1、第一章 三角形的证明测试卷（源于中考的试题）参考答案与试题解析一选择题（共 9 小题）1 （2013郴州）如图，在 RtACB 中，ACB=90， A=25，D 是 AB 上一点将 RtABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B处，则 ADB等于（ ）A25 B 30 C 35 D40解答： 解： 在 RtACB 中，ACB=90，A=25，B=9025=65，CDB由 CDB 反折而成，CBD=B=65，CBD 是AB D 的外角，ADB=CBDA=6525=40故选 D2 （2012潍坊）轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30方向匀速航行，在 B 处观测灯塔
2、A 位于南偏东 75方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60方向上，则 C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里A25 B 25 C 50 D25解答： 解：根据题意，1=2=30，ACD=60，ACB=30+60=90，CBA=7530=45，ABC 为等腰直角三角形，BC=500.5=25，AC=BC=25（海里） 故选 D3 （2011贵阳）如图， ABC 中，C=90，AC=3，B=30，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是（ ）A3.5 B 4.2 C 5.8 D7解答： 解：根据垂线段最短，可知 AP 的长不可小于 3；ABC 中， C=
3、90，AC=3， B=30，AB=6，AP 的长不能大于 6 故选 D4 （2012铜仁地区）如图，在 ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MNBC 交 AB于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为（ ）A6 B 7 C 8 D9考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质1518028分析： 由ABC、ACB 的平分线相交于点 E，MBE=EBC， ECN=ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可MBE=MEB，NEC= ECN，然后即可求得结论解答： 解：ABC、 ACB 的平分线相交于点 E，MBE=EBC，ECN= ECB
4、，MNBC，EBC=MEB，NEC=ECB， MBE=MEB，NEC= ECN，BM=ME，EN=CN，MN=ME+EN，即 MN=BM+CNBM+CN=9MN=9， 故选 D5 （2011恩施州）如图， AD 是 ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，DE=DG， ADG 和AED 的面积分别为 50 和 39，则EDF 的面积为（ ）A11 B 5.5 C 7 D3.5考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质1518028专题： 计算题；压轴题分析： 作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DNAC，利用角平分线的性质得到 DN=DF，将三角形 EDF 的面积转化为三角形 DNM
5、的面积来求解答： 解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DNAC，DE=DG，DM=DE，DM=DG，AD 是 ABC 的角平分线，DFAB，DF=DN，在 RtDEF 和 RtDMN 中，RtDEFRtDMN（HL） ，ADG 和AED 的面积分别为 50 和 39，SMDG=SADGSADM=5039=11，SDNM=SDEF= SMDG= =5.5故选 B点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求6 （2012广州）在 RtABC 中，C=90，AC=9 ，BC=12，则点 C 到 AB 的
6、距离是（ ）AB C D解答： 解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在 RtABC 中，AC=9 ，BC=12，根据勾股定理得：AB= =15，过 C 作 CDAB，交 AB 于点 D，又 SABC= ACBC= ABCD，CD= = = ，则点 C 到 AB 的距离是 故选 A7 （2007芜湖）如图，在 ABC 中 ADBC，CEAB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，已知EH=EB=3，AE=4，则 CH 的长是（ ）A1 B 2 C 3 D4解答： 解：在ABC 中，AD BC，CE AB，AEH=ADB=90；EAH+AHE=90， DHC+BCH=90，EHA=DHC（
7、对顶角相等） ，EAH=DCH（等量代换） ；在 BCE 和HAE 中，AEHCEB（AAS ） ；AE=CE；EH=EB=3，AE=4，CH=CEEH=AEEH=43=1 故选 A8 （2011泰安）如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 CE 的长为（ ）AB C D6解答： 解：CEO 是 CEB 翻折而成，BC=OC，BE=OE， B=COE=90，EOAC，O 是矩形 ABCD 的中心，OE 是 AC 的垂直平分线， AC=2BC=23=6，AE=CE，在 RtABC 中，AC 2=AB2+BC
8、2，即 62=AB2+32，解得 AB=3 ，在 RtAOE 中，设 OE=x，则 AE=3 x，AE2=AO2+OE2，即（3 x） 2=32+x2，解得 x= ，AE=EC=3 =2 故选 A9 （2012深圳）如图，已知：MON=30，点 A1、A 2、A 3在射线 ON 上，点 B1、B 2、B 3在射线 OM上，A 1B1A2、A 2B2A3、A 3B3A4均为等边三角形，若 OA1=1，则A 6B6A7 的边长为（ ）A6 B 12 C 32 D64解答： 解：A 1B1A2 是等边三角形，A1B1=A2B1，3=4=12=60 ，2=120，MON=30，1=18012030=3
9、0，又3=60，5=1806030=90，MON=1=30，OA1=A1B1=1，A2B1=1，A2B2A3、A 3B3A4 是等边三角形，11=10=60，13=60 ，4=12=60，A1B1A2B2A3B3，B 1A2B2A3，1=6=7=30，5=8=90，A2B2=2B1A2，B 3A3=2B2A3，A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A 6B6=32B1A2=32故选：C二填空题（共 8 小题）10 （2011怀化）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BAC 的角平分线交 BC 边于点 D，AB=5，BC=6，则AD= 4 考
