1、初三（下）相似三角形第 1 页 共 7 页相似三角形经典习题例 1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形例 2 已知：如图， ABCD 中， ，求 与 的周长的比，如果 ，2:1:EBAAEFCD2cm6AEFS求 CDFS例 3 如图，已知 ，求证： ABDCEABDE例 4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似 （2）所有的等腰三角形都相似（3）所有的等腰直角三角形都相似 （4）所有的等边三角形都相似例 5 如图，D 点是 的边 AC 上的一点，过 D 点画线段 DE，使点 E 在 的边上，并且点 D、点 E 和ABC ABC的一个顶点组成的小三角形与 相似尽
2、可能多地画出满足条件的图形，并说明线段 DE 的画法ABC例 6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约 30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约 60 厘米，求电线杆的高初三（下）相似三角形第 2 页 共 7 页例 7 如图，小明为了测量一高楼 MN 的高，在离 N 点 20m 的 A 处放了一个平面镜，小明沿 NA 后退到 C 点，正好从镜中看到楼顶 M 点，若 m，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到5.1AC0.1m） 例 8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由例 9
3、根据下列各组条件，判定 和 是否相似，并说明理由：ABC（1） ,cm4,5.2,cm.3AB cm28,c5.17,cm5.24 ACBA（2） 351045（3） 8,.1,.,8,6., BB例 10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据例 11 已知：如图，在 中， 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ABCBDA,36,ACD2初三（下）相似三角形第 3 页 共 7 页例 12 已知 的三边长分别为 5、12、13，与其相似的 的最大边长为 26，求 的面积 SABC CBACBA例 13 在一次数学活动课上，老师让同学们
4、到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处（如图） ，然后沿 BC 方向走到 D 处，这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得 C、 D 两点的距离为 3 米，小芳的目高为 1.5 米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由例 14如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使，然后再选点 E，使 ，确定 BC 与 AE 的交点为 D，测得 米， 米，BCABC120B60D米，你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗？5
5、0E例 15如图，为了求出海岛上的山峰 AB 的高度，在 D 和 F 处树立标杆 DC 和 FE，标杆的高都是 3 丈，相隔 1000 步（1 步等于 5 尺） ，并且 AB、 CD 和 EF 在同一平面内，从标杆 DC 退后 123 步的 G 处，可看到山峰 A 和标杆顶端 C在一直线上，从标杆 FE 退后 127 步的 H 处，可看到山峰 A 和标杆顶端 E 在一直线上求山峰的高度 AB 及它和标杆CD 的水平距离 BD 各是多少？（古代问题）例 16 如图，已知ABC 的边 AB ，AC 2，BC 边上的高 AD 33（1）求 BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在 AB 上，另外两个
6、顶点分别在 AC，BC 上，求这个正方形的面积初三（下）相似三角形第 4 页 共 7 页相似三角形经典习题答案例 1 解 、相似，、相似，、相似例 2 解 是平行四边形， ， ，ABCDCDAB,/ EFCD又 ， ， 与 的周长的比是 1：32:1:E3:1:EF又 ， )cm(6,)3(2AEFCDFASS )cm(542CDS例 3 分析 由于 ，则 ，因此 ，如果再进一步证明 ，BABDAEBCAECDB则问题得证证明 ， E又 ， ，ACAD DEC ， BB在 和 中， ， AECB,BADE例 4分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不
7、同（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同（3）正确设有等腰直角三角形 ABC 和 ，其中 ， 90则 ，45,45BA设 的三边为 a、 b、 c， 的边为 ，BCCAcba、则 ，cba2,2, ， （4）也正确，如 与 都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此 B ABC答：（1） 、 （2）不正确 （3） 、 （4）正确例 5解： 画法略初三（下）相似三角形第 5 页 共 7 页例 6分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即 厘米 米， 厘米 米，60DF.12GF.0米，求 BC由于 ，又 ， ，从而可以求出 BC 的30CEADF
8、ACFE,ABCE长解 ， ， ECA/,E, ACD又 ， ，BGF GFBG,/ ， ， FACD又 厘米 米， 厘米 米， 米， 米即电线杆的高为 6 米60D.12.030E6BC例 7分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样， 与 的相似关系就明确了AMN解 因为 ，所以 MANBMNCB,所以 ，即 所以 （m） : 5.:6.:3.215.1说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦例 8分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的实际上格点无形中给图形增添了条件长度和角度解 在格点中 ，所以 ，BCAEFD, 90BE又 所以
9、所以 42,1EF 21FADDEFABC说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏例 9解 （1）因为 ，所以 ；718cm4,7.5c,71.5cm3 CCBBA CBA（2）因为 ，两个三角形中只有 ，另外两个角都不相等，所以 与480C 不相似；BA（3）因为 ，所以 相似于 12, AB例 10解 （1） 两角相等； （2） 两角相等；DEDEA（3） 两角相等； （4） 两边成比例夹角相等；ABC（5） 两边成比例夹角相等； （6） 两边成比例夹角相等C例 11分析 有一个角是 65的等腰三角形，它的底角是 72，而 BD 是底角的平分线， ，则可推36CBD出 ，
10、进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系AB证明 ， ,3672CAB又 平分 ， D36D ，且 ， ， ， CB: CAB2 CA2说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边（2）要说明线段的乘积式 ，或平方式 ，一般都是证明比例式， ，或 ，再根cdabbca2 bdcaca据比例的基本性质推出乘积式或平方式例 12 分析 由 的三边长可以判断出 为直角三角形，又因为 ，所以 也是直角ABCABCABCCBA三角形，那么由 的最大边长为 26，可以求出相似比，从而求出 的两条直角边长，再
11、求得 的 面积解 设 的三边依次为， ，则 ， 13,2, 2290初三（下）相似三角形第 6 页 共 7 页又 ， ，ABC 90C2163BACB又 ， 12,524,1AB 0421S例 13分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高按这种测量方法，过F 作 于 G，交 CE 于 H，可知 ，且 GF、 HF、 EH 可求，这样可求得 AG，故旗杆 AB 可GFEH求解 这种测量方法可行理由如下：设旗杆高 过 F 作 于 G，交 CE 于 H（如图） 所以 xABABAGFEH因为 ，所以 3,027,5.1D 5.1,25.13x由 ，得 ，即 ，所以
12、 ，解得 （米）GEH025.1x0x.2所以旗杆的高为 21.5 米说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行例 14. 解： ，90,ECDABAD ， （米） ，答：两岸间 AB 大致相距 100 米BEC10652, 例 15. 答案： 米， 步， （注意： ）15063075 AKFEHGK,例 16. 分析：要求 BC 的长，需画图来解，因 AB、AC 都大于高 AD，那么有两种情况存在，即点 D 在 BC 上或点 D在 BC 的延长线上，所以求 BC 的长时要分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长解：（1）如上图，由 ADBC，由勾股定理得 BD3，DC1，所以 BCB
13、DDC314如 下 图 ， 同 理 可 求 BD 3， DC 1， 所 以 BC BD CD 3 1 2（2）如下图，由题目中的图知 BC4，且 ，162)3(2ACB， 所以ABC 是直角三角形16BC22BCA由 AEGF 是正方形，设 GF x，则 FC2x，GFAB， ，即 ， ACB33x 3612)3(AEGFS正 方 形如下图，当 BC2，AC2，ABC 是等腰三角形，作 CPAB 于 P，AP ，21B初三（下）相似三角形第 7 页 共 7 页在 Rt APC 中，由勾股定理得 CP1，GHAB，CGHCBA， ， x323211234856)321(GFEHS正 方 形因此，正方形的面积为 或 611485
