1、中考数学专题 8 动态几何与函数问题【例 1】 如图 所示，直角梯形 OABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴正半轴与 x轴负半轴上.过点 B、C 作直线 l.将直线 l平移，平移后的直线 l与 x轴交于点 D，与 轴交于点 E.（1）将直线 l向右平移，设平移距离 CD 为 t（t0） ，直角梯形 OABC 被直线 l扫过的面积（图中阴影部份）为 s， 关于 t的函数图象如图所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于 x 轴，N 点横坐标为 4，求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积.（2）当 4t时，求 S 关于 t的函数解析式.【解】 （1）由图
2、（2）知， M点的坐标是（2，8）由此判断： 4ABO， ； N点的横坐标是 4， NQ是平行于 x轴的射线， 4CO 直角梯形 ABC的面积为：11212AB. (3 分)（2）当 t时，阴影部分的面积=直角梯形 O的面积 DE的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)12SDE4Ot， 2t . 21414Sttt28t. 【例 2】已知：在矩形 AOBC中， 4， 3OA分别以 BOA， 所在直线为 x轴和 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 F是边 上的一个动点（不与BC，重合） ，过 点的反比例函数(0)kyx的图象与A边交于点 E
3、（1）求证： O 与 BF 的面积相等；（2）记 EFCS ，求当 k为何值时， S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点 ，使得将 CEF 沿 对折后， 点恰好落在 OB上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 （1）证明：设 1()Exy， ， 2()xy， ， AO 与 B 的面积分别为 1S， 2，由题意得 1ky，2 11Sk，221Sx 12，即 AE 与 FB 的面积相等（2）由题意知： EF， 两点坐标分别为3k，4k， 1142CFSA， 1212EOOEBFECECFECFBSSkSkS 矩 形 1243FCSk 2k当62k时， S有最大值
4、12最 大 值（3）解：设存在这样的点 ，将 EF 沿 对折后， C点恰好落在 OB边上的 M点，过点 E作ENOB，垂足为 由题意得： 3A，143MCk，134Fk，90MFB， MN又 90，AB M CDPQ图 1ENMBF ENM， 14323kkB， 94MB22，229144kk，解得18143k 存在符合条件的点 F，它的坐标为 3，【例 3】如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C 90，BC 16，DC12，AD21。动点 P 从点D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1 个单位长的速度向点 B
5、运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒） 。（1）设BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻 t，使得 PQBD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。【解析】解： （1）如图 1，过点 P 作 PMBC ，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形。PM DC12 QB 16t ，S1212(16t)96t （2）由图可知：CMPD 2t ，CQt。热以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分
6、三种情况。若 PQBQ 。在 RtPMQ 中，221t，由 PQ2BQ2 得 221(6)tt，解得 t7； 若 BPBQ。在 RtPMB 中，22(16)BPt。由 BP2BQ2 得：22(16)(16)tt即 340t。由于 7040 340无解，PBBQ 若 PBPQ。由 PB2PQ2，得221(6)1tt整理，得 236450t。解得 123tt，（舍）综合上面的讨论可知：当 t762t秒 或秒时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。 （3）设存在时刻 t，使得 PQBD。如图 2，过点 Q 作 QEADS，垂足为 E。由 RtBDCRtQPE， 得DCPEBQ，即126t
7、。解得 t9 所以，当 t9 秒时，PQBD。 【例 4】在 RtABC 中， C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t秒（t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离
8、是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 解：（1）1，85； （2）作 QFAC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t， 3APt由AQF ABC， 254BC， 得 45QFt4t 1(3)2St，即65t（3）能当 DEQB 时，如图 4DEPQ，PQ QB，四边形 QBED 是直角梯形此时AQP=90PA EEDCQBO图 2A
9、CBPQED图 4 A C)BPQD图 3E)FA CBPQED图 5A CBPQED由APQ ABC，得AQPCB，即35t 解得98t 如图 5，当 PQBC 时，DE BC，四边形 QBED 是直角梯形此时APQ =90由AQP ABC，得 AQPBC，即35t 解得158t（4） 2t或4t【注： 点 P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 C方法一、连接 QC，作 QGBC 于点 G，如图 6t， 22QG2234(5)(5)tt由 2PC，得2ttt，解得t方法二、由 PA，得 QCA，进而可得BQ，得 B，52t 点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 72223
