1、1数列等差数列 等比数列定义数列 na的后一项与前一项的差 1为常数 d数列 na的后一项与前一项的比1n为常数 q（ q0）专有名词 d为公差 q 为公比通项公式 1()nad1na前 n 项和 11()2nnS11nnnSqaq一、等差数列的性质：（1 ）公式变形（2 ）如果 A= ab2,那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项.（3 ）若 an为等差数列，且有 k+l=m+n, 则 aklamn（4 ）若 n,bn为等差数列则 panqbn是等差数列，其中 p,q 均为常数（5 ）若 an为等差数列，则 ak,km,k2m,.（k,m N*）组成公差为 md 的等差数列.（6 ）若 Sm
2、,2,S3m分别为 n的前 n 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 Sm, 2mSm,S3m2成等差数列.（7 ）若 an设等差数列，则 Sn是等差数列，其首项与 an首项相同，公差是 an公差的 12（8 ）非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为 2n,则 S 偶 -S 奇 =nd， 若项数为 2n-1,则 S 偶 =(n-1)an，S 奇 =nan， 1na奇偶1-nS奇偶判断方法：定义法：a n+1-an=d（nN +） 中项法： 2an+1=an+ an+2 an为等差数列。 通项公式法：a n=an+b（a,b 为常数） 前 n 项和公式法：S n=An2+Bn（A,B 为常数
3、）2二、等比数列的性质：（1 ）等比数列 满足 或 时， 是递增数列；an01a01a01a0an当 q=1 时， 为常数数列；an当 q0 时， 为摆动数列，且所有奇数项与 同号，所有偶数项与 异号.n a1 a1（2 ）正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则在等比数列 中， 的关系为:nam,n,ap,qamnapq（3 ）若 , 为等比数列（项数相同） ，则 ( 0), , , , 仍是等anbn an1an2nanbann比数列.（4 ）如果 a,G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G=ab 。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且
4、有两个等比中项。判断方法：定义法 三、数列求和的常用方法（1） 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。（2）裂项相消法:适用于 1nac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。（3）错位相减法:适用于 nb其中 n是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列。（4）倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法（5）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。3四、求数列通项公式的常用方法求数列的通项公
5、式是数列考题中的常见形式，是利用数列知识考查数字运用能力的常见题型，在各类选拔性考题中经常出现，为了帮助同学们掌握这类知识，下面归纳几种常用的方法，供参考。（一）运用等差数列和等比数列知识 若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。例 1：若等差数列a n满足 bn=( 21) na，且 b1+b2+b3= 8,b1b2b3=8，求通顶公式an.（二）运用 Sn与 an的关系 对任意的数列 的前 项和 nS与通项 na的关系：)2(11nsan例 2：已知数列a n的前 n 项和 Sn=10n+1，求通项公式 an.例 3：正项数列a n的前 n 项和为 Sn，若 2 n=an+
6、1(nN *)，求通项公式 an.（三）累加法和累乘法 若已知数列的递推公式为 an+1=an+f(n)可采用累加法，数列的递推公式为 an+1=anf(n)则采用累乘法。4例 4：在数列a n中 a1=1，当 n2 时，有 an=an-1+2n，求其通项 an.例 5: 在数列a n中 a1=1，当 n2 时，有(n+1)a n=nan-1，求其通项 an.（四）构造法 通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。例 6: 数列 nnnn aa则中 12,1例 7：数列 中， ，则 。n23,a例 8：已知数列 中 ，则 。n )3(,51
7、21 n n例 9：设数列 的前项和为 成立，求证： 是等比数列。anSaS,若 12例 10：数列 满足 ，则n 11123,3nn na例 11：数列 中，若 ， ，则na21nna14变式题型：数列 中， ，求n nn3,11na（五）猜证法 根据给出的公式，先求出数列的前 n 项，从中观察出规律，猜出通项公式，再用数学归纳法证明。5例 12：已知数列a n满足 a1=1，S n= na2，求通项 an.复习题1在等差数列 na中， 23a5， 14，则公差 d等于（ ） A B0 C D 2在等差数列 na中， 35710324,aa则该数列前 13项的和是（ ）A 13 B 26 C
