1、 匀变速直线运动的速度与位移的关系【学习目标】1、会推导公式 20tvax2、掌握公式 ，并能灵活应用t【要点梳理】要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系根据匀变速运动的基本公式，0tvat，21x消去时间 t，得 0tvax即为匀变速直线运动的速度位移关系要点诠释：式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用 公式中四个矢量 、 、a、x 也要规定统一的正方向.tv0要点二、匀变速直线运动的四个基本公式(1)速度随时间变化规律： 0tt(2)位移随时间变化规律： 21xva(3)速度与位移的关系： 2
2、0t(4)平均速度公式： ， tv02tx要点诠释：运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选取正方向公式(1)中不涉及 x，公式(2)中不涉及 ，公式(3) 中不涉及 t，公式(4)中不涉及 a，抓住各公式特点，灵活选取公式求解共涉及五tv个量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量要点三、匀变速直线运动的三个推论要点诠释： (1)在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即xaT 2(又称匀变速直线运动的判别式)推证：设物体以初速 v0、加速度 a 做匀加速直线运动，自计时起时间 T 内的位移 210vTa在第 2 个时间 T 内的位移 201()xxA 203vT
3、a即xaT 2进一步推证可得 1222nnxTT32nxx2-x1 x3-x2x n-xn-1，据此可补上纸带上缺少的长度数据(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度即 02ttv推证：由 vtv 0+at， 知经 时间的瞬时速度 02ttvaA由 得 ，代入 中，得0tav，0/201()2t tttvv即 2ttv(3)某段位移内中间位置的瞬时速度 与这段位移的初、末速度 v0 与 vt 的关系为2xv2021()xtvv推证：由速度位移公式 ， 20tvax知 20xxvaA将代入 可得 ，即 2200txv2021()xtvv要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比
4、例式要点诠释： 初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助设以 t0 开始计时，以 T 为时间单位，则(1)1T 末、2T 末、3T 末、瞬时速度之比为 v1:v2:v3:1:2:3: 可由 vtat，直接导出(2)第一个 T 内，第二个 T 内，第三个 T 内，第 n 个 T 内的位移之比为：x 1:x2:x3:xn1:3:5:(2n-1)推证：由位移公式 得 ，21xat21，222213()xaTaT3()25可见，x 1 : x2 : x3 : : xn1 : 3 : 5 : : (2n-1)即初速为零的匀加
5、速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比(3)1T 内、 2T 内、3T 内、位移之比为： ，2212313x： ： ： ： ： ：可由公式 直接导出2xat(4)通过连续相同的位移所用时间之比1231()(32)(1)ntt nAA:推证：由 知 ，2xat1x通过第二段相同位移所用时间，2 (2)xtaa同理： ，32t，()xa则 12312(32)(1)ntt n:-:要点五、纸带问题的分析方法(1)“位移差法” 判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为 x1、x 2、x 3若 x2-x1x 3-x2 0，则物体做匀速直线运动1nx若 x2-x1x 3-x2
6、x0，则物体做匀变速直线运动(2)“逐差法” 求加速度，根据 x4-x1x 5-x2x 6-x33aT 2(T 为相邻两计数点的时间间隔)，有， ， ，4112aT52a3aT然后取平均值，即 12365421()()9xxT这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性要点诠释：如果不用“逐差法”求，而用相邻的 x 值之差计算加速度，再求平均值可得：32546521 25xxaTT 612xT比较可知，逐差法将纸带上 x1 到 x6 各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了 x1 和 x6 两个实验数据，实验结果只受 x1 和 x6 两个数据影响，算出 a 的偶然误差较大其实从上式可以看出，逐差法
7、求平均加速度的实质是用(x 6+x5+x4)这一大段位移减去(x 3+x2+x1)这一大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T) 2 而不是 3T2(3)瞬间速度的求法在匀变速直线运动中，物体在某段时间 t 内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻 时的瞬时速度2t相同，即 所以，第 n 个计数点的瞬时速度为： 2tv 12nxvT(4)“图象法”求加速度，即由 ，求出多个点的速度，画出 v-t 图象，直线的斜率即为加12nxvT速度【典型例题】类型一、公式 的应用20tvax例 1、一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车
8、的长度为 l，当火车头经过某路标时的速度为 v1，而车尾经过这个路标时的速度为 v2，求：(1)列车的加速度 a；(2)列车中点经过此路标时的速度 v；(3)整列火车通过此路标所用的时间 t【答案】 （1） （2） （3）21vl2112ltv【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为 v1，前进位移 l，速度变为 v2，所求的 v 是经过 处的速度其运动简图如图所示l(1)由匀变速直线运动的规律得 ，则火车的加速度为 21val21val(2)火车的前一半通过此路标时，有 ，21A火车的后一半通过此路标时，有 ，2lva所以有 ，故 221v1(3)火车的平均速
