1、11990 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1) 过点 且与直线 垂直的平面方程是_x-3y -z+4=0_.(1,2)M241xtyzt(2) 设 为非零常数 ,则 =_ _.alim()xxa2ea(3) 设函数 则 =_1_.1 |,()0,f()f(4) 积分 的值等于 _ _.220yxde41e2-(5) 已知向量组 ,则该向量1 34(,3),(,5),(,6),(,57)的秩是_2_.二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1) 设 是连续函数 ,且 ,则 等于 ( A )fx()()xe
2、Fftd()Fx(A) (B) (xef )(xeff(C) (D) )xf (2) 已知函数 具有任意阶导数,且 ,则当 为大于 2的正整数时,( 2()fxfn的 阶导数 是 ()fx ()nfx( A )(A) (B) (C) (D) 1!(nf1()nfx2()nfx2!()nf(3) 设 为常数,则级数 ( C )21sin(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与 的取值有关 (4) 已知 在 的某个领域内连续 ,且 , ,则在点 处()fx0(0)f0()lim21cosxf0x( D )(A) 不可导 (B) 可导,且 ()f2(C) 取得极大值 (D)
3、 取得极小值 (5) 已知 、 是非齐次线性方程组 的两个不同的解 , 、 是对应齐次线性方12Axb12程组 的基础解系, 为任意常数,则方程组 的通解(一般解)必是( B )0Ax12kAxb(A) (B) 1212()k 121212k(C) (D) 12 ()三、(本题满分 15分,每小题 5分.)(1) 求 .120ln()xd解： ()()()()11 12 000l 1lndlnd22xxxx+=+=+- -10lnl33=-(2) 设 ,其中 具有连续的二阶偏导数,求 .(2,sin)zfxy()fuv2zxy解： co.ffuv=+()22 22sinssincocs.z f
4、ffxyyxxxyuvvv-+(3) 求微分方程 的通解(一般解).24xe解：特征方程为 的跟为 .对应齐次方程的通解为 ，20r+=1,2r- ()21exYC-=+其 中为任意常数.设原方程的特解为 代入原方程得 .12C， ()2exyA*-=， A因此，原方程的通解为 ()12.xxyxYC*-+四、(本题满分 6分.)求幂级数 的收敛域,并求其和函数.0(21)nnx解：因为 所以13=limli1nna+=， 1.R=3显然幂级数 在 时发散，故此幂级数的收敛域为()021nnx=+=()1-，又 ()000021nnnnnSxxx=+-()()2211.x+- ()fca证得此
5、结果.七、(本题满分 6分)4设四阶矩阵, ,1 0 1 B2 13 40 C且矩阵 满足关系式 ,其中 为四阶单位矩阵 , 表示 的逆矩阵,A1()TECE 1C表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .TCA解：因 故11()()=()TT TBABC， ()=TBE，因此0022()3114TAC -1=，八、(本题满分 8分)求一个正交变换,化二次型 为标准形.2213132448fxxx解：二次型的矩阵 A = ，24-由 A 的特征值为()21E924-， 12309.=，对于 从而可取特征向量 及与121120A-=402-=， ， 1PP1正交的另一特征向量 21.P-对于
6、 取特征向量382459A-E=25094-， ， 312.P=-5将上述相互正交的特征向量单位化，得 1234102=1-， ， ，故在正交变换 下，二次型 .1 12 23 340212xy=-=239fy=九、(本题满分 8分)质点 沿着以 为直径的半圆周,从点 运动到点 的过程中受变力 作PAB(1,2)A(3,4)BF用(见图). 的大小等于点 与原点 之间的距离,其方向垂直于线段 且与 轴正向的FPOOPy夹角小于 ,求变力 对质点 所作的功.2(,)PxyxOy1,2AF(3,4)B解：由题意，变力 F=-yi+xj.圆弧 AB 的参数方程是 2cos3.43inxy=+-，变力
7、 F 所作的功 ()()()43d2sin2cosd21.ABWyx- =-+=+=- 6十、填空题(本题满分 6分,每小题 2分.)(1) 已知随机变量 的概率密度函数 ,则 的概率分布函数X|1(),xfeX_ _.()F1e,02,x-(2) 设随机事件 、 及其和事件 的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若 表示 的对ABABB立事件,那么积事件 的概率 _0.3_.()P(3) 已知离散型随机变量 服从参数为 2的泊松(Poisson)分布,即X2,!kePX,则随机变量 的数学期望 _4_.0,12k 3Z()EZ十一、(本题满分 6分.)设二维随机变量 在区域 内服从均匀分布,求关于 的边缘(,)XY:01,|DxyX概率密度函数及随机变量 的方差 .2Z()Z解： 的联合概率密度函数是 因此 X 的边缘概率密度函数()XY， 10xfxy=， ， ， 其 他 ，是 ()()20dX xfxfxy+- =， ， ， 其 他 ，()()()()222 22144ddXXDZEXxfxf+- -=21130014d.9xx=-
