1、 1 信息论与编码课后习题答案详解2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？ 解： 四进制脉冲可以表示 4 个不同的消息，例如：0, 1, 2, 3 八进制脉冲可以表示 8 个不同的消息，例如：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 二进制脉冲可以表示 2 个不同的消息，例如：0, 1 假设每个消息的发出都是等概率的，则： 四进制脉冲的平均信息量 H X( 1) = logn = log4 = 2 bit symbol/ 八进制脉冲的平均信息量H X( 2) = logn = log8 = 3 bit symbol/ 二进制脉冲的平均信息量 H X( 0) = log
2、n = log2 =1 bit symbol/ 所以： 四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍。 2.2 居住某地区的女孩子有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的，而女孩子中身高 160 厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高 160 厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解： 设随机变量 X 代表女孩子学历 X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75 设随机变量 Y 代表女孩子身高 Y y1（身高 160cm） y2（身高 log6 不满足信源熵的极值性。 解： H X p x p
3、xi=(0.2log0.2 + 0.19log0.19 + 0.18log0.18+ 0.17log0.17 + 0.16log0.16 + 0.17log0.17) = 2.657 bit symbol/H X( ) log 62 = 2.585不满足极值性的原因是 。 i2.7 证明：H(X 3/X1X2) H(X 3/X1)，并说明当 X1, X2, X3是马氏链时等式成立。证明： H X(3 / X X12 ) H X(3 / X1)= p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 ) + p x x( i1 i3 )log p x( i3 / xi
4、1)i1 i2 i3 i1 i3= p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 ) + p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / xi1)i1 i2 i3 i1 i2 i3 p x( i3 / xi1)= i1 i2 i3 p x x x( i1 i2 i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 ) p x( i3 / xi1) 1log2 e i X x 2.6 设信源 = 1x2 x3 x4 x5 x6 ，求这个信源的熵，并解释为什么 4 i1 i2 i3 p x x x( i1 i2 i3 ) p x( i3 / x
5、xi1 i2 ) = p x x( i1 i2 ) (p xi3 / xi1) p x x x( i1 i2i3 )log2 e i1 i2 i3 i1 i2 i3 = p x x( i1 i2 ) p x( i3 / xi1) 1log2 e i1 i2 i3 = 0H X( 3 / X X1 2) H X( 3 / X1)p x( i3 / xi1) 1 0 时等式等等当 = p x( i3 / x xi1 2i ) p x( i3 / xi1) = p x( i3 / x xi1 2i ) p x x( i1 2i ) (p xi3 / xi1) = p x( i3 / x xi1 2i
6、 ) (p x xi1 2i ) p x( i1) (p xi2 / xi1) (p xi3 / xi1) = p x x x( i1 2 3i i ) p x( i2 / xi1) (p xi3 / xi1) = p x x( i2 3i / xi1)等式等等的等等是 X1, X2, X3 是马氏链_2.8 证明：H(X 1X2 。 。 。 Xn) H(X 1) + H(X2) + + H(Xn)。证明： H X X( 1 2.X n ) = H X( 1)+ H X(2 / X1)+ H X( 3 / X X1 2 )+.+ H X( n / X X1 2.X n1 )I X( 2 ;X1
7、 ) 0 H X( 2 ) H X( 2 / X1 ) I X( 3;X X1 2 ) 0 H X( 3 ) H X(3 / X X1 2 ).I X( N;X X1 2.Xn1) 0 H X( N ) H X( N / X X1 2.Xn1)H X X( 1 2.Xn) H X( 1)+H X( 2)+H X( 3)+ +. H X( n)2.9 设有一个信源，它产生 0，1 序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按 P(0) = 0.4，P(1) = 0.6 的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算 H(X2), H(X3/X1X2)及 H ；
8、(3) 试计算 H(X4)并写出 X4信源中可能有的所有符号。 解： 5 (1) 这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间 而且不论以前发生过什么符号 ” (2) H X(2 ) = 2H X() = 2(0.4log0.4+ 0.6log0.6) =1.942 bit symbol/H X( 3 / X X1 2 ) = H X( 3 ) = p x( i )log p x( i ) = (0.4log0.4+ 0.6log0.6) = 0.971 bit symbol/ iH = lim H X( N / X X1 2.X N1 ) = H X( N ) = 0.971 b
9、it symbol/N(3) H X(4 ) = 4H X() = 4(0.4log0.4+ 0.6log0.6) = 3.884 bit symbol/X 4 的所有符号： 0000 0001 001000110100 0101 011001111000 1001 101010111100 1101 111011112.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源 X 的符号集为0, 1, 2。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵 H 。 解： (1) p e( 1 ) = p e p e( 1 ) ( 1 /e1 ) + p e( 2 ) (p e1 /e2 )p e(
10、 2 ) = p e( 2 ) (p e2 /e2 ) + p e( 3 ) (p e2 /e3 )p e( 3 ) = p e( 3 ) (p e3 /e3 ) + p e p e( 1 ) ( 3 /e1 )p e( 1 ) = p p e( 1 ) + p p e ( 2 ) 6 p pppp p log1log1log1log1log1log131 + + += +p e( 2 ) = p p e ( 2 ) + p p e ( 3 )p e( 3 ) = p p e( 3 ) + p p e ( 1 ) p e( 1 ) = p e( 2 ) = p e( 3 )p e( 1 ) +
