一定具有确定的宇称31.（5）在非定态下力学量的平均值随时间变化32.（5）体系能级简并必然是某种对称性造成的33.（5）量子体系的守恒量无论在什么态下，平均值和几率分布都不随时间改变34.（5）全同粒子系统的波函数必然是反对称的35.（5）全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变36.（5）描述全体粒子体系的波函数
11、，对内部粒子的随意交换有确定的对称性37.（6）粒子在中心力场中运动，若角动量 是守恒量，那么 就不是守恒量zLxL38.（6）在中心力场 中运动的粒子，轨道角动量各分量都守恒)(rV39.（6）中心力场中粒子的能量一定是简并的40.（6）中心力场中粒子能级的简并度至少为 ,210,2l41.（8）电子的自旋沿任何方向的投影只能取 /42.（8）两电子的自旋反平行态为三重态三、证明题：1. （2）试由 Schrdinger 方程出发，证明 ，其中0jt.)(2),(,)*cmitrjtr2. （3 ）一维粒子波函 数满足定态 Schrdinger 方程，若 、 都是方程的解，则有)(x1x、1
12、213. （3）设 是定态薛定谔方程对应于能量 的非简并解，则此解可取为实解)(xE4. （2）设 和 是定态薛定谔方程对应于能量 的简并解，试证明二者的线性组合也是该1)(2定态方程对应于能量 的解。5. （3）对于 势垒， ，试证 势中 的跃变条件)(xV)(x6. （3）设 是定态薛定谔方程 的一个解，对应的能量为 ，)(x )(2xEVdm E试证明 也是方程的一个解，对应的能量也为*7. （3 ）一维谐振子势场 中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置概率分布经历/2x一个周期 后复原。/8. （3）对于阶梯形方势场 ，若 有限，则定态波函数 及axV21,)( )(12V)(x
13、其导数 必定连续。)(x9. （3）证明一维规则势场中运动的粒子，其束缚态能级必定是非简并的10.（4）证明定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数11.（4）证明定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交12.（4）证明：在定态中几率流密度矢量与时间无关13.（4）令 ，试证 为厄密算符22xpx2xp14.（4）试证 为厄密算符mT/15.（4）设 是一个幺正算符且对 可导，证明 是厄米算符。)(tUt UdtitH)(16.（4）已知 和 是厄米算符，证明( + )和 2 也是厄米算符ABAB17.（4）试证明：任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢的表象中的表示为对
14、角矩阵18.（4）试证明 表象中 算符的矩阵元是xp )“()(“ xipx19.（4）试证明 表象中 算符的矩阵元是 “ pip20.（4）若厄米算符 具有共同本征函数，即 ，而且构成体BA, nnnnBA,系状态的完备函数组，试证明 0,B21.（4）若 构成完备基组，证明：,21);(nx nnxx)()(*22.（4）证明两个线性算符之和仍为线性算符23.（4）设算符 ， ，若 为 的本征函数，相应的本征值为 ，求证BAF1F 和 也是 的本征函数，并求出相应的本征值。24.（4）试证明 是角动量平方算符 属于本征值 的本征函数。zyxz)( 2l225.（4）试证明表象变换并不改变算
15、符的本征值26.（4）证明对易关系 xipx)(,27.（4）证明在 的本征态下 zl0yl28.（4）设粒子处于 状态下，证明,lmY2221mlLyx 29.（4）证明谐振子的零点能 是测不准关系 的直接结果。10Ep30.（4） 一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零31.（4）如果厄米算符 A 对任何矢量|u，有0，则称 A 为正定算符。试证明算符 A=|a0 区域中的几率。它是大于 1/2，还是小于 1/2，为什么？6. （3）一个质量为 m 的粒子在一维势场 ，求波函数满足的方程及连续axx|)(,)(性条件，并给出奇宇称能量本征波函数及相应的
16、本征能量。7. （3）质量为 的粒子在一维势场 中运动。求xxV|0)(粒子的定态能量 与归一化的波函数 ；nE)(n粒子在态 上的位置平均值 。)(xx8. （3）如图所示，一电量为 质量为 的带电粒子处在电量为 固定点电荷的强电场中，并被qmQ约束在一直线 AB 上运动， 到 AB 的距离为 a，由于 产生的电场很强， 只能在平Q q衡位置 O 附近振动，即 a 远大于粒子的运动范围，设平衡位置 O 为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。9.（3）一电量为 质量为 的带电粒子处在强度为 E 的均匀强电场qm中，并被约束在一半径为 R 的圆弧上运动，电场方向如图所示，由于电场很强， 只能在
17、平衡位置 O 附近振动，即 R 远大于粒子的运动范围，设平衡位置 O 为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。10. (3) 一维谐振子处于基态 ，求谐振子的210)(xex1）平均值 ；2）平均值 ；3）动量的几率分布函数。x2p（提示： 函数满足递推关系： ,0,)1(022 KndeKxn；)21(,),()1(zz ） 。22edxei11.（3）把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势，对于下列一维模型（如图）0,)(xV试就（1） ， （2） 两种情况计算E接近金属表面的传导电子的反射和透射几率。12.（3、4）设 时，质量为 、频率为 的谐振子处于0tm)(2sin)(c
18、os),(021 xHxAecxx 状态，其中 是实常数， 是厄米多项式。, )(,/1n（1） 求归一化常数 ；（2） 求 时刻体系的状态 ；t ),(tx（3） 求 时刻位置的平均值 ；-V0CBAV(x)xacumMetalEOR-qOaBA-q+Q（4） 求谐振子能量取值及相应几率13.（3）设一维粒子由 处以平面波 入射，在原点处受到势能 的作用。xikxine)()(0xV（1）写出波函数的一般表达式；（2）确定粒子在原点处满足的边界条件；（3）求出该粒子的透 射系数和反射系数；（4）分别指出 与 时的量子力学效应。0V14. （3、4、5）设一维线性谐振子处于基态（1）求 xp,
19、（2）写出本征能量 ，并说明它反映微观粒子的什么性质E（3）利用位力定理证明： ，其中 2/x22xxxpp15. （4）设一维谐振子能量本征函数为 。试利用递推公式 求n111nnn谐振子坐标在能量表象中的矩阵表示16.（4、5）一维谐振子 时处于基态 和第一激发态 的叠加态0t01)(21),(10xx其中 ，2100)(xeNeNx)(11（1）求 时刻位置和动量的平均值 ；t ttp,（2）证明对于一维谐振子的任何状态， 时刻位置和动量的平均值有关系；ttmxt1d（3）求 时刻能量的平均值t tH17.（4）设体系处于 状态（已归一化，即 ） 。求2110Yc1|221c 的可能测值及平均值；zl 的可能测值及相应的几率。218 （4）设一量子体系处于用波函数 所描述的量子态中。试求)cossin(41)( e（1）在该态下 的可能测值和各个值出现的几率；（2） 的平均值zl zl19.（6） 时氢原子的波函数为 。忽略自旋和0t 32210),( 12110r
