1、1一元二次方程根的分布一知识要点二次方程 的根从几何意义上来说就是抛物线 与 轴交点的02cbxa cbxay2横坐标，所以研究方程 的实根的情况，可从 的图象上进行研2究若在 内研究方程 的实根情况，只需考察函数 与),(0cbxa 2轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由 的系数可判x cbxay断出 的符号，从而判断出实根的情况21,x若在区间 内研究二次方程 ，则需由二次函数图象与区间关系来确)(nm2cx定1二次方程有且只有一个实根属于 的充要条件),(nm若 其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根,若 不是二次方程 的根，二次函数 的图象有以下几种n02cb
2、xa cbxaxf2)(可能：（1） （2）21,0xma nm21,0（3） （4）21,0xnma nxma21,0由图象可以看出， 在 处的值 与在 处的值 符号总是相反，即)(xfm)(fnx)(f；反之，若 ， 的图象的相对位置只能是图中四种情况之0)(nfm0)(nf一所以得出结论：若 都不是方程 的根，记 ，则 有且,2acba cbxaf2)( 0)(xf只有一个实根属于 的充要条件是 ),(n)(fyOn1x2x yO1x2xxyOn1x2 xyOn1x222二次方程两个根都属于 的充要条件),(nm方程 的两个实根都属于 ，则二次函数 的0acbax ),(nmcbxaxf
3、2)(图象与 轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于 小于 ，它的图象有mn以下几种情形：（1） （2）nx21,0 a21,0（3） （4）nxma21,0 nxma21,0由此可得出结论：方程 的两个实根都属于区间 的充要条件是：)0(2acbxa ),(nmnabmf2)(4这里 cxxf)(同理可得出：3二次方程 的两个实根分别在区间 的两侧（一根小于 ，另一根大02b),(nmm于 ）的充要条件是：n0)(afm这里 cbxx24二次方程 的两个实根都在 的右侧的充要条件是：0),(nyO1x2 yO21xxyOn1x2 xyO21x3nabfc20)(42二次方程
4、的两个实根都在 的左侧（两根都小于 ）的充要条件是：cx),(nmmmabf20)(42这里 cxxf)(二例题选讲例设关于 的方程 R） ，bx(0241（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。例已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 ff(x)=x 也无实根例设 ， ，若 ，求实数 的取值范围2,4)A240BxaBAa4变式：已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于 1，求 m 的取值范围例已知方程
5、有两个负根，求 的取值范围)(0)32()1(42 Rmxmx m例求实数 的范围，使关于 的方程 mx062)1(2mx（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根 ，且满足 , 40（）至少有一个正根5例 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1，2) 内，求 m 的范围.(2) 若方程两根均在区间(0， 1)内，求 m 的范围.变式：已知方程 2x2 2(2a-1)x + a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间，求 a 的取值范围例已知二次方程 的两个根都小于 1，求 的取值范围02)12(mxx
6、m6变式：如果二次函数 y=mx2+(m3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m的取值范围.例已知 是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零a2()3fxaxa()yfx1，点，求 的取值范围二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用下面再举两个例子：例求函数 y = (10,求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygcormqp12(1) pf( )0;1m(2) 方程 f(x)=0 在(0，1) 内恒有解。9参考答案例分析：可用换元法，设 ，原方程化为二次方程 ，但要注意 ，tx2
7、02bt 0t故原方程有解并不等价于方程 有解，而等价于方程 在 内0b ),(有解另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程 有解，则 的值域x)(xfa)(fa解：（1）原方程为 ，124xb，12421 xx时方程有实数解；),当（2） 当 时， ，方程有唯一解 ；x 0x当 时， .b bb1)(2的解为 ；xx ,01,0 )1(log2b令 ,的解为 ；x,时当 l2x综合 、 ，得1）当 时原方程有两解： ；0b )1(ogb2）当 时，原方程有唯一解 ；1或 l23）当 时，原方程无解。例证明：方程 f(x)=x 即 f(x)-x=ax2
8、+(b-1)x+c=0 无实根， f(x)-x 仍是二次函数，f(x)-x=0 仍是二次方程，它无实根即 =(b-1)2-4ac0 若 a0，则函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴上方， y0，即 f(x)-x0 恒成立，即：f(x) x 对任意实数 x 恒成立。 对 f(x)，有 f(f(x)f(x)x 恒成立 f(f(x)=x 无实根 若 a0，函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴下方 y0，即 f(x)-x0 恒成立 对任意实数 x，f(x) 0 恒成立 对实数 f(x)，有：f(f(x)f(x) x 恒成立 10 f(f(x)=x 无实根 综上可知，当 f(x)=x 无实根时，
9、方程 f(f(x)=x 也无实根例分析：观察到方程 有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决240xa解：因 有两个实根240xa， ，2124a故 等价于 且 ，即BAx24且 ，42a2a解之得 03变式：解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1 在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -32-3m3 - m .13 53例解：依题意有032)1()442 1例解：设 62)(2xxfy（） 依题意有 ，即 ，得 ) 04m1（） 依题意有解得： 014)(560mff 457（）方程至少有一个正根，则有三种可能：有两个正根，此时可得 ，即 02)1(f135m或 1有一个正根，一个负根，此时可得 ，得 (f有一个正根，另一根为，此时可得 )63综上所述，得 1m例解：(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0) 和(1，2)内，则