10、点： 勾股定理；等腰三角形的性质1518028分析： 首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出 DB=DC= CB，AD BC，再利用勾股定理求出 AD 的长解答： 解： AB=AC，AD 是BAC 的角平分线，DB=DC= CB=3，AD BC，在 RtABD 中，AD2+BD2=AB2，AD= =4，故答案为：4点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出ADB 是直角三角形11 （2011衡阳）如图所示，在 ABC 中，B=90，AB=3，AC=5，将ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 DE，则ABE 的周长为 7
11、考点： 翻折变换（折叠问题） ；勾股定理1518028专题： 压轴题；探究型分析： 先根据勾股定理求出 BC 的长，再根据图形翻折变换的性质得出 AE=CE，进而求出ABE 的周长解答： 解： 在 ABC 中， B=90，AB=3，AC=5 ，BC= = =4，ADE 是CDE 翻折而成，AE=CE，AE+BE=BC=4，ABE 的周长 =AB+BC=3+4=7故答案为：7点评： 本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等12 （2010滨州）如图，等边 ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是
12、 AD 上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE=2，EM+CM 的最小值为 考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理 1518028专题： 压轴题；动点型分析： 要求 EM+CM 的最小值，需考虑通过作辅助线转化 EM，CM 的值，从而找出其最小值求解解答： 解：连接 BE，与 AD 交于点 M则 BE 就是 EM+CM 的最小值取 CE 中点 F，连接 DF等边 ABC 的边长为 6，AE=2，CE=ACAE=62=4，CF=EF=AE=2，又 AD 是 BC 边上的中线，DF 是BCE 的中位线，BE=2DF，BEDF，又 E 为 AF 的中点，M 为 AD 的中点，ME 是 ADF 的
13、中位线，DF=2ME，BE=2DF=4ME，BM=BEME=4MEME=3ME，BE= BM在直角BDM 中，BD= BC=3，DM= AD= ，BM= = ，BE= EM+CM=BEEM+CM 的最小值为 点评： 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用13 （2013泰安）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E，交 BC 的延长线于 F，若F=30，DE=1，则 BE 的长是 2 考点： 含 30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质1518028专题： 压轴题分析： 根据同角的余角相等、等腰ABE 的性质推知DBE=30，则在直
14、角DBE 中由“ 30 度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段 BE 的长度解答： 解：ACB=90，FD AB，ACB=FDB=90，F=30，A=F=30（同角的余角相等） 又 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E，EBA=A=30，直角 DBE 中， BE=2DE=2故答案是：2点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质、含 30 度角的直角三角形解题的难点是推知EBA=30 14 （2013黔西南州）如图，已知 ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 15 度考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质151802
15、8专题： 压轴题分析： 根据等边三角形三个角相等，可知ACB=60，根据等腰三角形底角相等即可得出 E 的度数解答： 解：ABC 是等边三角形，ACB=60，ACD=120 ，CG=CD，CDG=30， FDE=150，DF=DE，E=15故答案为：15点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180以及等腰三角形的性质，难度适中15 （2005绵阳）如图，在 ABC 中，BC=5cm，BP、CP 分别是 ABC 和ACB 的角平分线，且PDAB，PE AC，则PDE 的周长是 5 cm考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质1518028专题： 压轴题分析： 分别利用角平分线的性
16、质和平行线的判定，求得DBP 和 ECP 为等腰三角形，由等腰三角形的性质得 BD=PD，CE=PE，那么 PDE 的周长就转化为 BC 边的长，即为 5cm解答： 解： BP、CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线，ABP=PBD，ACP= PCE，PDAB，PEAC，ABP=BPD，ACP= CPE，PBD=BPD，PCE= CPE，BD=PD，CE=PE，PDE 的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm 答：PDE 的周长是 5cm点评： 此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点本题的关键是将PDE 的周长就转化为 BC 边的长17 （2005十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第 n 个三角形的面积为 考点： 勾股定理1518028专题： 规律型分析： 根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答解答： 解：根据勾股定理：第一个三角形中：OA 12=1+1，S 1=112；第二个三角形中：OA 22=OA12+1=1+1+1，S 2=OA112= 12；第三个三角形中：OA 32=OA22+1=1+1+1+1，S 3=OA212= 12；第 n 个三角形中：S n= 12= 点评： 本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律