11、 p e( 2 ) + p e( 3 ) =1p e( 1 ) =1/3p e( 2 ) =1/3 p e( 3 ) =1/3p x( 1 ) = p e( 1 ) (p x1 /e1 ) + p e( 2 ) (p x1 /e2 ) = p p e( 1 ) + p p e( 2 ) = (p + p)/3 =1/3p x( 2 ) = p e( 2 ) (p x2 /e2 ) + p e( 3 ) (p x2 /e3 ) =p p e( 2 ) + p p e( 3 ) = (p + p)/3 =1/3p x( 3 ) = p e( 3 ) (p x3 /e3 ) + p e p x( 1
12、 ) ( 3 /e1 ) = p p e ( 3 ) + p p e ( 1 ) = (p + p)/3 =1/3 X 0 1 2 P X( ) = 1/3 1/3 1/3(2) H p e p e( ) (/e )log p e( j /ei ) i j= 13 p e( 1 /e1)log p e( 1 /e1) + 13 p e( 2 /e1)log p e( 2 /e1) + 13 p e( 3 /e1)log p e( 3 /e1) 1 1 1 + 3 p e( /e )log p e( 1 /e3) + 3 p e( 2 /e3)log p e( 2 /e3) + 3 p e( 3
13、 /e3)log p e( 3 /e3)3 3 p p 3 p p 3 3 p p 3 7 = (plog p + plog p bit symbol) /2.11 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源 X=黑，白。设黑色出现的概率为P(黑) = 0.3，白色出现的概率为 P(白) = 0.7。 (1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵 H(X)； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为 P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) = 0.2，P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵 H2(X); (3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较 H(
14、X)和 H2(X)的大小，并说明其物理含义。解： (1) H X() = p x( i )log p x( i ) =(0.3log0.3+ 0.7log0.7) = 0.881 bit symbol/ i(2) p e( 1 ) = p e p e( 1 ) ( 1 /e1 )+ p e( 2 ) (p e1 /e2 )p e( 2 ) = p e( 2 ) (p e2 /e2 )+ p e p e( 1 ) ( 2 /e1 )p e( 1 ) = 0.8 (p e1 )+ 0.1 (p e2 )p e( 2 ) = 0.9 (p e2 )+ 0.2 (p e1 )p e( 2 ) = 2
15、(p e1 )p e( 1 )+ p e( 2 ) =1 p e( 1 ) =1/3p e( 2 ) = 2/3H = p e p e( i ) ( j /ei )log p e( j /ei )i j= 10.8log0.8+ 10.2log0.2+ 2 0.1log0.1+ 2 0.9log0.93 3 3 3 0.553 = bit symbol/(3) 1 = H 0 H = log20.881 =11.9%H 0 log2 8 44.7%H(X) H2(X) 表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。 2.12
16、 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为 1/6，求： (1) “3 和 5 同时出现”这事件的自信息； (2) “两个 1 同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即 2, 3, , 12 构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是 1 的自信息量。解： (1) p x( i ) = + = I x( i ) = log p x( i ) = log = 4.170 bit(2) p x( i ) = = I x( i ) = log p x( i ) = log = 5.170 bit(3) 两个点数的排列
17、如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 共有 21 种组合：其中 11，22，33，44，55，66 的概率是 其他 15 个组合的概率是 9 H X( ) = p x( i )log p x( i ) = 6 361 log361 +15181 log181 = 4.337 bit symbol/ i (4) 参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下： P X(X ) = 3612 1813
18、1214 195 3656 176 3685 919 1012118111 12361 H X() = i p x( i )log p x( i ) = 2 1 log 1 + 2 1 log 1 + 2 1 log 1 + 2 1log1 + 2 5 log 5 + 1log 1 36 36 18 18 12 12 9 9 36 36 6 63.274 = bit symbol/(5) p x( i ) = 11= I x( i ) = log p x( i ) = log =1.710 bit2.13 某一无记忆信源的符号集为0, 1，已知 P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 (
19、1) 求符号的平均熵； (2) 有 100 个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有 m 个“0”和（100 - m）个“1” ）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。 解： (1) H X( ) = p x( i )log p x( i ) = 14log 14 + 43log 34 = 0.811 bit symbol/ i (2) 10 p x( i ) = 14m 34100m = 34100100m 3100mI x( i ) = log p x( i ) = log 4100= 41.5+1.585m bit (3) H X( 100) =100H X() =1000
20、.811= 81.1 bit symbol/ 2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下： 若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵； (2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。解： (1) 根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下： X x1 忙 闲 x2 P X( ) = 10363 10340 H X( ) = 2 p x( i )log p x( i ) = 10363 log10363 +10340 log10340 = 0.964 bit symbol/ i (2) 设忙闲为随机变量 X，天气状态为随机变量 Y，气温状态为随机变量 Z H XYZ() = p x y z( ijk )log p x y z( i j k )i j k= 12 log 12 + 8 log 8 + 27 log 27 + 16 log 16
