1、一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当0 时_ 方程_ ，当=0 时_ 方程有_ ，当2 时,原方程永远有两个实数根.223840xm例 2.已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根.2(1)0kxk(1)求 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由.例 3.已知关于 x 的方程 22(3)410kxk(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;例 4.已知关于 x 的一元二次方程 21()302xm(1)求证： 无论 m 取什么实
2、数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这个方程的两个实数根 满足 ， 求 m 的值。12,12例 5.当 m 为何值时， 方程 的两根：28()70xm(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.例 6.已知 a,b,c,是 ABC 的三 边长， 且关于 x 的方程 有两个相等的实22(1)(1)0bxacx根，求证： 这个三角形是直角三角形。例 7.若 n0 ，关于 x 的方程 有两个相等的正的实数根， 求 的值。21()04mnxmn课堂练习：1.下列一元二次方程中， 没有 实数根的是（ ）A. B.
3、C. D. 210x20x210x20x2.已知 是方程 的两个根， 则 的 值是（ ）12,3112A.3 B.-3 C C. D .13.关于 x 的二次方程 的一个根为 0， 则 m 的值为（ ）22(1)30mxmA.1 B.-3 C.1 或3 D.不等于 1 的实数4.方程 的两根互为相反数， k 的值为（ ）2(5)()0kkA. k =5 或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对5.若方程 的两根之差的平方为 48， 则 m 的值为（ ）24xmA.8 B.8 C.-8 D.46.已知关于 x 的方程 ， 若有一个根为 0， 则 m=_ ， 这时方程的另一2
4、10(3)70x个根是 _； 若两根之和为 ， 则 m=_ ， 这时方程的两个根为_57.已知方程 的一个根为 ， 可求得 p=_2xp28.若 是关于 x 的方程 的一个根， 则另一个根为 _ ， k = _ 。3280xk9.方程 两根为 ， 则 。26502 2_,()_10.要使 与 是同类项， 则 n=_249nan11.解下列方程：(1) (2) (3) 2(1)6x2430x2530x12.关于 x 的方程 有实数根， 求 a 的取值范围。(1)()aa13.设 是方程 的两根， 利用根与系数关系求下列各式的 值：12,x2410x(1) ； (2) ； (3) .12()21x
5、21x14.关于 x 的方程 ， 试说明无 论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。()(3)0a15.已知关于 x 的方程 ，22(1)mx（ 1） m 为何值时， 方程有两个相等的实数根？（ 2） 是否存在实数 m， 使方程的两根 ?若存在， 求出方程的根； 若不存在， 请说明理由。12+x16.关于 x 一元二次方程 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三2()()0cbxaxb边的长,试判断这个三角形的形状。17.已知 RtABC 中， 两直角 边长为方程 的两根， 且斜边长为 13， 求2(7)4(2)0xmx的值.SABC韦达定理的应用测试题日期：_月_日 满分
6、：_ 100 分 姓名：_ 得分：_1.关于 x 的方程 中， 如果 a0 D. k-2 且 a 2 D. a -2 且 a 27.设 n 为方程 的一个根， 则 等于_2()mxnmn8.如果一元二次方程 有两个相等的实数根， 那么 k=_240k9.如果关于 x 的方程 有两个不相等的实数根， 那么 k 的取值范围是_22(1)x10.已知 是方程 的两根， 则：12,5(1) =_ ； (2) =_ ； (3) =_x12x 21()x11.解下列一元二次方程：(1) (2) (3) 23102743026012.已知关于 x 的方程 的一个根为 4， 求 m 值及此方程的另一个根。2(
7、1)mx13.已知： 关于 x 的一元二次方程 ， 若 m0， 求证： 方程有两个不22(3)18xx相等的实数根。14.若规定两数 a, b 通过“ ” 运算, 得到 4ab, 即 ab=4ab. 例如 26=426=48.(1) 求 35 的值； (2) 求 xx+2 x-24=0 中 x 的值。15.求证： 不论 k 取什么实数， 方程 一定有两个不相等的实数根.2(6)4(3)0k一元二次方程韦达定理的应用参考答案知识点：一元二次方程根的判别式 ：当0 时 方程有 两个不相等的实数根，240bac当=0 时 方程有有 两个相等的实数根，当2 时,原方程永远有两个实数根.223840xm
