1、睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）指数与指数函数【知识梳理】一、指数运算1、根式（1）概念：若 （ ） ，则称 x 为 a 的 n 次方根， “ ”是方根的记号nxaNn且1n（2）a 的 n 次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根 ； na n 为奇数， =a；n 为偶数， =|a|=n.0,2、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义：
2、（注： 无意义） ；)0(0Raa且 0 ； )1,*nNmnm ,0(1*aan（2）指数幂的运算性质 ； (0,)rsrsaarsR ；rsrs ； (,)rrs 0rrababrR二、指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为)1,0(ayx且R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）2、指数函数 的图象与性质)1,0(ayx01图象xOy=1(0,1)xOy=1(0,1)定
3、义域：R值域为：(0,+ ) 过定点：(0,1)，即 x=0 时，y=1当 时， ；0x1当 时， y当 时， ；0x1y当 时， 性质在 R 上单调递减 在 R 上单调递增【典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题 1：化简：（1） ； （2） ； （3） 7)(44)(44)2(a【解析】 （1） ； （2） ； （3） = 27444.2,a【点评】不注意 n 的奇偶性对式子 的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，na记熟，会用，活用本题易错的是第（ 3）题，往往忽视 a 与 2 大小的讨论，造成错解例题 2：计算：（1） ； （2） 101120.56
4、336【解析】 （1）原式 ；834（2）3 =33 3 3 =3 =32=93621661【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算变式 1：化简：（1） ； )31()(652132babayy睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）（2） ；14623)(yxyx)0,(（3） 5732【解析】 （1）原式= ；)1( 612a5ba90（2）原式 ；2162)21()21(46)(31 yxyxyx
5、（3）原式 233)3 【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式变式 2：若 ， ，则 _ 10x4y210xy【解析】 49322 yxyxyx【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将 、 看作一个整体，再进行代数运10xy算题型二、指数函数概念、定义域和值域例题 3：下列函数中属于指数函数的有（ ）个（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）xy1xyxy)3(xy)31(23xyxy4a)2(A2 B3 C4 D5【解析】选 A只有（4） （6 ）属于指数函数 的形式)1,0(ayx【点评】在判断
6、是否为指数函数时，应严格按照 的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明 的取值范围a例题 4：求下列函数的定义域和值域：（1） 2 ； （2） ( ) ； （3）y=a x-1 (a0，a1) y41xy3|x【解析】 （1）令 x-40，则 x4，所以函数 y=2 的定义域是xRx4 ，41又因为 0，所以 2 1，即函数 y=2 的值域是 y|y0 且 y1 4141x41（2）因为-|x|0，所以只有 x=0. 因此函数 y=( ) 的定义域是xx=0 32|睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：157501
7、99340（杨老师）而 y=( ) =( )0=1，即函数 y=( ) 的值域是yy =1 32|x32|x（3）定义域为 R，因为 的值域为 ，所以 的值域为 xay,01xa),(【点评】由于指数函数 y=ax,(a0 且 a1)的定义域是 R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性例题 5：如图，设 a,b,c,d0，且不等于 1，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则 a,b,c,d 的大小顺序 【 】A、a1 时，指数函数底数越大，图象越靠近 y 轴；当 05(+ax【解析】因为 y=ax 过点
8、（0，1） ，所以当 x=0 时，y=1+5=6 ，所以原函数过定点（0,6） 【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点变式 4：已知指数函数的图象过点（ ） ，,3（1）求 的值； (-)1(0)ff（2）利用图像比较三个函数值的大小【解析】 （1）设指数函数 f (x)=ax（a0 且 a1）因为图象过点（3,） ，所以 f (3)=a3=，即 a= ，f (x)=( )x3131再把 0,1,3 分别代入,得：f (0)= 0=1，f (1)=1=，f (-3)= -1= 1（2）由图易知 f (1)f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用变式
9、 5：当 时，函数 和 的图象只可能是（ ）a0yaxbaxy1xyO1xyO1xyO1xyOA B C D【解析】选项 A 中一次函数 ，指数函数应是减函数，故 A 对1,0bay=dxy=cxy=bxy=axOyx睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）选项 B 中一次函数 ，指数函数应是增函数，故 B 错1,0ba选项 C 中一次函数 ，指数函数应是减函数，故 C 错选项 D 中一次函数 ，指数函数应是增函数，故 D 错,故答案选 A【点评】利用一次函数和指数函数 的关系来确定图
10、象，是本题的关键ba,题型三、解指数式方程、不等式例题 6：解下列方程：（1） ； （2） 132x 12x【解析】 （1） ；36132 x（2） 402 xxx 或【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解例题 7：解下列不等式：（1） ； （2） 164x 142x【解析】 （1） 0614x（2） 514221414 xxxx【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解变式 6：解下列方程：（1） ； （2 ） 7391xx 235xx【解析】 （1）原方程化为 63 -x27=0，(3 -x3)(3 -x9)=02)(3 -x3 0， 由 3-x9=0