9、度 ，故所用时间 12v12ltv【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用 可大大简化解题过20tvax程举一反三【变式 1】 （2016 金台区期末考）一物体在水平面上做匀加速直线运动，经过了 A、B、C 三点，已知A 点速度为 v，B 点速度为 3v，C 点速度为 4v，则 AB 段和 BC 端的时间比是 AB 段和 BC 段的位移比是 【答案】2:1；8:7【解析】设匀加速直线运动的加速度为 a：AB 段的时间: 32ABvtBCB 段的时间:4C则 AB 段和 BC 端的时间比: :2:1ABCtAB 段的位移： 20(3)vaxBC 段的位移： 4BCAB 段和
10、 BC 段的位移比： :8:7Ax【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第 5 页】【变式 2】某飞机着陆时的速度是 216km/h，随后匀减速滑行，加速度的大小是 2m/s2。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？【答案】900m类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用例 2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每一个时间间隔为 4s，求质点的初速度和加速度【答案】a2.5m/s 2，v A1 m/s【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同解法一：(基本公式法)画出运动过
11、程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：21Axvta2()()Atvt将 x124m、x 264m、t4s 代入上式解得：a 2.5m/s 2，v A1 m/s 解法二：(用平均速度公式)连续的两段时间 t 内的平均速度分别为：， 14m/s6/vt264m/s/xvtB 点是 AC 段的中间时刻，则 ， ，12ABv2BCv126m/s/ACvv得 vA1 m/s，v C21 m/s，22/s.5/s24at解法三：(用xaT 2 法)由xaT 2，得 220m/./xaT再由 ，解得 21Avt1sAv【总结升华】(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解
12、训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力(2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式xaT 2 求解，这种解法往往更简捷举一反三【变式 1】一个冰球在冰面上滑行，依次通过长度都是 L 的两段距离，并继续向前运动，它通过第一段距离的时间为 t，通过第二段距离的时间为 2t，如果冰球在冰面上的运动可看做匀变速直线运动，求冰球在第一段距离末时的速度【答案】 156Lvt【解析】方法一：由题意可得，冰球做匀减速运动，其运动简图如图所示以冰球过 A 点为起始时刻、起始点，设 A、B、C 三点的
13、速度分别为 v0、v 1、v 2，由 得01vxt从 A 到 B： ， 012vLt从 B 到 C： ， 从 A 到 C： ， 023vt联立式解得 156Lt方法二：根据 t 知：2tvAB 段中间时刻速度 ，3tBC 段中间时刻速度 ，4Lv这两个时刻相隔时间为 ，则匀减速运动加速度2t342vLat据 公式，有 201xt21()()vtat将 a 代入得 156Lvt【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第 13 页】【变式 2】例题、跳伞运动员做低空跳伞表演，他从 224m 的高空离开飞机开始下落，最初未打开降落伞，自由下落一段距离打开降落伞,运动员以 12.5m/s2 的加
14、速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员落地的速度不得超过 5m/s（ g=10m/s2） 求：运动员打开降落伞时，离地面的高度至少为多少？【答案】99m【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第 15 页】【变式 3】火车以速度 v1 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 s 处有另一火车沿同方向以速度 v2（相对于地面，且 v1v2）做匀速运动，司机立即以加速度 a 紧急刹车，要使两车不相撞，a 应满足什么条件?【答案】 ()as类型三、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用例 3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第 5s 末的速度是 6 m/s，试求：(1)第 4s
15、末的速度；(2)运动后 7s 内的位移；(3) 第 5s 内的位移【答案】 （1） （2） （3） 5.4m4.8m/s9.4【解析】物体的初速度 v00，且加速度恒定，可用推论求解(1)因为 v00，所以 ，即 ，tatv故 v4:v54:5第 4s 末的速度 456/s4.8m/(2)因为 v00，v 56m/s，则加速度 ，22506/s1.m/svat所以 7s 内的位移 2271.79.xt(3)由 254at1.m1.26第 5 秒内的位移是 5.4m举一反三【变式 1】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初 3 s 内的位移为 x1，最后 3s 内的位移为x2，已知 x
16、2-x16m；x 1:x23:7 ，求斜面的总长【答案】 12.5m【解析】由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为 3s由题意知 ，x 2-x16m，解得 x14.5m，x 210.5m1237由于连续相等时间内位移的比为 1:3:5:(2n-1)，故 xn(2n-1)x 1，可知 10.54.5(2n-1) ，解得 53n又因为 ，所以斜面总长： 21总24.m1.x总【总结升华】切忌认为物体沿斜面运动了 6s，本题中前 3s 的后一段时间与后 3 s 的前一段时间是重合的类型四、纸带问题的处理例 4、 （2015 滕州三中期末考）在用接在 50Hz 交流电源上的打点
