1、12016 年 3 月高三模拟考试理科数学试题卷时量 120 分钟 总分 150 分考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。2选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。3考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。一：选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数 ，则
2、对应的点所在的象限为iz1zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知 ，且 ，则 为3cos252tanA B C D44334343下列命题中，真命题是A ， B ，0Rx0xeRx2xC 的充要条件是 D ， 是 的充分条件ab1ab1ab1a4在如图所示的正方形中随机投掷 个点，则落入阴影部0分（曲线 C 为正态分布 N(1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为A B C D193135927183415.若圆 C: 240xy关于直线 60axby对 称，则由点 (,)ab向圆所作的切线长的最小值是A B C D346如图，正方体 的棱长为 1， 是1DACFE, 线段 上
3、的1DB2两个动点，且 ，则下列结论中错误的是2EFA ；BCB三棱锥 的体积为定值；C 平面/DD异面直线 、 所成的角为定值。7如图，在ABC 中，设 Aa， Cb，AP 的中点为Q，BQ 的中点为 R，CR 的中点为 P，若 mn，则 nm、对应的值为A 24,7 B 1,24 C 12,67 D 13,67 8函数 的图象如图所|,0)(sin)( Axxf ) 示，则等于0fA B23 23C D1 19已知集合 A-1，2，3，4， 5，6，7 ，8，9 ），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为 ，现将组成 的三个数字按从小到大排成
4、的三位a 数记为 ，按从大到小排成的三位数记为 （例如 ，则()I ()a219()129Ia， ），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，921D 任意输入一个 ，则输出 的值为bA792 B693C594 D49510如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有A B C 11220D211如图，正方体 中， 为棱 的中点，用过点 的平面截去该正方体的1ABCDE1B1,AEC上半部分，则剩余几何体的侧视图为RQPA BCBDC1第 11 题图3A B C D12对于曲线 所在平面内的点 ，若存在以 为顶点的角 ，使得 对于曲线 上的COAOBC任意两个不同点 、 恒成立，则称 为曲线
5、相对于 的“界角” ，并称最小的“界角”为曲线O相对于 的“确界角” ，已知曲线 ： ，(其中 为自然对数的底数)，OM2190xyee为坐标原点，则曲线 相对于 的“确界角”为A B C D34334二：填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13.若函数 ， 为偶函数，则实数 02,1)(xxf 2,)(xafg a14.若抛物线 上两点 、 关于直线 对称，且 ，则实数y1,Ay2,Bxyym12x的值为 m15.若 满足 且 的最大值为 4，则 的值为 .,xy0,3,ky2zxyk16.已知 是圆心在坐标原点 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且 点
6、的纵QP, OP坐标为 ， 点的横坐标为 ，则 COS = .54135PQ三：解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， ， 。nanS0,1na*)(141NnSn（）证 明 ： ；42（）求 数 列 的 通 项 公 式 。na41O千千千千千千千(千千)231918171618 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 底ABCDPPA面 ， ， ，点 是 的中点，点AB13FB在边 上移动E（）点 为 的中点时，试判断 与平面 的位置 EC关系，并说明理由；（）
7、当 为何值时, 与平面 所成角的大小为PA4519. （本小题满分 12 分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近 8 天“健步走”步数的频数分布直方图（图 1）及相应的消耗能量数据表（表 1）如下. 图 1 表 1 （）求小王这 天 “健步走”步数的平均数； 8（）从步数为 千步、 千步、 千步的几天中任选 天，设小王这 天通过健步走消耗617822的“能量和”为 ，求 的分布列.X20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在椭圆 上.C)0(12bayx233(1,)2AC（）求椭圆 的方程；（）设动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，判
8、断是否存在以原点 为圆心的圆，满足此l O圆与 相交两点 、 （两点均不在坐标轴上） ，且使得直线 、 的斜率之积为定值？若存在，l1P2 1P25求此圆的方程；若不存在，说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数 2()ln0,1xfaa（）求函数 的单调区间；（）若存在 12,x，使得 12()fxfe（ 是自然对数的底数） ，求实数 a的取值范围。请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22、 （本小题满分 10 分） 【选修 4 一 1：几何证明选讲】如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交
