1、初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一） 、已知两个定点：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）点 A、B 在直线同侧：A、A 是关于直线 m 的对称点。2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：P mAB mB mB P mABA n mAB QP n mAB n mAB QP n mABB QP n mAB n mAB（4） 、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的
2、内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短 .填空：最短周长=_变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点PA+PQ+QA 周长最短 .二） 、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nA P m nABm nA P m nAABmnAB EDmnABA BmnA PQmAA“A（二）动点在圆上运动点 B 在O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB
3、最小（在图中画出点 P 和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三） 、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。( 原理用平移知识解)（1）点 A、B 在直线 m 两侧：过 A 点作 ACm,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为P 点，此时 P、Q 即为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 同侧：mOA P mOBAB mOA P mOABAmABBEQP mABQPmBQP mABCQP练习题1如图
4、，AOB=45，P 是AOB 内一点，PO=10，Q 、 R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值为 2、 如图 1，在锐角三角形 ABC 中，AB=4 ,BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点D，M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为 3、如图，在锐角三角形 ABC 中 ，AB= ， BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于52D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是多少？4、如图 4 所示，等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE=2,
5、EM+CM 的最小值为 .5、如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点 P 是AB 上一个动点，当 PCPD 的和最小时，PB 的长为_6、 如图 4，等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 Q7、如图 5 菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E 是 AB 的 中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最
6、小值是 9、如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm10、 如 图 ， 菱 形 ABCD 中 ， AB=2， A=120， 点 P， Q， K 分 别 为 线 段BC， CD， BD 上 的 任 意 一 点 ， 则 PK+QK 的 最 小 值 为 11、如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点则 PB+PE 的最小值是 12、 如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在
7、DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一个动点，则 DN+MN 的最小值为 13、如图，正方形 ABCD 的边长是 2，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 14、如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为 cm（结果不取近似值）15、如图，O 的半径为 2，点 A、B、C 在 O 上，OAOB， AOC=60，P 是 OB 上一动点，则 PA+PC 的最小值是 16、如图 8，MN 是半径为 1 的O 的
8、直径，点 A 在O 上，AMN30，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图 9，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= （k0）在第一象限的图象交于A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三角形 OAM 的面积为 1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合），且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小.2、 如 图 ， 一 元 二 次 方 程 x2+2x-3=0 的 二 根 x1， x2（
9、x1 x2） 是 抛 物 线y=ax2+bx+c 与 x 轴 的 两 个 交 点 B， C 的 横 坐 标 ， 且 此 抛 物 线 过 点 A（ 3， 6） （ 1） 求 此 二 次 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 设 此 抛 物 线 的 顶 点 为 P， 对 称 轴 与 AC 相 交 于 点 Q， 求 点 P 和 点 Q 的 坐 标 ；（ 3） 在 x 轴 上 有 一 动 点 M， 当 MQ+MA 取 得 最小值时 ， 求 M 点 的 坐 标 3、如图 10，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1， ） ，AOB 的面积是 .（1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的
10、解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使AOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由；4如图，抛物线 y x2 x3 和 y 轴的交点为 A，M 为 OA 的中点，若有一动点 P，自35 185M 点处出发，沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E） ，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F） ，最后又沿直线运动到点 A，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F的坐标，并求出这个最短路程的长5如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA =AB=2，OC
11、=3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D将DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E 和 F（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q （点 Q 在点 P 的上方） ，且 PQ1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标6如图，已知平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别为 A(2，3），B(4 ，1）若C(a，0)，D( a+3，0)是 x 轴上的两个动点，则当 a 为何值时，四边形 ABDC 的周长最短7、如图 11，在
12、平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点.（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点E、F 的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大；（1）点 A、B 在直线 m 同侧：解析：延长 AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三边， PAPBAB，而PAPB=AB 此时最大，因此点 P 为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 异侧：解析：过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB交点直线 m 于 P,此时 PB=PB，PA-PB 最大值为 AB练习题1. 如图，抛物线 y x 2x 2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B14(1)求点 A、点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PAPB AB；(3)当 PAPB 最大时，求点 P 的坐标.mBAmB mABBPPmBAPP
