1、几何图形旋转常见问题一、填空题1.如图 1，把边长为 1 的正方形 ABCD 绕顶点 A 逆时针旋转 30到正方形ABCD，则它们的公共部分的面积等于 2如图 2，将一块斜边长为 12cm，B60的直角三角板 ABC，绕点 C 沿逆时针方向旋转 90至ABC的位置，再沿 CB 向右平移，使点 B刚好落在斜边 AB 上，那么此三角板向右平移的距离是 cm 3.正ABC 的边长为 3cm，边长为 1cm 的正RPQ 的顶点 R 与点 A 重合，点 P，Q 分别在 AC，AB 上，将RPQ 沿着边 AB，BC，CA 顺时针连续翻转（如图 3 所示），直至点 P 第一次回到原来的位置，则点 P 运动路
2、径的长为 cm4.如图 4，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，BCD45，将腰CD 以点 D 为中心逆时针旋转 90至 ED，连结 AE，CE，则ADE 的面积是 二、解答题5.如图 5-1，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与 A、C 重合)，PEBC 于点E，PFCD 于点 F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图 5-2，若四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形 ABCD 的两个顶点，分别与四边形 PECF 的两个顶点连结，使得到的两条
3、线段在四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .6.如图 61 是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图 62 中，先画线段 OA，将线段 OA 平移至 CB 处，得到风车的第一个叶片 F1，然后将第一个叶片 OABC 绕点 O 逆时针旋转 180得到第二个叶片 F2，再将 F1、F 2同时绕点 O 逆时针旋转 90得到第三、第四个叶片 F3、F 4.根据以上过程，解答下列问题：(1)若点 A 的坐标为(4，0)，点 C 的坐标为(2，1)，写出此时点 B 的坐标；(2)请你在图 62 中画出第二个叶片 F2；
4、(3)在(1)的条件下，连接 OB，由第一个叶片逆时针旋转 180得到第二个叶片的过程中，线段 OB 扫过的图形面积是多少？7.如图 7，在直角坐标系中，已知点 P0的坐标为(1,0)，将线段 OP0按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为 OP0的 2 倍，得到线段 OP1；又将线段 OP1按逆时针方向旋转 45，长度伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2；如此下去，得到线段 OP3，OP 4，OP n（n 为正整数）.（1）求点 P6的坐标；（2）求P 5OP6的面积；（3）我们规定：把点 Pn(xn,yn)（n=0,1,2,3,）的横坐标 xn、纵坐标 yn都取绝对值后得到的新坐标(|
5、x n|,|yn|)称之为点 Pn的“绝对坐标”根据图中点 Pn的分布规律，请你猜想点 Pn的“绝对坐标”，并写出来8.把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边 FG 与 BC 交于点H（如图 8）试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想9.如图 91，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图 92），量得他们的斜边长为 10cm，较小锐角为 30，再将这两张三角形纸片摆成如图 93的形状，但点 B、C、F、D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合（在图 93 至图 96 中统一用 F 表示）图 91 图 92
6、图 93小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图 93 中的ABF 沿 BD 向右平移到图 94 的位置，使点 B 与点 F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图 93 中的ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30到图 95 的位置，A 1F 交 DE 于点 G，请你求出线段 FG 的长度；（3）将图 93 中的ABF 沿直线 AF 翻折到图 96 的位置，AB 1交 DE 于点 H，请证明：AHDH.图 94 图 95 图 96参考答案一、1. 2. 62 3.2 4.1二、5. 解：（1）解法一：在ABP 与ADP 中，利用全等可得 BP=DP. 解法二
7、：利用正方形的轴对称性，可得 BP=DP. （2）不是总成立 . 当四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 P 旋转到 BC 边上时，DPDCBP，此时BP=DP 不成立. （3）连接 BE、DF，则 BE 与 DF 始终相等.在图 1-1 中，可证四边形 PECF 为正方形，在BEC 与DFC 中，可证BECDFC . 从而有 BE=DF . 6. 解：（1）B（6,1） （2）图略 （3）线段 OB 扫过的图形是一个半圆.过 B 作 BDx 轴于 D.由（1）知 B 点坐标为（6,1），OB 2OD 2BD 26 21 237.线段 OB 扫过的图形面积是 .7. 解：（1）根据
8、旋转规律，点 P6落在 y 轴的负半轴，而点 Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的 倍，故其坐标为 P6(0,26)，即 P6(0,64)（2）由已知可得，P 0OP1P 1OP2P n-1OPn，设 P1(x1,y1)，则 y1=2sin45= , .又 , .（3）由题意知，OP 0旋转 8 次之后回到 x 轴正半轴，在这 8 次中，点 Pn分别落在坐标象限的平分线上或 x 轴或 y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点 Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为 n.当 n=8k 或 n=8k+4 时（其中 k 为自然数），点 Pn落在 x 轴上，此时，点 Pn的绝
9、对坐标为(2 n,0)；当 n=8k+1 或 n=8k+3 或 n=8k+5 或 n=8k+7 时（其中 k 为自然数），点 Pn落在各象限的平分线上，此时，点 Pn的绝对坐标为 ，即 .当 n=8k+2 或 n=8k+6 时（其中 k 为自然数），点 Pn落在 y 轴上，此时，点 Pn的绝对坐标为(0,2 n)8. 解：HGHB证法 1：连结 AH（如图 10）.四边形 ABCD，AEFG 都是正方形，BG90由题意，知 AGAB，又 AHAH，RtAGHRtABH（HL）.HG=HB证法 2：连结 GB（如图 11）四边形 ABCD，AEFG 都是正方形，ABCAGF90由题意知 ABAGAGBABGHGBHBGHGHB9. 解：（1）图形平移的距离就是线段 BC 的长.在 RtABC 中，斜边长为 10cm，BAC=30，BC=5cm.平移的距离为 5cm（2 分）（2）A 1FA30，GFD60.又D=30，FGD90在 RtEFD 中，ED=10 cm， .FG cm（3）在AHE 与DHB 1中，FAB 1EDF30.FDFA，EFFBFB 1，FDFB 1FAFE，即 AEDB 1又AHEDHB 1，AHEDHB 1（AAS）AHDH.