8、 D 563已知 Sn是等差数列a n的前 n 项和，若 319a，则 3S=（ ）A3 B5 C D4已知的等差数列 na的前 项和为 nS，且满足 23，则数列 na的公差是（ ）A 1 B 2 C D 45已知数列 na中， 3， 15a，若 na是等差数列，则 1a等于（ ）A 0 B 6 C 3 D 26已知等差数列 na的前 项和为 nS，且满足 19a, 53S，则使 nS取最大值时的 n的值为（ ）A8 B10 C9 或 10 D8 或 97已知等比数列 na的公比为正数，且 253a， ，则 q（ ）A 21 B 2 C D268设 nS为等比数列 na的前 项和，已知 34
9、2Sa， 32Sa，则公比 q（ ）A3 B4 C5 D69已知 na是等比数列， 21,4a，则 231naa （ ）A 213 B 16n C 6n D 24n10已知 na为等比数列，若 231a，且 4a与 72的等差中项为 5，则 7a（ ）A1 B 1 C D 1411已知数列 na满足 12430,3na则 na的前 10 项和等于（ ）A -1063 B -9 C -10 D -103+12在等差数列 中，公差 , , ，那么下列各式中与 相等的是na0d1a20Smm（ ）A. B. C. D. 3521020d912a13若一个等差数列的前 3 项和为 34，最后 3 项的
10、和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有 （ ） A13 项 B12 项 C11 项 D10 项14设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 ，则 为（ ）S 3S 6 13S 6S 12A. B. C. D.310 13 18 1915在等差数列 n中， 452，那么 27a 16在等差数列 a中，已知 315,nnaS，则 1 17在等比数列 n中，已知 6， 38，则公比 q 18数列 的前 项和为 nS，已知数列 n是首项和公比都是 3的等比数列，则na的通项公式 na 19已知 是等差数列，公差 d不为零若 2a， 3， 7成等比数列，且 12a，则 n 720等差数列
11、共有 项，其中奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则其中间na12319290项为 .21若两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且满足 ，则nbnnST37nS.8ab22.已知 nS是等差数列 na的前 n 项和，且 675S，给出下列五个命题： 0d； 1； 120S；数列 n中的最大项为 1S； 67a。其中正确的命题是 23已知等差数列 na的前 项和为 n，且 13a， 243（1）求数列 的通项公式；（2）设 5)6(1nab，求数列 nb中的最小的项24设 nS为等差数列 naN的前 n项和，且 13,6aS（1）求公差 d的值；（2） 3n，求所有满足条件的 的值25.已知数
12、列a n的首项 a1=3,通项 an与前 n 项和 Sn之间满足82an=SnSn-1(n2).(1)求证:数列 是等差数列,并求公差.(2)求数列a n的通项公式.26.数列 na满足 121 24nna , *N.(1) 求 3的值；(2) 求数列 n前 项和 nT；27.在数列 an中，已知 ，点（ ）在函数 图像上，211,naxf2（1）求证：数列 是等比数列nlg（2）设 ，求数列 的前 项和2nnabnbns928已知在等比数列 na中， 1，且 2a是 1和 3的等差中项（）求数列 的通项公式；（）若数列 nb满足 )(2*Nnn，求 nb的前 项和 nS29.数列x n满足
13、x11，x 2 ，且 (n2)，23 1xn 1 1xn 1 2xn（）求数列x n的通项公式；（）令 ，求数列b n的前 n 项和 的值.b nS30正项数列 满足： ， ，数列 为等差数列，na1(3)(2)nnnaa1nb， 。321b31b（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式；nnb（2）令 ，求数列 的前 n 项和 。cacT31设等比数列 na的前 n 项和为 nS， 813a，且 62S， 3， 4S成等差数列，数10列 nb满足 n8（1）求数列 a的通项公式；（2）求数列 nb的前 n 项和 Tn32已知数列 的前 n 和 ，数列 满足 ，数bnS213na)2(34nbn）*N列 满足 ncna（1）求数列 和数列 的通项公式； （2）求数列 前 n 和 ；n cT（3）若 对一切正整数 n 恒成立，求实数 的取值范围142mcn m33已知等差数列 na 中， 389,2a（1）求数列 的通项公式及前 项和 nS 的表达式；（2）记数列 1na的前 项和为 nT ，求 10 的值