8、分析： 配方法 论证24()41()bac例 2.已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根.2kxk(1)求 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由.（1） 且 （2）不存在， k=-1 时无实数根30例 3.已知关于 x 的方程 2(3)410kxk(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;(1)k5 （2） 3k例 4.已知关于 x 的一元二次方程 21()302xm(1)求证： 无论 m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这
9、个方程的两个实数根 满足 ， 求 m 的值。12,12（1） 2 24()4(3)6(3)70bac（2） ，2121xx1x，代入方程求 m 的值，1 20,7例 5.当 m 为何值时， 方程 的两根：28(1)70x(2) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.分析： 224(1)48(7)0bacm两根之和和两根之积去判断。例 6.已知 a,b,c,是 ABC 的三 边长， 且关于 x 的方程 有两个相等的实22(1)(1)0bxacx根，求证： 这个三角形是直角三角形。证明： 224()0bacbc2ac例 7
10、.若 n0 ，关于 x 的方程 有两个相等的正的实数根， 求 的值。21()4mnx mn分析： 2() 0mn1,4n课堂练习：1.下列一元二次方程中， 没有 实数根的是（ C）A. B. C. D. 210x20x210x20x2.已知 是方程 的两个根， 则 的 值是（ A ）12,3112A.3 B.-3 C C. D .13.关于 x 的二次方程 的一个根为 0， 则 m 的值为（B ）22(1)30mxmA.1 B.-3 C.1 或3 D.不等于 1 的实数4.方程 的两根互为相反数， k 的值为（ C ）2(5)()0kkA. k =5 或 - 5 B. k =5 C. k =
11、-5 D.以上都不对5.若方程 的两根之差的平方为 48， 则 m 的值为（ A ）24xmA.8 B.8 C.-8 D.46.已知关于 x 的方程 ， 若有一个根为 0， 则 m=_7_ ， 这时方程的另210(3)70x一个根是_0_； 若两根之和为 ， 则 m=_-9_,这时方程的两个根 为_57.已知方程 的一个根为 ， 可求得 p=_ _2xp2128,5x8.若 是关于 x 的方程 的一个根， 则另一个根为 ，k = _2_ 。3280xk39.方程 两根为 ， 则 。26502 2_4,()_910.要使 与 是同类项， 则 n=_2 或 3_2469na3n11.解下列方程：(
12、1) (2) (3) 2(1)x2430x2530x253,12, 12,12.关于 x 的方程 有实数根， 求 a 的取值范围。2()()axa且8013.设 是方程 的两根， 利用根与系数关系求下列各式的 值：12,x241x(1) ； (2) ； (3) .12()21x21x（1） 7(2)6(3)314.关于 x 的方程 ， 试说明无 论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。2(1)(3)0ax分析： 2()415.已知关于 x 的方程 ，22(1)30mx（ 1） m 为何值时， 方程有两个相等的实数根？（ 2） 是否存在实数 m， 使方程的两根 ?若存在， 求出方程的根；
13、若不存在， 请说明理由。12+x(1) ，2224(1)(3)840m12,3m（2） ，可得 ，解得2121xx23717,16.关于 x 一元二次方程 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三2()()0cbxaxb边的长,试判断这个三角形的形状。解答： ， 或24()()4()bacac等腰三角形17.已知 RtABC 中， 两直角 边长为方程 的两根， 且斜边长为 13， 求2(7)4(2)0xmx的值.SABC答案： 5,30m韦达定理的应用测试题日期：_月_日 满分：_ 100 分 姓名：_ 得分：_1.关于 x 的方程 中， 如果 a0 D. k-2 且 a 2 D.
14、 a -2 且 a 27.设 n 为方程 的一个根， 则 等于_-1_2()mxnmn8.如果一元二次方程 有两个相等的实数根， 那么 k=_2_240k9.如果关于 x 的方程 有两个不相等的实数根， 那么 k 的取值范围是_2(1)0x_98k10.已知 是方程 的两根， 则：12,x250x(1) =_-5_ ； (2) =_2_ ； (3) =_17_12 21()x11.解下列一元二次方程：(1) (2) (3) 2310x27430x260x()()13712,1x123,7x12.已知关于 x 的方程 的一个根为 4， 求 m 值及此方程的另一个根。2()0m196,5m13.已知： 关于 x 的一元二次方程 ， 若 m0， 求证： 方程有两个不22(3)418xx相等的实数根。14.若规定两数 a, b 通过“ ” 运算, 得到 4ab, 即 ab=4ab. 例如 26=426=48.(1) 求 35 的值； (2) 求 xx+2 x-24=0 中 x 的值。（1）4x3x5=60 （2） 124,15.求证： 不论 k 取什么实数， 方程 一定有两个不相等的实数根.2(6)4(3)0xk分析： 224(6)130bac