17、计时器测定小车做匀加速直线运动的加速度的实验中，得到如图所示的一条纸带，从比较清晰的点开始标计数点 0、1、2、3、4，其中每两个计数点间还有 4 个点未画出，量得 0 与 1 两计数点间的距离 ，3 与 4 两计数点间的距离1.xm，则小车在 3 与 4 两计数点间的平均速度为 m/s，小车的加速度为 48.xmm/s2 （计算结果均保留两位有效数字）【答案】0.49；0.62【解析】由于每相邻两个计数点间还有 4 个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔 T=0.1s，根据平均速度的定义式得：小车在 3 与 4 两计数点间的平均速度 ，340.8.49/1xvmsT根据匀变速直线运动的推
18、论x=aT 2，有： 2a所以解得： ，4120.6/3xamsT故答案为：0. 49，0.62【总结升华】用逐差法求加速度，碰到奇数个位移，如本题中只有 x1 至 x3 五个位移，就去掉中间的一个位移而求解举一反三【变式】（2015 临沂市期末考）打点计时器使用的交流电周期为 T=0.02s小王同学在正确操作实验的情况下获得了一条纸带，如图所示，其中 A、B、C、D、E 每两点之间还有 4 个点没有标出，根据纸带所提供的数据，求：小车的加速度 a= m/s2，小 车经过 C 点时的速度 Vc= m/s（结果保留两位有效数字）【答案】0.62；0.21【解析】其中 A、B、C、D、E 每两点之
19、间还有 4 个点没有标出，所以相邻的计数点间的时间间隔T=0.1s，根据匀变速直线运动的推论公式x=aT 2 可以求出加速度的大小，得： ，2()0.6/4ECABCxxamsT根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上 C 点时小车的瞬时速度大小 0.1/2BDcxvms【巩固练习】一、选择题：1、一物体由静止开始做匀加速直线运动，在 t 内通过位移 x，则它从出发开始通过 所用的时间为（ 4x）A B C D4t2t16t2t2、做匀减速直线运动的物体经 4s 后停止，若在第 1s 内的位移是 14m，则最后 1s 的位移是（ ）A3.5m B2m C1m
20、D03、小球由静止开始运动，在第 1s 内通过的位移为 1m，在第 2s 内通过的位移为 2 m，在第 3s 内通过的位移为 3m，在第 4s 内通过的位移为 4m，下列描述正确的是（ ）A小球在这 4s 内的平均速度是 2.5m/sB小球在 3s 末的瞬时速度是 3m/sC小球在前 3s 内的平均速度是 3m/sD小球在做匀加速直线运动4、 （2015 安徽四校联考）物体自 O 点由静止开始作匀加速直线运动，A、B、C、D 是轨迹上的四点，测得 AB=2m，BC=3m，CD=4m且物体通过 AB、BC、CD 所用时间相等，则 OA 之间的距离为（ ）A 1m B 0.5m C 1.125m
21、D 2m5、甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的 v-t 图象如图所示两图象在 tt 1 时相交于 P 点，P 在横轴上的投影为 Q，OPQ 的面积为 S在 t0 时刻，乙车在甲车前面，相距为 d已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为 t，则下面四组 t和 d 的组合可能是( )A ， B ，1tdS12t4dSC ， D ，236、 （2016 上海高考）物体做匀加速直线运动，相继经过两段距离为 16m 的路程，第一段用时 4s，第二段用时 2s，则物体的加速度是（ ）A B C D2/3ms24/3s28/9ms216/9s7、 （2016 马鞍山校级模拟）光滑斜面的长度为
22、L，一物体由静止从斜面顶端沿斜面滑下，设物体滑到底部时的速度为 v，则物体下滑到 L/2 处的速度为（ ）Av/2 Bv/4 C D3v2v二、填空题：1、由静止开始运动的物体，3s 与 5s 末速度之比为_，前 3s 与 5s 内位移之比为_，第 3s内与第 5s 内位移之比为_2、做匀减速直线运动到静止的质点，在最后三个连续相等的运动时间内通过的位移之比是_，在最后三个连续相等的位移内所用的时间之比是_3、如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时问间隔为 T0.10s，其中x17.05cm、x 27.68cm
23、、x 38.33cm 、x 48.95cm、x 59.61cm、x 610.26cm ，则 A 点处瞬间速度大小是_m/s ，小车运动的加速度计算表达式为 _，加速度的大小是_m/s 2(计算结果保留两位有效数字)三、计算题：1、在滑雪场，小明从 85m 长的滑道上滑下小明滑行的初速度为 0，末速度为 5.0m/s如果将小明在滑道上的运动看成匀变速直线运动，求他下滑过程加速度的大小2、 （2015 阜阳市期末考）已知 O、A 、B、C 为同一直线上的四点，AB 间的距离为 22m，BC 间的距离为 26m，一物体自 O 点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过 A、B、C 三点，已知物体通
24、过AB 段与 BC 段所用的时间相等且为 2s求 O 与 A 的距离3、 （2015 菏泽市期末考）汽车自 O 点由静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中 6s 时间内依次经过 P、Q 两根电线杆已知 P、Q 相距 60m，车经过 Q 点时的速度为 15m/s求：（1）汽车经过 P 点时的速度是多少？（2）汽车的加速度为多少？（3）O、P 两点间距离为多少？4、甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持 9m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记在某次练习中，甲在接力区前 x013.5m 处作了标记，并以 v9m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口