9、于 点B，C，PC 2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E.证 明：BEEC；ADDE 2PB 2.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度设圆 C：Error!( 为参数 )上的点到直线 的距离为 d.:cos()24lk当 k3 时，求 d 的最大值；若直线 l 与圆 C 相交，试求 k 的取值范围24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲6已知实数 、 满足：关于 的不等式 的解集为 R。mnx22369mxnx求 、 的值；若 、 、 ，且 ，求证：a
10、bcRabc3abc2016 年 3 月高三模拟考试理科数学（参考答案）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D C D A A D D C B二、填空题13. 14. 15. 16 . 23232365三、解答题17. 解 ： （ 1）4 分1421nnSa又 11)(n 0na6 分42na（ 2） 由 ， 求 得 8 分1,1S32a7由 知 数 列 和 都 是 公 差 为 4 的 等 差 数 列42na2na11)2()(,)(1(3 n12 分2na18. 解：(1)当点 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行在PBC 中，
11、E、F 分别为 BC、PB 的中点，EFPC. 2 分又 EF 平面 PAC，而 PC 平面 PACEF平面 PAC. 4 分(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)， B(0,1,0)， F(0， )， D( ，0,0)， 6 分12 12 3设平面 PDE 的法向量为 ，(,mpq(3,01)1)DPEx由 ，即m0pq可得 9 分3(,1,)x而 ，依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45，0,)AP所以 ， 10 分2|sin45mAP2113()x得 或 (舍) 11 分3BExBEx故 BE 时，PA 与平面 PDE 所成角为 45 12 分3 219. 解：
12、(I) 小王这 8 天 “健步走”步数的平均数为（千步）. 4 分167192175（II） 的各种取值可能为 800，840，880，920. 5 分X8, 2361(80)5CPX1326(840),5CPX9 分1236(),126(9),的分布列为：X800 840 880 920P152541521512 分20.（ ）解：由题意，得 ， ， 2 分32ca2bc又因为点 在椭圆 上，(1,)AC所以 ， 3 分234ab解得 ， ， ，13c所以椭圆 C 的方程为 . 5 分12yx（）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 . 6 分2xy证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆
13、的方程为 .22(0)xyr当直线 的斜率存在时，设 的方程为 . 7 分llmk由方程组 得 ， 8 分2,14ykxm 048)4(22xk因为直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，lC所以 ，即 . 9 分2221(8)(1)4)0km241mk由方程组 得 ， 10 分22,yxr22()0kxr则 .22()4(1)0k9设 ， ，则 ， ， 11 分1(,)Pxy2(,)xy12kmx21rxk设直线 ， 的斜率分别为 ， ， O所以221212112()()ykxkxxmk， 12 分22221mrmrkkk将 代入上式，得 .24k122(4)1rk要使得 为定值，则 ，即 ，验证
14、符合题意 .12 24r5所以当圆的方程为 时，25xy圆与 的交点 满足 为定值 . 13 分l12,P12k4当直线 的斜率不存在时，由题意知 的方程为 ，l2x此时，圆 与 的交点 也满足 .25xyl12,P14k假设圆 符合要求，当直线 为 时，rlx求得 ；4221kOP当直线 为 时，求得 。ly2121rkOP令 解得2214r52以下证明圆 符合要求yx（ ）21222,1abkaba21. 解：（） 1 分()lnl()lnx xf+因为当 时， ， 在 上是增函数，1l01aR10因为当 时， ， 在 上也是增函数，01aln01lnxaR所以当 或 ，总有 在 上是增函
15、数， 2 分()f又 ，所以 的解集为 ， 的解集为 ， 3 分(0)f()0fx,+0fx,0故函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 4 分x,),（）因为存在 ，使得 成立，12,12()e1fxf而当 时， ，,x2maxin()fxf所以只要 即可 5 分main()e1f又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：x()fx(,0)0(0,)+()fx减函数 极小值 增函数所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时， 的最小值()fx1,00,11,xfx， 的最大值 为 和 中的最大值 7 分minfxmaxf1ff因为 ，(1)(1ln)(1ln)2lnfaa+令 ，因为 ，2l0ga2(1)0ga 所以 在 上是增函数()na,而 ，故当 时， ，即 ；10g10g(1)f当 时， ，即 9 分a()f所以，当 时， ，即 ，1()0e1f lne1a函数 在 上是增函数，解得 ； 10 分lnya,当 时， ，即 ，01()0e1fflne1a
