1、1（浙江专用）2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破四 高考中的不等式问题教师用书1若 a， b， cR，且 ab，则下列不等式一定成立的是( )A a c b c B( a b)c20C acbc D. 0c2a b答案 B解析 A 项：当 cba b0，因为 c20，所以( a b)c20.故选 B.c2a b2(2016浙江金华十校联考)已知函数 f(x)Error!则不等式 x( x1) f(x1)1 的解集是( )A x|1 x 1 B x|x12C x|x 1 D x| 1 x 12 2 2答案 C解析 由题意不等式 x( x1) f(x1)1 等价于Error! 或Erro
2、r!解不等式组得 x0 时，原不等式化为 (x1)0 x 或 x1.(x2a) 2a当 a1，即 a2，解得 x1.2a 2a综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为(，1 .2a， )思维升华 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于 0，小于 0，和大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式 与 0 的关系(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式3(1)若 00 的解集是_1a(2)若关于 x 的不等式| x1| x m|3 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是_答案 (1)( a， ) (2)(，
3、4)(2，)1a解析 (1)原不等式即为( x a)(x )3， m13，由此解得 m2.因此实数 m 的取值范围是(，4)(2，)题型二 线性规划问题例 2 实数 x， y 满足不等式组Error! 则 z| x2 y4|的最大值为_答案 21解析 方法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示z| x2 y4| ，则几何含义为阴影区域内的点到直线 x2 y40 的距|x 2y 4|5 5离的 倍由Error!得点 B 的坐标为 (7,9)，显然，点 B 到直线 x2 y40 的距离最大，5此时 zmax21.方法二 由图可知，阴影区域内的点都在直线 x2 y40 的上方，显然此时有x
4、2 y40，于是目标函数等价于 z x2 y4，即转化为一般的线性规划问题显然，当直线经过点 B 时，目标函数取得最大值， zmax21.思维升华 对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题(1)已知 x， y 满足约束条件Error!当目标函数 z ax by(a0， b0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2 b2的最小值为( )54A5 B4C. D25(2)(2017杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨，硝酸盐 18 吨；生产 1 车皮乙种肥料
5、需要的主要原料是磷酸盐 1 吨，硝酸盐 15 吨现库存磷酸盐 10 吨，硝酸盐 66 吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产1 车皮甲种肥料产生的利润为 10 000 元，生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 5 000 元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是_元答案 (1)B (2)30 000解析 (1) 画出满足约束条件的可行域如图所示，可知当目标函数过直线 x y10 与 2x y30 的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a b2 .因为 a2 b2表示原点(0,0)到点( a， b)的距离的平方，所以 的最小值为5 a2 b2原点到直线 2a b2 0 的距离，即( )min 2
6、，所以 a2 b2的最小值是5 a2 b2| 25|22 124，故选 B.(2)设生产甲种肥料 x 车皮，生产乙种肥料 y 车皮，则 z10 000 x5 000 y，约束条件为Error!画出可行域如图所示，由图可知，在 D(2,2)处 z 有最大值，且 zmax10 00025 000230 000(元)题型三 基本不等式的应用例 3 (1)在面积为定值 9 的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是( )A3 B25C4 D5(2)(2016浙江五校第一次联考)已知 a0， b0， c1，且 a b1，则( 2) ca2 1ab的最小值为_2c 1答案 (1)A (2)42 2解
7、析 (1)设扇形的半径为 r，其弧长为 l，由题意可得 S lr9，故 lr18.12扇形的周长 C2 r l2 2 12，2rl 218当且仅当 2r l，即 r3， l6 时取等号(2) a2 1ab a2 a b 2ab 2a2 2ab b2ab 22 22ab ba 2abba2 2，2当且仅当Error!即Error! 时等号成立，( 2) c 2 ca2 1ab 2c 1 2 2c 12 (c1) 222c 1 22 2 42 ，22 c 1 2c 1 2 2当且仅当 2 (c1) ，即 c1 时，等号成立22c 1 22综上，所求最小值为 42 .2思维升华 (1)应用型问题解题
8、时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义(1)设 x， y 均为正实数，且 1，则 xy 的最小值为( )32 x 32 yA4 B4 3C9 D16(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为 2 000 元/m2；材料工程费在建造第一层时为 400 元/m 2，以后每增加一层费用增加 40 元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成_层答案 (1)D (2)106解析 (1)由 1 可得 xy8 x y.32 x 32 y x， y 均为正实数， xy8
9、 x y82 (当且仅当 x y 时等号成立)，即xyxy2 80，解得 4，即 xy16，故 xy 的最小值为 16.xy xy(2)设应把楼房设计成 x 层，每层有面积 y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k2 000y y400 y440 y400 40 x 1 xy 20 x3802 380780，当且仅当 20 x，2 000x 2 000x 20x 2 000x即 x10 时取等号，故应把楼房设计成 10 层题型四 绝对值不等式例 4 设不等式| x1| x1|2 的解集为 M.(1)求集合 M；(2)若 x M，| y| ，| z| ，求证：| x2 y3 z| .16 1
10、9 53(1)解 Error! x；Error! 1 x1；Error! x，综上所述，不等式的解集即集合 M 为1,1(2)证明 | x2 y3 z| x|2| y|3| z|12 3 ，16 19 53| x2 y3 z| .53思维升华 (1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值(1)(2016杭州质检)已知函数 f(x)| x5| x3| x3| x5| c，若存在正常数 m，使 f(m)0，则不等式 f(x)2 时，不等式( x2)( x m)2 时，不等式的解集为 x|2g(x)对任意的 xR 都成
11、立，求 k 的取值范围解 (1) f(x) | x3| x4|，x2 6x 9 x2 8x 16 x 3 2 x 4 2 f(x) f(4)，即| x3| x4|9，Error! 或Error!或Error!解得 x5 或 x4， f(x) f(4)的解集为 x|x5 或 x4(2)f(x)g(x)，即 f(x)| x3| x4|的图象恒在 g(x) k(x3)图象的上方，又 f(x)| x3| x4|Error!g(x) k(x3)的图象恒过定点 P(3,0)，作函数 y f(x)， y g(x)的图象如图，其中kPB2， A(4,7)，8 kPA1，由图可知，要使得 f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方，则需12，所以 M(a)Error!