11、 得 3-x=32，故 x=2 是原方程的解（2）原方程化为 ， ，05)(2 0)23)(1x， 得 ， (2x13x3x【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1） ，把 看成未知数 ，解得的一元二次方程x的根等于 ，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验x3题型四、指数函数性质的应用例题 8：比较下列两个数的大小：（1） ； （2） ；0.7.3, 0.1-.75 ,睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）（3） ； （4） ,2 1.60.8, 32)1(5【
12、解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：对（1）因为函数 y=3x 在 R 上是增函数，0.80.7，所以 30.830.7；对（2）因为函数 y=0.75x 在 R 上是减函数，0.1-0.1，所以 0.75-0.10.750.1；对（3）由指数函数的性质知 1.80.61.80=1=0.800.81.6，所以 1.80.60.81.6；对（4）由指数函数的性质知( ) ( )0=1=202 ，所以( ) 2 32531325【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1” ，两个数都与这个中间量进行比
13、较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”例题 9：求函数 的单调区间和值域231xy【解析】令 在 上递减，在 上递增，又 为减函数，221()4uxx3(,3,)2uy312所以 在 上递增，在 上递减，当 时， 为最大值，231xy(,)x4所以 的值域为 23x3,0(4【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间变式 7：已知 是奇函数，求常数 的值 mxf132)( m【解析】由 是奇函数，得 ，0)(xff即 ， ， ，得 132xx 2312xx 0231)(mx 1【点评】此题中函数的定义域为 ，所以不能利用 来求解，应
14、利用奇函数的定义 求00)(f )(xff出 值m变式 8：判断函数 的单调性、奇偶性12)(xf【解析】任取 ，使 ，Rx1、 2睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师），)12(12)( 1121 xxxxfxf因为 ，所以 ， 为增函数，所以 ，所以 ，0x 0)(1y021x 0)(21xff所以 在 上单调递增；)(fR，所以 为奇函数)(21)(21xfxf xxx )(xf【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断在判断此题函数的奇偶性
15、时，通过分子分母同乘 化简，从而比较 与 的关系x )(xf(f【方法与技巧总结】1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为： 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； 有分式的转化为负数指数幂； 底数尽量化为一致； 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到数形结合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1下列各式中正确的是（ ） A、 =
16、a B、 = C、a 0=1 D、 = .4a62)(3 105)2()1(2将 化为分数指数幂的形式为（ ） 3A、 B、 C、 D、 21312216523函数 f (x) 的定义域是（ ）xA、 B、 0,),0C、 D、)( (睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）4下列函数中，值域为 的函数是（ ）,0A、 B 、 C、 D、 xy2312xy 12xyxy215已知指数函数图像经过点 ，则 )3,(p)(f6若 = a-1，则 a 的取值范围为 2a-7 =_ 4837)
17、70(.)9( 0321 8若函数 是奇函数，则 =_14xaf a9已知函数 ，求其单调区间及值域253y10已知函数 .()fxx2（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明： 是区间 上的增函数；()fx),0(（2）若 ，求 的值 35)(xf【课后作业】1下列各式中成立的一项（ ）睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）A、 B、 C、 D、717)(mn3124)(4343)(yx392化简 (a, b 为正数) 的结果是（ ）421633(bA、 B、ab C、 D、a 2
18、baba3设 ，则（ ）1.50.90.48123,2yyA、 B、 C、 D、31213y132y123y4函数 的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是（ ） bxaf)(A、 B、0,0,C、 D、1b15函数 的定义域是（ ）xyeA、 B、 C、 D、(0,)0,)(,)1,)6函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）1)(2xaxf ,5aA、6,+ B、 C、 D、)66,()6,(7设 5x=4，5 y=2，则 = yx8 = 10543 2)(6.08169函数 的图象恒过定点_(aayx且10若函数 是奇函数，则 =_14)xf a11已知 ，求 的
19、最小值与最大值3,2x()12xf睿韬奥博 高中数学资料一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师）12已知 xxf10)(（1）判断函数的奇偶性；（2）证明： 是定义域内的增函数；)(xf（3）求 的值域【拓展训练】1化简 ，结果是（ ）111113268422A、 B、 C、 D、1321321321322若函数 的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）()0,)xyabaA、 B、1且 010ba且C、 D、0且 且3设集合 ，则 是 （ ）2|3,|,xSyRTyxRSTA、 B、 C、 D、有限集4 是偶函数，且 不恒等于零，则 （ ）2()1()0xFfx()fx()fxA、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数5函数 的图象是（ ）)1(|ayx6函数 164xy的值域是（ ）
