1、1既然选择了远方，便只顾风雨兼程。平面向量第一课时 平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段表示；用有向线段的起点与终点字母： AB；向量 AB的大小长度称为向量的模，记作| |. 知识点三：有向线段（1 ）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2 ）向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，
2、则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1 ）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作 . 的方向是任意的.0r注意 与 0 的含义与书写区别 .r（2 ）单位向量：长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量 .说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。知识点五：平行向量、共线向量（1 ） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。（2 ） 规定：规定 与任一向量平行.0r（3 ）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说
3、明：综合(1)、(2) 才是平行向量的完整定义 ;向量 平行，记作 ,abcrarbcr平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量2既然选择了远方，便只顾风雨兼程。（1 ） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2 ）向量 与 相等，记作 ；arbabr（3 ）零向量与零向量相等；（4 ）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1下列命题正确的是 （ ）A向量 B与 是两平行向量 B若 ba、 都是单位向量,则 abrC若 =D,则 A、B、C、D 四
4、点构成平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2若 ba、 都是单位向量，则 |ba的取值范围是 （ ）A （1，2） B （0，2） C 1，2 D 0，23.在正六边形 ABCDEF 中，O 为其中心，则 等于（ ）FABOEurruA B. C DFEurur4. 如图，在ABC 中， AB= , = ，AD 为边 BC 的中线，G 为ABC 的重心，abr求：向量 G5已知ABC 及一点 O，求证：O 为ABC 的重心的充要条件是 .CBADABMCMabG3既然选择了远方，便只顾风雨兼程。6.设平面内有四边形 ABCD 和 O 点， ，若 ，,AaBbOCcDdurru
5、racbdrur则四边形 ABCD 的形状为 。【同步练习】1在四边形 ABCD 中， =a+2b， =4ab， =5a 3b，其中 a、b 不共线，则ABCD四边形 ABCD 为（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形2.已知菱形 ABCD，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A、C） ，则 等于（ ）PA. ( + ), (0,1) B. ( + ), (0, )ABDB2C. ( ), (0,1) D. ( ), (0, )3.已知两点 ， ，则 P 点坐标是 （ ）3,2M5,N12MNur4.已知ABC 中， ，若 ，求证：ABC 为正三角cABbCaB, acba形.
6、5.已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是任意一点，求证.OEDCBOA44既然选择了远方，便只顾风雨兼程。第二课时 平面向量的线性运算【重要知识】知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量 ，在平面内任取一点 A，作 ， ，则向量,abr BarCbr叫做 与 的和，记作 ，即 ACarbrC求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则说明：运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接” ，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.两个向量的和仍然是一个向量，其大
7、小、方向可以由三角形法则确定位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型（2）向量加法的平行四边形法则以点 O 为起点作向量 aA ， ，以 OA,OBOBbur为邻边作 ，则以 O 为起点的对角线所在向量CBY就是 的和，记作 = 。ur,abbrCr说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型对于零向量与任一向量 0aarr，（3）特殊位置关系的两向量的和当向量 a与 b不共线时， +b的方向不同向，且| +b| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=|
8、 |-|b|；若| a|b|，则 + 的方向与 b相同，且| +b|=|b|-|a|.（4）向量加法的运算律向量加法的交换律： a+ = +向量加法的结合律：( +b) +c= + (b+ )知识点二：向量的减法5既然选择了远方，便只顾风雨兼程。（1）相反向量：与 长度相同、方向相反的向量.记作 。ar ar（2）向量 和- 互为相反向量，即 (- ).r零向量的相反向量仍是零向量 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 (- )(- ) arar0r如果向量 互为相反向量，那么 - ， - ， ,abrrbb（3）向量减法的定义：向量 加上的 相反向量，叫做 与 的差.ar即： = + ( )
9、 求两个向量差的运算叫做向量的减法.rr（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点 O，作 ，则 即 可以表示为从向,AaBburrAaburr量 的终点指向向量 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义brar说明： AB表示 .强调：差向量“箭头”指向被减数b用“相反向量”定义法作差向量， = + ( )， 显然，此法作arbrb图较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义（1）定义：一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，r记作 ，它的长度与方向规定如下：ar| | |ar当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相0r0arr反当 时，
