1、1第 1 讲 一元二次方程基础训练一、一元二次方程的有关概念：1、方程 x22x5=0，x 3=x，y 23x=2，x 2=0， 其中一元二次方程的个数是（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2、下列方程中，关于 的一元二次方程是（ ）xA、 B、23()(1)x210xC、 D、0abc 213、已知 x=1 是一元二次方程 x2-2mx+1=0 的一个解，则 m 的值是 4、关于 x 的方程 3x22x+m=0 的一个根是1，则 m 的值为 5、根据下列表格的对应值：判断方程 (a0，a，b，c 为常数)一个解 x 的范围是 02cbxa6、5x 2+5=26x 化成一元二次
2、方程的一般形式为 ，二次项系数是 7、把方程 m（x 2-2x）+5（x 2+x）=12（m-5）化成一元二次方程的一般形式，得：_，其中 a=_，b=_，c=_8、一元二次方程 ax2+bx+c=0，若有一个根为1，则 ab+c= ，如果a+b+c=0，则有一根为 ，若有一个根为 0，则 c= 9、若方程 是关于x的一元二次方程，则m的范围是 22()0mxn10、已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 _二、一元二次方程的解法：1、x 26x=1，左边配成一个完全平方式得（ ）A、 （x3） 2=10 B、 （x3） 2=9 C、 （x 6） 2=8 D、 （x6） 2=10
3、2、方程（x1） （x+3）=5 的根为（ ）A、x 1=1，x 2=3 B、x 1=1，x 2=3 C、x 1=2，x 2=4 x 3.23 3.24 3.25 3.2620.06 0.02 0.03 0.092D、x 1=2，x 2=43、用公式法解x 2+3x=1 时，先求出 a、b、c 的值，则 a、b、c 依次为（ ）A、1，3，1 B、1，3，1 C、1，3，1 D、1，3，14、方程 x2=0 与 3x2=3 x 的解为（ ）A、都是 x=0 B、有一个相同，且这个相同的解为 x=0C、都不相同 D、以上答案都不对5、已知 x28xy+15y 2=0，那么 x 是 y 的（ ）倍
4、。A、3 B、5 C、 3 或 5 D、2 或 46、已知 x=1 是方程 x2ax+1=0 的根，化简 得（ 12a269a）A、1 B、0 C、 1 D、27、方程 x(x+1)=x+1 的根为（ ）A、1 B、1 C、 1 或 1 D、以上答案都不对8、方程 x（x+1）=3 （x+1）的解的情况是（ ）A、x=-1 B、x=3 C、 D、以上答案都不对3,21x9、已知方程 可以配方成 的形式， 那么260xq()7p可以配方成下列的（ ）26xqA、 B、2()5p 2()9xC、 D、9x5p10、方程 x23x+4=0 和 x2+3x4=0 的公共根是 11、当 y= 时， y2
5、+5y 与 6 互为相反数。12、若 xy0，且 x22xy8y 2=0，则 = yx13、若（x+y）(x+4+y)21=0，则 x+y= ；若 ，15)2)(22ba则 2ba14、关于 的一元二次方程 的一个根为 1，则方程的另一根为 x022mx315、方程 的解是 ； 方程 的解是 032x (1)x16、如果 2 是方程 的一个根，那么 c 的值是 ；已知2c是方程 的一个根，则方程的另一个根为 1xxa17、若关于 x 的一元二次方程 的常数项为 0，则0235)1(22mxmm= 18、若 ，则 的值等于 20x23()1x19、已知代数式 的值为 9，则 的值为 234624
6、6x20、如果 x4 是一元二次方程 的一个根，那么常数 a 的值是 23a21、三角形的每条边的长都是方程 的根，则三角形的周长是 680x22、在实数范围内定义一种运算“” ，其规则为 ，根据这个规则，2b方程 的解为 05)2(x23、解方程：（1） （2）260x2410x（3） （4）2x 24x+1=0 （5）x 25x6=0250x24、阅读下面的例题：解方程：x 2-x-2=0。解：（1）当 x0 时，原方程化为 x2-x-2=0，解得 x1=2，x 2=-1（不合题意，舍去）（2）当 x0 时，原方程化为 x2+x-2=0，解得 x1=1（不合题意，舍去） ，x2=-2原方程
7、的根是 x1=2，x 2=-2。4请参照例题解方程 x2-x-3-3=0。三、一元二次方程的判别式、韦达定理：知识要点：韦达定理一元二次方程 ，如果有实数根（即 ） ，axbca20()bac240设两实数根为 x1，x 2，则 ， 。12xca12变式 1：（1） ； （2） ；12121() 122xx（3） ；（4）()xxx121212211212()变式 2：由 可判断两根符号之间的关系：xca若 ，则 x1，x 2 同号；若 ，则 x1，x 2 异号，即一正10xca120一负； 再由 可判断两根大小的关系。b12【典型例题】例 1 （1）若 x1，x 2 是方程 的两个根，求 ，
8、 ；（2）若3572xx12x1方程 的两个根是 x1，x 2，求 。2312例 2已知关于 x 的方程 ；mx2210()5（1）当 m 取什么值时，原方程没有实数根？（2）对 m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。【训练试题】1如果方程 的一根为 1，求 k 及另一根。xk2602设方程 的两根分别为 x1，x 2，求 ； （x27012xx12）123已知关于 x 的方程 ；kx22140()（1）k 取什么值时，方程有两个实数根？（2）如果方程的两个实数根 满足 ，求 k 的值。12、 |x1264已知关于 x 的一元二次方程 ；axa20()（1
9、）求证：对于任意非零实数 a，该方程恒有两个异号的实数根；（2）设 是方程的两个实数根，若 ，求 a 的值。12、 |x124第 2 讲 一元二次方程的应用一、增长率率问题1、某产品的成本两年降低了 75%，平均每年递降 2、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60 元降至现在的 48.6 元，则平均每次降价的百分率是 3、某商品原价 100 元，连续两次涨价 后售价为 120 元，所列方程正确的是x%（ ）A B210()10x%210()10C Dx4、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007 年投入 3 000 万元，预计 2009 年投入 5 000 万元，设教育经费的年
