1、总结方法，领悟思想，感受成功. 青岛二中分校 201710-23思想启发：尝试推导特殊数列有关的公式，性质，结论是掌握并灵活应用它们的最好方法. 1专题一：数列通项公式的求法详解（八种方法）一、 观察法 （关键是找出各项与项数 n 的关系.）例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2） （3） （4）,1764,093,521 ,521,53,2答案：（1） （2） （3） （4） .10na;12na;12na1)(nan二、 公式法 公式法 1：特殊数列例 2： 已知数列a n是公差为 d 的等差数列，数列b n是公比为 q 的(qR 且 q
2、1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d1)，a 3 = f (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1)，(1) 求数列 a n 和 b n 的通项公式；答案：a n=a1+(n1)d = 2(n1) ； bn=bqn1 =4(2) n1例 3. 等差数列 是递减数列，且 =48， =12，则数列的通项公式是（ ） 432a 432(A) (B) (C) (D) (D)2n ann 102na例 4. 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列 的通项为 ，求数列 的通110qnb2nanb项公式.简析：由题意， ，又 是等比数列，公比为 ，
3、故数列 是等321nnabnqqnn213n比数列，易得 .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公)1()(qqn式，只需求首项及公差公比.公式法 2： 知 利用公式 .ns2,1nSsan例 5：已知下列两数列 的前 n 项和 sn的公式，求 的通项公式.（1） . （2）na13nSn 12ns答案：（1） =3 ， （2） 点评：先分 n=1 和 两种情况，然后验证能否统na32)2(0an 一.三、 累加法 【型如 的地退关系递推关系】)(1fn简析：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项a1n.na若 f(n)
4、是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例 5：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项. .答案：总结方法，领悟思想，感受成功. 青岛二中分校 201710-23思想启发：尝试推导特殊数列有关的公式，性质，结论是掌握并灵活应用它们的最好方法. 2)(52Nnan例 6. 若在数列 中， ， ，求通项 .答案： =a31nna21na na12例 7.已知数列 满足 ， ，求此数列的通
5、项公式. 答案：n1 )(1n n四、累积法 【 形如 = (n) 型】naf（1）当 f(n)为常数，即： （其中 q 是不为 0 的常数） ，此时数列为等比数列， = .n1 na1nq（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.例 8：在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式. a11nana例 9： 已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，试求通项公式 . .n3SnaS)12(na答案： 思考题 1：已知 ,求数列 an的通项公式.)2( ,1n分析：原式化为 若令 ,则问题进一步转化为 形式，累积得解.,11nnanab nb1五、构造特殊数列法构造 1：【形如
6、 ,其中 )型】 （1）若 c=1 时，数列 为等差数列; （2）若 d=0 时，0(,1cdan1 na数列 为等比数列;（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造n 且dna等比数列来求.方法如下：设 ,得 ,与题设 比较系数得 ，)(1nnac)1(1can ,1dcan)0(,1cd所以： ,即 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列.)(1cdcdann cdn1cda例 10：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 . 答案：n 121nnan12na构造 2：相邻项的差为特殊数列例 11：在数列 中， ， ， ，求 .提示：变为 .na12annna31 )(3
7、12nnaa构造 3：倒数为特殊数列【形如 】srpn1例 12： 已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式. 答案 na11naN总结方法，领悟思想，感受成功. 青岛二中分校 201710-23思想启发：尝试推导特殊数列有关的公式，性质，结论是掌握并灵活应用它们的最好方法. 3nban1六、待定系数法：例 13：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式nccn解析：设 建立方程组，解得.1)(nnbqda点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：na
8、则 ， （b、为常数） ，若数列 为等比数列，则 ，cbncnsn2 a1nAqa.)1,0(qAqs七、迭代法 【一般是递推关系含有的项数较多】例 14：（1）数列 满足 ,且 ,求数列 an的通项公式.na1)1(2121 naan解析：由题得 时， )(21n )2(12由、得 .（2）数列 满足 ,且 ,求数列 an的通项公式,0an na1212aan（3）已知数列 中， 求通项 .n ,111nn n八、 【讨论法-了解】 （1）若 （d 为常数） ，则数列 为“等和数列” ，它是一个周期数列，周期为aa其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如 型若 (p 为常数)，则数列 为
9、)(1fn pan1 na“等积数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得 ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.)1(1nfan例 15： 数列 满足 , ,求数列 an的通项公式. 0na专题二：数列求和方法详解（六种方法）一、公式法 1、等差数列求和公式： dnaanS nnn 2)1(2)(2)(2)( 1311 2、等比数列求和公式： )1(1)(1 qaqannn例 1 已知 ，求 的前 n 项和. 答案3log1l23x nxx32 xsnn1)(总结方法，领悟思想，感受成功. 青岛二中分校 20171
10、0-23思想启发：尝试推导特殊数列有关的公式，性质，结论是掌握并灵活应用它们的最好方法. 4例 2 设 Sn1+2+3+n ，nN *,求 的最大值. 答案 n8 时，1)32()nSnf 501)(maxf二、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b n的前 n 项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： ( )132)2(7531nxxS 1x解析：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积：1)(n n设 nn xxxx )1(432得 （错位相减）再利用等比数列nnn xS
11、 )12(21)( 1432的求和公式得： . .nnn xxx)(1 21)()1(xxSnn试一试 1：求数列 前 n 项的和. 答案： ,2,64,23 14nnS三、倒序相加法方法简介：这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 ，然后再除以 2 得解 .)(1a例 4 求 的值 . 答案 S44.5 89sii3si2i1sin22 四、分组法求和方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项
12、公式由通项公式确定如何分组；例 5 求数列的前 n 项和： ， 答案 231,7,412naa.2)3(1asnn试一试 1 求 之和 .简析：由于与 、分别求和.1个n nkkk a )10(9911个个五、裂项法求和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）； （2） = ；（3） ；)(1(nffan1nan n nnta)1ta()cos(i 4） 1)(n总结方法，领悟思想，感受成功. 青岛二中分校 201710-23思想启发：尝试推导特殊
13、数列有关的公式，性质，结论是掌握并灵活应用它们的最好方法. 5（5） .)12(1)2(1nnan例 6 求数列 的前 n 项和.,4,3例 7 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.121nan 12nnab试一试 1：已知数列a n： ，求前 n 项和. 试一试 2： .)3(8 10323211 .六、合并法求和 方法简介 ：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 8 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值. 答案 0例 9 数列a n： ，求 S2002.（周期数列）nnaa12321,例 10 在各项均为正数的等比数列中，若 的值; 答案 10103231365 loglogl,9aa求
