1、 2016 年全国卷（理科）数学试卷一、选择题（每小题 5 分）1. 设集合 ， ，则 （ ）034|2xA032|xBBAA. B. C. D.)3,(),(),1(),(2. 设 ，其中 ， 是实数，则 （ ）yixi1xyyixA. B. C. D.2323. 已知等差数列 前 9 项的和为 27， ，则 （ ）na810a10A.100 B.99 C.98 D.974. 某公司的班车在 7: 30，8 :00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）A. B. C. D.312345
2、. 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 的122nmyx n取值范围是（ ）A. B. C. D.)3,1()3,(),0()3,(6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）328A.17 B.18 C.20 D.287. 函数 在2，2的图像大致为（ ）xey（A） （B）（C ） （D）8. 若 ， ，则（ ）1ba0cA. B.ccbaC. D.baalogl balogl9. 执行右面的程序框图，如果输入的 ， ， ，则输出 ， 的值满足（ 0x1ynxy）A. xy2B. 3C. xy4
3、D. xy510. 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点，已知， ，则 的焦点到准线的距离为（ ）24AB5DEA. B. C. D.6811.平面 过正方体 的顶点 ， ，1DCBA1DCB平 面mABCD平 面，则 ， 所成角的正弦值为（ ）n1平 面A. B. C. D.233112. 已知函数 （ ， ） ， 为 的零点，)sin()xf 024x)(xf为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（ ）4x(xfyf)365,18(A. B. C. D.1972、 填空题（每小题 5 分）13. 设向量 ， ，且 ，则 _)1,(m
4、a)2,(b22bam14. 的展开式中， 的系数是_（用数字填写答案）52(x3x15. 设等比数列 满足 ， ，则 的最大值为_na103542ana2116. 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时. 生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元，该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为_元3、
5、解答题17. （本小题满分 12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知ABCCabccbBaC)osc(os2（1）求（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长7cABC23ABC18. （本小题满分 12 分）如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的五面体中，面ABCDEF为正方形， ， 90，且二面角 与二面角ABEFFDA2A都是 60C（1）证明：平面 平面BE（2）求二面角 的余弦值ABCE19. （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，
6、如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零Xn件数（1 ） 求 的分布列（2 ） 若要求 ，确定 的最小值5.0)(nXPn（3 ） 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应19n20选用哪个？20. （本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与01522xyAl
7、)0,1(B轴不重合， 交圆 于 ， 两点，过 作 的平行线交 于点xlACDBCDE（1 ） 证明： 为定值，并写出点 的轨迹方程EBE（2 ） 设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，过 且与 垂直的直线与圆1l1MNBl交于 ， 两点，求四边形 面积的取值范围APQPQ21. （本小题满分 12 分）已知函数 有两个零点2)1()2()xaexf（1）求 的取值范围a（2）设 ， 是 的两个零点，证明：1x2)(xf 21x请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，
8、 是等腰三角形， 120，以 为圆心， 为半径作圆OABAOBOA21（1 ） 证明：直线 与 相切ABO（2 ） 点 ， 在 上，且 ， ， ， 四点共圆，证明： CDCDABCD23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）. 在以坐xoy1ctayxsin1co0a标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ：2cs（1 ） 说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；1c1c（2 ） 直线 的极坐标方程为： ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点3 002tan01c2都在 上，求ca24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 321)(xxf（1 ） 在答题卡第（24 ）题图中画出 的图像)(xfy（2 ） 求不等式 的解集1)(xf答案单选题 1. D 2. B 3. C 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 10. B 11. A 12. B 填空题 13. 14. 15. 16. 简答题 17. 18. 19. 见解析20. 21. 22. 1923. 24. （ ）25. 26. ；27. 见证明。28. 见解析29. 见解析30.