10、平均增长率为 ，根据题意，下x面所列方程正确的是（ ）A B230(1)0x2305xC D5 2(1)0(1)50x5、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 m 元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价 40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙6、某农户 2004 年粮食产量为 50 吨，2006 年粮食产量上升到 60.5 吨，这两年平均每年增长的百分率是多少？77、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资 20 亿元对各市的农村饮用水的“改水工程 ”予以一定比例的补助， 200
11、8 年，A 市在省财政补助的基础上再投入 600 万元用于“ 改水工程 ”，计划以后每年以相同的增长率投资， 2010 年该市计划投资“ 改水工程”1176 万元。（1）求 A 市投资“ 改水工程” 的年平均增长率；（2）从 2008 年到 2010 年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？二、面积问题：1、大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 300 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，设长方形绿地的宽为 x 米，则可列方程为_2、在一幅长为 ，宽为 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，80cm50c制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色254
12、0cm纸边的宽为 ，那么 满足的方程是 xx（第 2 题图）3、在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm ，设金色纸边的宽为 cm，那么 满足的方程为 2 xx4、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。85、如图，有 33 米长的竹篱笆，要围城一边（墙长 15 米）面积为 130
13、平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？6、如图，利用一面墙（墙的长度不超过 45m） ，用 80m 长的篱笆围一个矩形场地。怎样围才能使矩形场地的面积为 750m2?能否使所围矩形场地的面积为 810m2，为什么?7、某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内，沿前侧的侧内墙保留 3m 宽的空地；其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2? 图图21图图BAD C（第 17 题）蔬菜种植区域前侧空地鸡场98、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10；点 E在下底边BC 上，点
14、F 在腰 AB 上；（1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长为 x，试用含 x 的代数式表示BEF 的面积；（2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1：2 的两部分？ 若存在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由。三、利润问题1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克；（1）现该商场要保证每天
15、盈利 6000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？102、西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/ 千克的价格出售，每天可售出 200 千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价 01 元/千克，每天可多售出 40 千克，另外每天的房租等固定成本共 24 元。该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？一元二次方程根与系数的关系练习1、设元二次方程 x22x40 的两个根为 x1 和 x2，则下列结论正确的是（ ）（A）x 1+x2
16、2 （B）x 1+x24 （C）x 1x22 （D ）x 1x242、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）A B C D38250274027533、已知 a、b、c 分别是三角形的三边，则方程 (a + b)x2 + 2cx + (a + b)0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根4、如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那2(1)0kxx么 的取值范围是 k5、方程 x2+3x-4=0 的两个实数根为 x1，x 2，则 x1x2=_6、设 是一个直角三角形两条直角边的长，且 ，则ba, 12)(2ba这个直角三角形的斜边长为 7、若 为方程 的两个实数根，则 _12,x210x12x8、已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为_ _12263129、关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是 x20xmm10、已知关于 的一元二次方程 有两个不相同的实数根，则21kx