10、r（2） 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设 、 为实数，那么 ( )( ) ；arr( ) ； ( ) rbr知识点四：向量共线的条件6既然选择了远方，便只顾风雨兼程。向量 ( )与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ar0br bra【典型例题】1. 下列各式正确的是（ ）A若 ， 同向，则| a+b|=| |+| |arbB 与| |+| |表示的意义是相同的C若 ， 不共线，则 |a+b| |+| |arbD 永远成立2 等于（ ）AOBCAOurrurA B C D03下列命题如果 ， 的方向相同或相反，那么 的方向必与 ， 之一的方向相同。ar
11、babrarbABC 中，必有 0若 ，则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点。0r若 ， 均为非零向量，则| a+b|与| |+| |一定相等。arb其中真命题的个数为（ ）A0 B1 C2 D34已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的向量分别为 ， ， ，则向arbc量 等于（ ）A B C Dabcrabcrabcrabcr5在四边形 ABCD 中，设 ，则 等于（ ）,ABcurru7既然选择了远方，便只顾风雨兼程。A B abcr()acrC D6设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（ ）braA 与 的长度必相等 B arbC 与 一定不相等 D 是 的
12、相反向量arb7 可以写成： ； ； ； ，其中正确u的是（ ）A B C D8.如图所示，在 ABCD 中，已知 ，用 与 表示向量 、 。,ABaDburrarADur【同步练习】1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（ ）| a|=|b|是 = 的必要不充分条件；任一非零向量的方向都是惟一的；| - | | |+| | 若| a-b|=| |+| |，则 ；0br已知 A、B、C 是平面上的任意三点，则 。rA1 B2 C3 D42某人先位移向量 ：“向东走 3km”，接着再位移向量 ：“向北走 3km”，则 （ ar brabr）8既然选择了远方，便只顾风雨兼程。A向东南走 km B向
13、东北走 kmC向东南走 km D向东北走 km3若 ，则 的取值范围是（ ）CurA B （3，8） C D （3，13）4设 ABCDEF 为一正六边形， ，则,ABmEnurr5化简：第三课时平面向量的基本定理9既然选择了远方，便只顾风雨兼程。【重要知识】知识点一：平面向量基本定理平面向量基本定理：如果 1e， 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使 = 。我们把不共线向量 1e，ar1,ar12eur2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)运用定理时需注意： 1e， 2是同一平面内的两个不共线向量。该平面内的任一向量都可用 ， 线性表
14、示，且这种表示是唯一的。基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。知识点二：两向量的夹角与垂直（1） 定义：已知两个非零向量 ，作 ,则AOB= 叫做向量 的,abr,OAaBburrabr与夹角。（2）如果 的夹角是 90，就说 垂直，记作 。abr与 r与 r（3）注意：向量 的夹角的范围是 ，当 时， 同向；当r与 0180abr与时， ；当 ， 反向。90ab18abr与知识点三：平面向量的坐标表示（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 作为,ijr基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、 y，使得arax
15、iyjrr 1我们把 ),(叫做向量 的（直角）坐标，记作r,xyr 2其中 叫做 在 轴上的坐标， y叫做 在 轴上的坐标， 式叫做arar 2向量的坐标表示.与 相等的向量的坐标也为 ),(yx.特别地， ，(1,0)(,)(0,)ijrrr如图，在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作 ，则点 A的位置aur由 唯一确定.ar10既然选择了远方，便只顾风雨兼程。设 ，则向量 OA的坐标 ),(yx就是点 A的坐标；反过来，点 A的坐标OAxiyjurr),(也就是向量 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.（2）平面向量的坐标运算 若 ，则 ),(21
16、21yx， 12(,)(,)axybrrabr abr),(2121yx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 若 ),(1A， ),(2xB，则 1212,yxA一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.（3）若 和实数 ，则.(,)ayr (,)ar实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点四：平面向量共线的坐标表示（1） 设 ， 其中 ，当且仅当 时，向量12(,)(,)axybrr 0br1210xy共线。与（2） 注意:遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件。运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题。学习结论（1） 在解具体问题时，要适当的选取基底。把几何问题转化为代数问题。（2） 向量共线的充要条件有两种形式： （ ） 0121yxbaarb0r（3） 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0180。【典型例题】1. 已知平面上三点的坐标分别为 A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
