1、F第 2 题图EDBACO3O1第 2 题图BACO22016 年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间： 2016 年 3 月 4 日下午 3：005 ：00）班级：: 姓名： 成绩： 题 号 一 二 三 四 五 合计得 分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分 140 分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1、已知实数 a、b 满足 ，则 等于（ ） 31|2|3| abbA、 B、2 C、 D、52、如图，点 D、E 分别在 的边 AB、AC 上，BE、CD 相交于点 F，设
2、四边形 EADF、AC、 、 的面积分别为 、 、 、 ，则 与 的大小关系为（ ）BFCF1S234S3142SA、 B、4231S C、 D、不能确定3、对于任意实数 a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“ ”定义为： .如果对于任意实数 m，n 都有 ，那么ba， dc， ， n， yx， mn，为（ ）yx，A、 （0，1） B、 （1，0） C、 （-1，0） D、 （0，-1）4、如图，已知三个等圆 、 、 有公共点 O，点 A、B、C 是这些圆的其他交点，O23则点 O 一定是 的（ ）ABCA、外心 B、内心 C、垂心 D、重心5、已知关于 x 的方程 有
3、四个根，则 k 的范围为（ ）0|2|42kxA、 B、 C、 D、01k140k6、设在一个宽度为 w 的小巷内搭梯子，梯子的脚位于 P 点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的 Q 点时，Q 离开地面的高度为 k，梯子的倾斜角为 ，将该梯5子的顶端放于另一堵墙的 R 点时，R 离开地面的高度为 h，梯子的倾斜角为 ，则小巷的宽度 w7等于（ ）A、h B、k C、 D、k2kh二、填空题（本大题满分 28 分，每小题 7 分）7、化简 的值为 328、如果关于 x 的实系数一元二次方程 有两个实数根 、 ，那么0322kxx 的最小值是 2219、设四位数 满足 ，则这
4、样的四位数有 个abcdbdca1010310、如图，MN 是O 的直径， ，点 A 在O 上， ，B 为 的中点，P2MN30AMNA是直径 MN 上一动点，则 的最小值为 PBA三、 （本大题满分 20 分）11、设实数 a，b，c 满足： 且 ，求 的值。0abc222 314cbacbabca223OM NPA四、 （本大题满分 25 分）12、已知抛物线 与 x 轴相交于两点 A、B（点 A 在 x 轴的正半轴上，312mxxy点 B 在 x 轴的负半轴上） ，与 y 轴交于点 C.（1）求 m 的取值范围；（2）若 ，在该抛物线对称轴右边图像上求一点 P 的坐标，使得1:3|:OB
5、A.CP五、 （本大题满分 25 分）13、如图，等腰三角形 ABC 中， ，D ，E 分别在 AB，AC 边上，且 .P 在ACB AEDAB 的延长线上， QR 分别在线段 CE、DB 上，且 ，连结直线 PQ 与 BC 交于点RQPL，QR 与 CD， BE 分别交于点 M，N.求证：（1） ；LQP（2） NRMLQMERNPDBA2016 年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016 年 3 月 13 日下午 3：005：00）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1、C 2、C 3、D 4、C 5、B 6、A二、填空题（本大题满分 28 分，每小题 7 分）7、 8、1
6、8 9、3 10、 6 2三、 （本大题满分 20 分）11、解：由 14(a2b2c2)(a2b3c)2，得 13a210b25c24ab6ac12bc0， （5 分）配方得(3a c)2(2ab)2(3b2c)20， （10 分）所以 3ac0， 2ab0，3b2c 0，即 c3a，b2a （15 分）代入 得c （分）22ab28736a1解法二：由 14(a2b2c2)(a2b3c)2，得 13a210b25c24ab6ac12bc0， （5 分）5c2( )c 213a210b24ab 0，32(36)5ab5(c )2 a2 b2 ab0，6515所以 5(c )2 (2ab)20
7、， （10 分）34由此得，c 0，2ab0，65解得 b2a，c3a （15 分）代入 得2 （分）2abc228736a1四、 （本大题满分 25 分）12、解：（1）由已知得，x 22(m1)xm3有两个不相同的实数解，所以2(m1) 4(m3) 4m12m16(2m3)30，可知 m 是任意实数 （5 分）又因为点 A 在 x 轴的负半轴上，点 B 在 x 轴的正半轴上所以方程，x 22(m1)xm3的两根一正一负，所以 ( m3)0，解得 m 3所以所求 m 的取值范围是 m3 （10 分）（2）解法一：设点 A(a，0) ， B(b，0)，a0，b0，则 a3b，且 ab2(m1)
8、，ab (m3)，解得 m0函数解析式为 yx22x3 （15 分）所以 A(3，0) ， B(1，0)，C(0，3) 。由PCOBCO 可知 BC 与 PC 关于直线 OC 对称。作 B 关于 OC 的对称点 B，则 B(1，0)，设直线 PC 是一次函数 ykxb 的图象，则，解得 。30,1kb3,k即 PC 是一次函数 y3x3 的图象。把 y3x3 代入 yx22x3，得3x3x 22x3， （20 分）解得 x，x，当 x时，y，此时点 P 与点 C 重合，不合题意，舍去；当 x时，y12，此时点 P 的坐标为(5,12) 故抛物线对称轴右边图象上有一点 P(5,12)，使得PCO
9、 BCO（25 分）解法二：设点 A(a,0)，B(b,0)，a0，b0，则 a3b，且 ab2(m1)，ab (m3)，解得 m0函数解析式为 yx22x3 （15 分）所以 A(3,0)，B(1,0)，C(0, 3)。设 P 点的坐标为(c,c 22c3)（c1） 当 1c2 时，PCO90 BCO当 c2 时，tanPCO ，23(3)c又 tanBCO ，由PCOBCO 得 tanPCOtan BCO即 ， （分）23(3)c1解得 c5当 x时，y12，此时点 P 的坐标为(5,12) 故抛物线对称轴右边图象上有一点 P(5，12) ，使得PCO BCO（25 分）OyxCABP五、
10、 （本大题满分 25 分）13、证明：（1）过 P 作 PH 平行于 AC 交直线 BC 于点 H，连结 PH，BH 。则PHBACBABCPBH， HKLNMRQPEBCAD所以 HPBPCQ。 （5 分）又HLPCLQ，PHLQCL ，所以HLPCLQ所以 PLLQ （10 分）法二：过 Q 作 QXBC 交 AB 于点 X， XLNMRQPEBCAD所以AQX ACBABCAXQ，所以 AXAQ。故 BXCQBP。 （5 分）又因为 QXLB，所以 PLLQ （10 分）（2）设直线 QR 交直线 DE 于点 S，交直线 BC 于点 T，则 ， ，DRBSTCQE由 DRCQ，RB QE，所以 ，即 ，SBTS又 ， ，DCTMEN所以 ，因此 ，DCEN即 。BNOVUKFGS TLNMRQPEBCAD由 CDBE 得 CMEN （20 分）取 DB，EB 中点 F，G，连结 FG，分别交 BE、CD、QR 于 U、V、K ，因为 FRGQ，由（1）的结论知 RKQK。设 BE 与 CD 交于点 O，则 OUV 为等腰三角形。由 CMEN 得 NUMV由（1）的结论知 NKMK。所以 MQNR。 （25 分）