10、4(6)(5)(5)ttt，451【例 5】如图，在 RB 中， 90A， 6B， 8AC， DE， 分别是边 ABC， 的中点，点 P从点 D出发沿 E方向运动，过点 P作 Q于 ，过点 Q作 R 交 于R，当点 Q与点 C重合时，点 停止运动设 x， y（1）求点 到 B的距离 DH的长；（2）求 y关于 x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（3）是否存在点 P，使 R 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x的值；若不存在，请说明理由A C(E)BPQD图 6GA C(E)BPQD图 7GAB CD ERPH Q解：（1） RtA， 6B， 8AC， 10B点 D为 中
11、点，13290HB， AC ，312805BD（2） QRA ， 9RAC， CB ，B，106yx，即 y关于 x的函数关系式为：365（3）存在，分三种情况：当 PQR时，过点 P作 MQR于 ，则 RM1290， 290C， 84cos105，45QP，13625x，85x当 PQR时，3126，6x当 时，则 为 PQ中垂线上的点，于是点 R为 EC的中点，1224AAB CD ERPH QM21AB CD ERPH QAB CD ERPH QtanQRBAC，36528x，152x综上所述，当 为 或 6 或 时， PQR 为等腰三角形第二部分 发散思考【思考 1】如图所示，菱形 A
12、BCD的边长为 6 厘米， 60B从初始时刻开始，点 P、 Q同时从 A点出发，点 P以 1 厘米/秒的速度沿 的方向运动，点 Q以 2 厘米/秒的速度沿 BCD的方向运动，当点 Q运动到 点时， P、 两点同时停止运动，设 、 运动的时间为 x秒时， P 与ABC重叠部分的面积为 y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O的三角形） ，解答下列问题： （1）点 P、 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点 、 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时 x的值是 秒；（3）求 y与 x之间的函数关系式【思考 2】已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图，C，D 两点的坐标分别为(4
13、,0)，(0,3). 现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动，设运动时间为 t 秒.(1)填空：菱形 ABCD 的边长是 、面积是 、 高 BE 的长是 ；(2)探究下列问题：若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段 BA 上时，求APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，以及 S 的最大值； PQA BCDPQA BCD若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值，使得APQ 沿它的一边翻折
14、，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形，并求出 k 的值.【思考 3】已知：等边三角形 ABC的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN在 ABC 的边 上沿 AB方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 A重合，点 到达点 时运动终止），过点 MN、 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 PQ、 两点，线段 运动的时间为 t秒（1）线段 在运动的过程中， t为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段 在运动的过程中，四边形 MN的面积为 S，运动的时间为 t求四边形 MNQP的面积 S随运动时间 t变化的函数关系式，并写出自变
15、量 t的取值范围第三部分 思考题解析【思考 1 解析】解：（1）6 （2）8 （3）当 0 3x 时，Q1ABCDQ2P3Q3EP2P1OO xyABCDECPQBA M N2113sin6022APQySxx13 当 3 x 6时，122sin603(-)22APQySCx =.当 69x 时，设 3PQ与 AC交于点 O(解法一) 过 3作 ,EB 则 3E 为等边三角形3321.QCxOP 361,21(),xEC333 31sin60sin6022AQPCOySCP -31(6)()22xx75（解法二）如右图，过点 O作 3FCP于点 ， 3OGCQ，于点 ,过点 3P作 HD交 延
16、长线于点 H,.ACBOFG又 33,621(6),xx 3312CQPCOQS P3OA BCD Q3 G HF3321,1()63.6COPCPQSHx 又 31sin602ACPS 13()36.2x3AOPyS332(6)()2Cxx 237153.6x【思考 2 解析】 （1）5 , 24, 4（2） 由题意，得 AP=t，AQ=10-2t. 如图 1,过点 Q 作 QGAD，垂足为 G，由 QGBE 得 AQGABE, BAE,QG= 2548t, 1 分tGAPS5241( t5). 1 分6)25(4t( t5).（这个自变量的范围很重要）当 t= 时， S 最大值为 6. 要使 APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需APQ 为等腰三角形即可.当 t=4 秒时， 点 P 的速度为每秒 1 个单位，AP= 4. 以下分两种情况讨论:G xyABCDOE(图 1) PQEQ1FMODCBAyx(图 2)P
